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Espaces vectoriels | The Maths Tailor

Espaces vectoriels

Cours Exercices

Cours— 5 sections

1Définition et exemples fondamentaux

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

Définition —Espace vectoriel

Soient

\mathbb{K}

un corps et

E

un ensemble muni d'une loi interne

+

et d'une loi externe

\cdot

i.e. d'une application :

\begin{cases} \mathbb{K} \times E \longrightarrow E \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda \cdot x \end{cases}

On dit que

(E, +, \cdot)

est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ou un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ si :

[(i)] $(E, +)$ est un groupe commutatif (dont l'élément neutre $0_E$ ou $0$ est appelé le vecteur nul) ;
[(ii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à gauche : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ ;
[(iii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à droite : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x, y) \in E^2, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ ;
[(iv)] $\forall x \in E, 1_\mathbb{K} \cdot x = x$ ;
[(v)] $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda\mu) \cdot x$ .

Les éléments de

E

sont appelés des vecteurs et les éléments de

\mathbb{K}

sont appelés des scalaires. Le corps

\mathbb{K}

est appelé le corps de base de l'espace vectoriel

E

Remarque

Dans la distributivité de

+

sur

\cdot

, il s'agit de la loi

+

du corps

\mathbb{K}

. Dans la distributivité de

\cdot

sur

+

, il s'agit de la loi

+

du groupe

E

Remarque

\cdot

de la loi externe est très souvent omis : si

\lambda \in \mathbb{K}

x \in E

, on note souvent

\lambda x

au lieu de

\lambda \cdot x

Remarque

On ne met pas de flèches sur les vecteurs des espaces vectoriels à moins que l'on fasse de la géométrie dans le plan ou dans l'espace.

Remarque

On parle souvent d'espace vectoriel sans préciser les lois

+

\cdot

. On dit souvent «

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel » alors qu'en toute rigueur, on devrait dire «

(E, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel ».

Remarque

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et si

\mathbb{L}

est un sous-corps de

\mathbb{K}

, alors

E

est aussi un

\mathbb{L}

-espace vectoriel en considérant la restriction de la loi

\cdot

\mathbb{L} \times E

Proposition —Règles de calcul

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, \lambda \cdot x = 0_E \iff (\lambda = 0_\mathbb{K} \text{ ou } x = 0_E)$ .
$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, -(\lambda \cdot x) = (-\lambda) \cdot x = \lambda \cdot (-x)$ ;

Démonstration

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel. On utilise les axiomes de la Définition 1.1.

Point 1. Soit

(\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E

\Leftarrow

: Supposons

\lambda = 0_{\mathbb{K}}

. Par l'axiome (ii) (distributivité à gauche) :

\lambda x = (0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}}) x = 0_{\mathbb{K}} x + 0_{\mathbb{K}} x

Donc

0_{\mathbb{K}} x = 0_{\mathbb{K}} x + 0_{\mathbb{K}} x

. En soustrayant

0_{\mathbb{K}} x

des deux membres (

(E, +)

est un groupe, donc tout élément a un symétrique), on obtient

0_E = 0_{\mathbb{K}} x

, c'est-à-dire

0_{\mathbb{K}} x = 0_E

.

Supposons

x = 0_E

. Par l'axiome (iii) (distributivité à droite) :

\lambda \cdot 0_E = \lambda \cdot (0_E + 0_E) = \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E

En soustrayant

\lambda \cdot 0_E

, on obtient

0_E = \lambda \cdot 0_E

\Rightarrow

: Supposons

\lambda x = 0_E

\lambda \neq 0_{\mathbb{K}}

. Alors

\lambda

est inversible dans

\mathbb{K}

. Par l'axiome (v) :

x = 1_{\mathbb{K}} x = (\lambda^{-1} \lambda) x = \lambda^{-1} (\lambda x) = \lambda^{-1} \cdot 0_E = 0_E

où la dernière égalité découle du cas

\Leftarrow

appliqué à

0_E

. Donc

\lambda = 0_{\mathbb{K}}

x = 0_E

.

Point 2. Calculons

\lambda x + (-\lambda) x

en utilisant l'axiome (ii) :

\lambda x + (-\lambda) x = (\lambda + (-\lambda)) x = 0_{\mathbb{K}} x = 0_E

où on a utilisé le Point 1 pour la dernière égalité. Donc

(-\lambda) x

est l'opposé de

\lambda x

, soit

(-\lambda) x = -(\lambda x)

.

De même,

\lambda x + \lambda(-x) = \lambda(x + (-x)) = \lambda \cdot 0_E = 0_E

par l'axiome (iii) et le Point 1. Donc

\lambda(-x) = -(\lambda x)

1.2. Exemples

Remarque

Les espaces vectoriels sont partout.

Exemple —Géométrie

Le plan vectoriel et l'espace vectoriel (ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace) sont des

\mathbb{R}

-espaces vectoriels.

Remarque

Historiquement, le plan et l'espace ont été les prototypes d'espaces vectoriels. D'ailleurs, il nous sera très utile en pratique de représenter les vecteurs d'espaces vectoriels abstraits comme des vecteurs du plan et de l'espace.

Exemple —Suites

Pour

((u_n), (v_n)) \in (\mathbb{K}^\mathbb{N})^2

, on pose

(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)

.

Pour

(\lambda, (u_n)) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^\mathbb{N}

, on pose

\lambda \cdot (u_n) = (\lambda u_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^\mathbb{N}, +, \cdot)

est alors un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}^\mathbb{N}

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple —Fonctions

Soit

X

un ensemble.

