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Espaces vectoriels | The Maths Tailor

Espaces vectoriels

Cours Exercices

Cours

1Définition et exemples fondamentaux

2Sous-espaces vectoriels

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3Somme de deux sous-espaces vectoriels

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4Espace vectoriel produit

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5Espace vectoriel d'applications

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Méthodes4

PavlovLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel

Chercher dans l'ordre :

1. $0 \in / F$ ? (condition " $= c$ " avec $c \neq = 0$ )
2. Non stable par $\times$ ? (inégalité, signe → tester $- v$ )
3. Non stable par $+$ ? (condition non linéaire → tester $u + v$ )

Exemples :
- $(x, y) : x + y = 1$ → ne contient pas $(0, 0)$
- $(x, y) : x \leq y$ → $(0, 1) \in F$ mais $- (0, 1) \in / F$
- $(x, y) : x y = 0$ → $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \in / F$

TunnelMontrer que F est un sous-espace vectoriel

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ClassiqueRaccourcis pour conclure SEV sans les trois conditions

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TunnelDémontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires

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Exercices

Sev de R^{2}

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

R^{2}

${(x, y) \in R^{2} ∣ x \leq y}$
${(x, y) \in R^{2} ∣ x y = 0}$
${(x, y) \in R^{2} ∣ x = y}$
${(x, y) \in R^{2} ∣ x + y = 1}$
${(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} - y^{2} = 0}$
${(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} = 0}$

Indication

Sev de R^{3} : exemples

$E_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y = 0}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ ?
$E_{2} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x y = 0}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ ?
$E_{3} = {(x, y, z, t) \in R^{4} ∣ x = 0, y = z}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{4}$ ?
$E_{4} = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x = 1}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ ?
$E_{5} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y \geq 0}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{2}$ ?
$E_{6} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + x y + y^{2} \geq 0}$ est-il un sous-espace vectoriel de $R^{2}$ ?

Indication

Sev F, G de R^{3}

Soient

F = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y - z = 0}

G = {(a - b, a + b, a - 3 b) ∣ a, b \in R}

Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $R^{3}$ .
Déterminer $F \cap G$ .

Indication

Équations diff. et sev

On considère les équations différentielles suivantes :

(E) : y^{'''} - y = 0

(F) : y^{''} + y^{'} + y = 0

(G) : y^{'} - y = 0

On note

E, F

G

les ensembles respectifs des solutions à valeurs réelles de

(E), (F)

(G)

. Les solutions de

(E), (F)

(G)

sont toutes de classe

C^{\infty}

sur

R

, ce qu'on ne demande pas de montrer. On note

C^{\infty} (R, R)

l'ensemble des fonctions de classe

C^{\infty}

sur

R

à valeurs dans

R

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^{\infty} (R, R)$ .
Montrer que $F \subset E$ et $G \subset E$ .
Donner les solutions des équations différentielles $(F)$ et $(G)$ .
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et donner pour chacun une famille génératrice.
a. Soit $y \in E$ . On pose $y_{1} = 2 y - y^{'} - y^{''}$ et $y_{2} = y + y^{'} + y^{''}$ . Montrer que $y_{1} \in F$ et $y_{2} \in G$ .
b. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ .

Indication