Soient K un corps et E un ensemble muni d'une loi interne + et d'une loi externe ⋅ i.e. d'une application : {K×E⟶E(λ,x)⟼λ⋅x
On dit que (E,+,⋅) est un K-espace vectoriel ou un espace vectoriel sur K si :
[(i)] (E,+) est un groupe commutatif (dont l'élément neutre 0E ou 0 est appelé le vecteur nul) ;
[(ii)] Distributivité de ⋅ sur + à gauche : ∀(λ,μ)∈K2,∀x∈E,(λ+μ)⋅x=λ⋅x+μ⋅x ;
[(iii)] Distributivité de ⋅ sur + à droite : ∀λ∈K,∀(x,y)∈E2,λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y ;
[(iv)] ∀x∈E,1K⋅x=x ;
[(v)] ∀(λ,μ)∈K2,∀x∈E,λ⋅(μ⋅x)=(λμ)⋅x.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et les éléments de K sont appelés des scalaires. Le corps K est appelé le corps de base de l'espace vectoriel E.
Remarque
Dans la distributivité de + sur ⋅, il s'agit de la loi + du corps K. Dans la distributivité de ⋅ sur +, il s'agit de la loi + du groupe E.
Remarque
Le ⋅ de la loi externe est très souvent omis : si λ∈K et x∈E, on note souvent λx au lieu de λ⋅x.
Remarque
On ne met pas de flèches sur les vecteurs des espaces vectoriels à moins que l'on fasse de la géométrie dans le plan ou dans l'espace.
Remarque
On parle souvent d'espace vectoriel sans préciser les lois + et ⋅. On dit souvent « E est un K-espace vectoriel » alors qu'en toute rigueur, on devrait dire « (E,+,⋅) est un K-espace vectoriel ».
Remarque
Si E est un K-espace vectoriel et si L est un sous-corps de K, alors E est aussi un L-espace vectoriel en considérant la restriction de la loi ⋅ à L×E.
Proposition—Règles de calcul
Soit E un K-espace vectoriel.
∀(λ,x)∈K×E,λ⋅x=0E⟺(λ=0K ou x=0E).
∀(λ,x)∈K×E,−(λ⋅x)=(−λ)⋅x=λ⋅(−x) ;
Démonstration bientôt disponible
1.2. Exemples
Remarque
Les espaces vectoriels sont partout.
Exemple—Géométrie
Le plan vectoriel et l'espace vectoriel (ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace) sont des R-espaces vectoriels.
Remarque
Historiquement, le plan et l'espace ont été les prototypes d'espaces vectoriels. D'ailleurs, il nous sera très utile en pratique de représenter les vecteurs d'espaces vectoriels abstraits comme des vecteurs du plan et de l'espace.
Exemple—Suites
Pour ((un),(vn))∈(KN)2, on pose (un)+(vn)=(un+vn).
Pour (λ,(un))∈K×KN, on pose λ⋅(un)=(λun).
Alors (KN,+,⋅) est alors un K-espace vectoriel.
Remarque
CN est aussi un R-espace vectoriel.
Exemple—Fonctions
Soit X un ensemble.
Pour (f,g)∈(KX)2, on pose f+g:x∈X↦f(x)+g(x).
Pour (λ,f)∈K×KX, on pose λ⋅f:x∈X↦λf(x).
Alors (KX,+,⋅) est un K-espace vectoriel.
Remarque
CX est aussi un R-espace vectoriel.
Exemple—Polynômes
Pour P=n∈N∑anXn∈K[X] et Q=n∈N∑bnXn∈K[X], on pose P+Q=n∈N∑(an+bn)Xn.
Pour λ∈K et P=n∈N∑anXn∈K[X], on pose λ⋅P=n∈N∑λanXn.
Alors (K[X],+,⋅) est un K-espace vectoriel.
Remarque
C[X] est aussi un R-espace vectoriel.
Exemple
Pour ((x1,…,xn),(y1,…,yn))∈(Kn)2, on pose (x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn).
Pour λ∈K et (x1,…,xn)∈Kn, on pose λ⋅(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn).
Alors (Kn,+,⋅) est un K-espace vectoriel.
Remarque
En particulier, pour n=1, K est lui-même un K-espace vectoriel. Il suffit de considérer la loi interne × du corps K comme une loi externe ⋅.
Remarque
Cn est aussi un R-espace vectoriel.
Exemple
C est un R-espace vectoriel.
2Sous-espaces vectoriels3Somme de deux sous-espaces vectoriels4Espace vectoriel produit5Espace vectoriel d'applications
RéflexeLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel
Chercher dans l'ordre :
1. 0∈/F ? (condition "=c" avec c=0) 2. Non stable par × ? (inégalité, signe → tester −v) 3. Non stable par + ? (condition non linéaire → tester u+v)
Exemples : - (x,y):x+y=1 → ne contient pas (0,0) - (x,y):x≤y → (0,1)∈F mais −(0,1)∈/F - (x,y):xy=0 → (1,0)+(0,1)=(1,1)∈/F
TunnelMontrer que F est un sous-espace vectoriel
Exercices lies— 11
1Exercice 1
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ?
2Exercice 2
Soient F={(x,y,z)∈R3∣x+y−z=0} et G={(a−b,a+b,a−3b)∣a,b∈R}.
3Exercice 3
Soit F={(un)∈RN∣∀n∈N,un+2=nun+1+un}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de RN.
4Exercice 4
Montrer que les parties de F([a;b],R) suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
5Exercice 5
Soit ω∈C. On note ω⋅R={ωx∣x∈R}. Montrer que ω⋅R est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel. À quelle condition ω⋅R est-il un sous-espace vectoriel de C vu comme C-espace vectoriel ?
6Exercice 6
Soient u1,…,un des vecteurs d'un K-espace vectoriel E. Montrer que l'ensemble F={λ1u1+⋯+λnun∣λ1,…,λn∈K} est un sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs u1,…,un.
7Exercice 7
Soient E=F(R,R), C l'ensemble des fonctions de E croissantes et Δ={f−g∣f,g∈C}. Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de E.
8Exercice 8
Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.
9Exercice 9
Soit E l'ensemble des applications f:[−1;1]→R continues telles que les restrictions f∣[−1;0] et f∣[0;1] soient affines.
10Exercice 10
Soit E l'espace vectoriel des applications de R dans R. On considère F la partie de E constituée des applications de la forme : x↦P(x)sinx+Q(x)cosxavec P,Q∈Rn[X].
11Exercice 11
Soient n∈N et A∈Kn[X] un polynôme non nul. Montrer que F={P∈Kn[X]∣A∣P} est un sous-espace vectoriel de Kn[X] et en déterminer la dimension et un supplémentaire.
Cours
1Définition et exemples fondamentaux
2Sous-espaces vectoriels
3Somme de deux sous-espaces vectoriels
4Espace vectoriel produit
5Espace vectoriel d'applications
Méthodes2
RéflexeLes trois vérifications pour non sous-espace vectoriel
Chercher dans l'ordre :
1. 0∈/F ? (condition "=c" avec c=0) 2. Non stable par × ? (inégalité, signe → tester −v) 3. Non stable par + ? (condition non linéaire → tester u+v)
Exemples : - (x,y):x+y=1 → ne contient pas (0,0) - (x,y):x≤y → (0,1)∈F mais −(0,1)∈/F - (x,y):xy=0 → (1,0)+(0,1)=(1,1)∈/F