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Espaces vectoriels | The Maths Tailor

Espaces vectoriels

Cours complet →

Cours— 5 sections

1Définition et exemples fondamentaux

1. Définition et exemples fondamentaux

1.1. Définition

Définition —Espace vectoriel

Soient

\mathbb{K}

un corps et

E

un ensemble muni d'une loi interne

+

et d'une loi externe

\cdot

i.e. d'une application :

\begin{cases} \mathbb{K} \times E \longrightarrow E \\ (\lambda, x) \longmapsto \lambda \cdot x \end{cases}

On dit que

(E, +, \cdot)

est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ou un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ si :

[(i)] $(E, +)$ est un groupe commutatif (dont l'élément neutre $0_E$ ou $0$ est appelé le vecteur nul) ;
[(ii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à gauche : $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ ;
[(iii)] Distributivité de $\cdot$ sur $+$ à droite : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall (x, y) \in E^2, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ ;
[(iv)] $\forall x \in E, 1_\mathbb{K} \cdot x = x$ ;
[(v)] $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall x \in E, \lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda\mu) \cdot x$ .

Les éléments de

E

sont appelés des vecteurs et les éléments de

\mathbb{K}

sont appelés des scalaires. Le corps

\mathbb{K}

est appelé le corps de base de l'espace vectoriel

E

Remarque

Dans la distributivité de

+

sur

\cdot

, il s'agit de la loi

+

du corps

\mathbb{K}

. Dans la distributivité de

\cdot

sur

+

, il s'agit de la loi

+

du groupe

E

Remarque

\cdot

de la loi externe est très souvent omis : si

\lambda \in \mathbb{K}

x \in E

, on note souvent

\lambda x

au lieu de

\lambda \cdot x

Remarque

On ne met pas de flèches sur les vecteurs des espaces vectoriels à moins que l'on fasse de la géométrie dans le plan ou dans l'espace.

Remarque

On parle souvent d'espace vectoriel sans préciser les lois

+

\cdot

. On dit souvent «

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel » alors qu'en toute rigueur, on devrait dire «

(E, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel ».

Remarque

E

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et si

\mathbb{L}

est un sous-corps de

\mathbb{K}

, alors

E

est aussi un

\mathbb{L}

-espace vectoriel en considérant la restriction de la loi

\cdot

\mathbb{L} \times E

Proposition —Règles de calcul

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, \lambda \cdot x = 0_E \iff (\lambda = 0_\mathbb{K} \text{ ou } x = 0_E)$ .
$\forall (\lambda, x) \in \mathbb{K} \times E, -(\lambda \cdot x) = (-\lambda) \cdot x = \lambda \cdot (-x)$ ;

Démonstration bientôt disponible

1.2. Exemples

Remarque

Les espaces vectoriels sont partout.

Exemple —Géométrie

Le plan vectoriel et l'espace vectoriel (ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace) sont des

\mathbb{R}

-espaces vectoriels.

Remarque

Historiquement, le plan et l'espace ont été les prototypes d'espaces vectoriels. D'ailleurs, il nous sera très utile en pratique de représenter les vecteurs d'espaces vectoriels abstraits comme des vecteurs du plan et de l'espace.

Exemple —Suites

Pour

((u_n), (v_n)) \in (\mathbb{K}^\mathbb{N})^2

, on pose

(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)

.

Pour

(\lambda, (u_n)) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^\mathbb{N}

, on pose

\lambda \cdot (u_n) = (\lambda u_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^\mathbb{N}, +, \cdot)

est alors un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}^\mathbb{N}

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple —Fonctions

Soit

X

un ensemble.

Pour

(f, g) \in (\mathbb{K}^X)^2

, on pose

f + g : x \in X \mapsto f(x) + g(x)

.

Pour

(\lambda, f) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^X

, on pose

\lambda \cdot f : x \in X \mapsto \lambda f(x)

.

Alors

(\mathbb{K}^X, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}^X

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple —Polynômes

Pour

P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n \in \mathbb{K}[X]

Q = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} b_n X^n \in \mathbb{K}[X]

, on pose

P + Q = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} (a_n + b_n) X^n

.

Pour

\lambda \in \mathbb{K}

P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n \in \mathbb{K}[X]

, on pose

\lambda \cdot P = \displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} \lambda a_n X^n

.

Alors

(\mathbb{K}[X], +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

\mathbb{C}[X]

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple

Pour

((x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n)) \in (\mathbb{K}^n)^2

, on pose

(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)

.

Pour

\lambda \in \mathbb{K}

(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n

, on pose

\lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)

.