Pour

(f, g) \in (\mathbb{K}^X)^2

, on pose

f + g : x \in X \mapsto f(x) + g(x)

.

Pour

(\lambda, f) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^X

, on pose

\lambda \cdot f : x \in X \mapsto \lambda f(x)

.

Alors

(\mathbb{K}^X, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}^X

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple —Polynômes

Pour

P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n \in \mathbb{K}[X]

Q = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} b_n X^n \in \mathbb{K}[X]

, on pose

P + Q = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} (a_n + b_n) X^n

.

Pour

\lambda \in \mathbb{K}

P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n \in \mathbb{K}[X]

, on pose

\lambda \cdot P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} \lambda a_n X^n

.

Alors

(\mathbb{K}[X], +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}[X]

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple

Pour

((x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n)) \in (\mathbb{K}^n)^2

, on pose

(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)

.

Pour

\lambda \in \mathbb{K}

(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n

, on pose

\lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^n, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

En particulier, pour

n = 1

\mathbb{K}

est lui-même un

\mathbb{K}

-espace vectoriel. Il suffit de considérer la loi interne

\times

du corps

\mathbb{K}

comme une loi externe

\cdot

Remarque

\mathbb{C}^n

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple

\mathbb{C}

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

2Sous-espaces vectoriels

3Somme de deux sous-espaces vectoriels

4Espace vectoriel produit

5Espace vectoriel d'applications

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Méthodes4

PavlovLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel

Chercher dans l'ordre :

1. $0 \notin F$ ? (condition "

= c

" avec

c \neq 0

)
2. Non stable par $\times$ ? (inégalité, signe → tester

-v

)
3. Non stable par $+$ ? (condition non linéaire → tester

u + v

)

Exemples :
-

\\{(x,y) : x + y = 1\\}

→ ne contient pas

(0,0)

\\{(x,y) : x \leq y\\}

→

(0,1) \in F

mais

-(0,1) \notin F

\\{(x,y) : xy = 0\\}

→

(1,0) + (0,1) = (1,1) \notin F

TunnelMontrer que F est un sous-espace vectoriel

Méthode complète avec le plan Élève

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ClassiqueRaccourcis pour conclure SEV sans les trois conditions

Méthode complète avec le plan Élève

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TunnelDémontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires

Méthode complète avec le plan Élève

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Exercices

\mathbb{R}^2

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^2

$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq y\}$
$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 0\}$
$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = y\}$
$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 1\}$
$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 = 0\}$
$\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 0\}$

Indication

Utiliser la Les trois vérifications pour non sous-espace vectoriel (non-SEV) et la Montrer que F est un sous-espace vectoriel (SEV) : pour chaque partie, appliquer dans l'ordre les trois verifications de 00463 (appartenance de

0

, stabilite par

\times

, stabilite par

+

) ; si toutes echouent, prouver les trois conditions positives de 00464.

\mathbb{R}^3

$E_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x+y=0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ?
$E_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid xy=0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ?
$E_3 = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x=0, y=z\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ ?
$E_4 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x=1\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ?
$E_5 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+xy \geq 0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ ?
$E_6 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+xy+y^2 \geq 0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ ?

Indication

Appliquer les Raccourcis pour conclure SEV sans les trois conditions et Les trois vérifications pour non sous-espace vectoriel : pour chaque ensemble, appliquer d'abord les trois contre-exemples de 00463 (contient

0

?, stable par

\times

?, stable par

+

?), et si tous les tests sont positifs, rediger la preuve formelle avec 00087.

F

Soient

F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}

G = \{(a - b, a + b, a - 3b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}

Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$ .
Déterminer $F \cap G$ .

Indication

Appliquer la Raccourcis pour conclure SEV sans les trois conditions : pour

F

, utiliser que

F

est l'ensemble des solutions d'un systeme lineaire homogene (ou l'ecrire comme

\operatorname{Vect}

) ; pour

G

, remarquer que

G = \operatorname{Vect}((1,1,1), (-1,1,-3))

est un SEV.

Équations diff. et sev

On considère les équations différentielles suivantes :

(\mathcal{E}) : y''' - y = 0

(\mathcal{F}) : y'' + y' + y = 0

(\mathcal{G}) : y' - y = 0

On note

E, F

G

les ensembles respectifs des solutions à valeurs réelles de

(\mathcal{E}), (\mathcal{F})

(\mathcal{G})

. Les solutions de

(\mathcal{E}), (\mathcal{F})

(\mathcal{G})

sont toutes de classe

\mathcal{C}^\infty

sur

\mathbb{R}

, ce qu'on ne demande pas de montrer. On note

\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})

l'ensemble des fonctions de classe

\mathcal{C}^\infty

sur

\mathbb{R}

à valeurs dans

\mathbb{R}

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ .
Montrer que $F \subset E$ et $G \subset E$ .
Donner les solutions des équations différentielles $(\mathcal{F})$ et $(\mathcal{G})$ .
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et donner pour chacun une famille génératrice.
a. Soit $y \in E$ . On pose $y_1 = 2y - y' - y''$ et $y_2 = y + y' + y''$ . Montrer que $y_1 \in F$ et $y_2 \in G$ .
b. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ .

Indication

Appliquer la Raccourcis pour conclure SEV sans les trois conditions puis 00088 :

E

est stable par combinaison lineaire car l'operateur

y \mapsto y'''-y

est lineaire ; montrer

G \subset F \subset E

en utilisant les equations caracteristiques ; puis pour

F \oplus G = E

, utiliser la decomposition

y_1 = 2y-y'-y''