Alors

(\mathbb{K}^n, +, \cdot)

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

Remarque

En particulier, pour

n = 1

\mathbb{K}

est lui-même un

\mathbb{K}

-espace vectoriel. Il suffit de considérer la loi interne

\times

du corps

\mathbb{K}

comme une loi externe

\cdot

Remarque

\mathbb{C}^n

est aussi un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

Exemple

\mathbb{C}

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

2Sous-espaces vectoriels

3Somme de deux sous-espaces vectoriels

4Espace vectoriel produit

5Espace vectoriel d'applications

RéflexeLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel

Chercher dans l'ordre :

1. $0 \notin F$ ? (condition "

= c

" avec

c \neq 0

)
2. Non stable par $\times$ ? (inégalité, signe → tester

-v

)
3. Non stable par $+$ ? (condition non linéaire → tester

u + v

)

Exemples :
-

\\{(x,y) : x + y = 1\\}

→ ne contient pas

(0,0)

\\{(x,y) : x \leq y\\}

→

(0,1) \in F

mais

-(0,1) \notin F

\\{(x,y) : xy = 0\\}

→

(1,0) + (0,1) = (1,1) \notin F

TunnelMontrer que F est un sous-espace vectoriel

Exercices lies— 11

1Exercice 1

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^2

2Exercice 2

Soient

F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}

G = \{(a - b, a + b, a - 3b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}

3Exercice 3

Soit

F = \{(u_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+2} = nu_{n+1} + u_n\}

.
Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

4Exercice 4

Montrer que les parties de

\mathcal{F}([a\,;\,b], \mathbb{R})

suivantes sont des sous-espaces vectoriels :

5Exercice 5

Soit

\omega \in \mathbb{C}

. On note

\omega \cdot \mathbb{R} = \{\omega x \mid x \in \mathbb{R}\}

.
Montrer que

\omega \cdot \mathbb{R}

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{C}

vu comme

\mathbb{R}

-espace vectoriel.
À quelle condition

\omega \cdot \mathbb{R}

est-il un sous-espace vectoriel de

\mathbb{C}

vu comme

\mathbb{C}

-espace vectoriel ?

6Exercice 6

Soient

u_1, \ldots, u_n

des vecteurs d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

.
Montrer que l'ensemble

F = \{\lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_n u_n \mid \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}\}

est un sous-espace vectoriel de

E

contenant les vecteurs

u_1, \ldots, u_n

7Exercice 7

Soient

E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

C

l'ensemble des fonctions de

E

croissantes et

\Delta = \{f - g \mid f, g \in C\}

.
Montrer que

\Delta

est un sous-espace vectoriel de

E

8Exercice 8

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.

9Exercice 9

Soit

E

l'ensemble des applications

f : [-1\,;\,1] \to \mathbb{R}

continues telles que les restrictions

f|_{[-1;0]}

f|_{[0;1]}

soient affines.

10Exercice 10

Soit

E

l'espace vectoriel des applications de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{R}

.
On considère

F

la partie de

E

constituée des applications de la forme :

x \mapsto P(x)\sin x + Q(x)\cos x \quad \text{avec } P, Q \in \mathbb{R}_n[X].

11Exercice 11

Soient

n \in \mathbb{N}

A \in \mathbb{K}_n[X]

un polynôme non nul.
Montrer que

F = \{P \in \mathbb{K}_n[X] \mid A \mid P\}

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{K}_n[X]

et en déterminer la dimension et un supplémentaire.

Cours

1Définition et exemples fondamentaux

2Sous-espaces vectoriels

3Somme de deux sous-espaces vectoriels

4Espace vectoriel produit

5Espace vectoriel d'applications

Méthodes2

RéflexeLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel

Chercher dans l'ordre :

1. $0 \notin F$ ? (condition "

= c

" avec

c \neq 0

)
2. Non stable par $\times$ ? (inégalité, signe → tester

-v

)
3. Non stable par $+$ ? (condition non linéaire → tester

u + v

)

Exemples :
-

\\{(x,y) : x + y = 1\\}

→ ne contient pas

(0,0)

\\{(x,y) : x \leq y\\}

→

(0,1) \in F

mais

-(0,1) \notin F

\\{(x,y) : xy = 0\\}

→

(1,0) + (0,1) = (1,1) \notin F

TunnelMontrer que F est un sous-espace vectoriel

Méthode complète avec le plan Élève

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Exercices

1Exercice 1

2Exercice 2

3Exercice 3

4Exercice 4

5Exercice 5

6Exercice 6

7Exercice 7

8Exercice 8

9Exercice 9

10Exercice 10

11Exercice 11