Espaces préhilbertiens réels

Soient $x,y\in E$. Par définition de la norme associée (Définition 1.4), $\Vert x{\Vert }^2=(x\mid x)$, $\Vert y{\Vert }^2=(y\mid y)$ et $\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y\mid x+y)$.

Identités remarquables. Par bilinéarité et symétrie du produit scalaire (Définition 1.1) :$$\Vert x+y{\Vert }^2=(x+y\mid x+y)=(x\mid x)+(x\mid y)+(y\mid x)+(y\mid y)=\Vert x{\Vert }^2+2(x\mid y)+\Vert y{\Vert }^2.$$De même, $\Vert x-y{\Vert }^2=(x-y\mid x-y)=\Vert x{\Vert }^2-2(x\mid y)+\Vert y{\Vert }^2$. Pour la troisième, en développant par bilinéarité :$$(x+y\mid x-y)=(x\mid x)-(x\mid y)+(y\mid x)-(y\mid y)=\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2,$$car par symétrie $(x\mid y)=(y\mid x)$, donc les termes croisés s'annulent.

Identités de polarisation. En soustrayant la première identité remarquable de la seconde :$$\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2=2(x\mid y),$$donc $(x\mid y)=\frac{1}{2}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2)$. En soustrayant la deuxième identité remarquable de la première :$$\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2=4(x\mid y),$$donc $(x\mid y)=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$.

Identité du parallélogramme. En additionnant les deux premières identités remarquables :$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2).$$

Soient $x,y\in E$. On veut montrer que $|(x\mid y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Cas où $y=0_E$. Les deux membres sont nuls (par bilinéarité, $(x\mid 0_E)=0$, et $\Vert 0_E\Vert =0$), l'inégalité est vérifiée avec égalité.

Cas où $y\ne 0_E$. Pour tout $t\in \mathbb{R}$, considérons $f(t)=\Vert x+ty{\Vert }^2$. Par la Définition 1.4 et la bilinéarité et symétrie du produit scalaire (Définition 1.1), d'après la Proposition 1.1 :$$f(t)=\Vert x{\Vert }^2+2t(x\mid y)+t^2\Vert y{\Vert }^2.$$C'est un polynôme du second degré en $t$, à coefficients réels, avec $\Vert y{\Vert }^2>0$ (car $y\ne 0_E$ et la norme est associée à un produit scalaire défini positif, Définition 1.1). De plus, par la positivité du produit scalaire (Définition 1.1), $f(t)=(x+ty\mid x+ty)\ge 0$ pour tout $t\in \mathbb{R}$. Un trinôme du second degré toujours positif a un discriminant négatif ou nul :$$\Delta =4(x\mid y{)}^2-4\Vert y{\Vert }^2\Vert x{\Vert }^2\le 0,$$ce qui donne $(x\mid y{)}^2\le \Vert x{\Vert }^2\Vert y{\Vert }^2$, soit $|(x\mid y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Cas d'égalité. L'égalité $|(x\mid y)|=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$ correspond à $\Delta =0$, c'est-à-dire que $f$ s'annule en $t_0=-\frac{(x\mid y)}{\Vert y{\Vert }^2}$, i.e. $\Vert x+t_{0}y{\Vert }^2=0$. Par séparation de la norme (qui découle de la définition positive, Définition 1.1), $x+t_{0}y=0_E$, soit $x=-t_{0}y$. Autrement dit, $x$ et $y$ sont colinéaires. Réciproquement, si $x=\lambda y$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $|(x\mid y)|=|\lambda |\Vert y{\Vert }^2=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $(.\mid .)$ et d'une norme associée $\Vert .\Vert$ (Définition 1.4).

Séparation. Pour tout $x\in E$ :
- Si $x=0_E$, alors par bilinéarité (Définition 1.1), $(0_E\mid 0_E)=0$, donc $\Vert x\Vert =\sqrt{0}=0$.
- Si $\Vert x\Vert =0$, alors $(x\mid x)=\Vert x{\Vert }^2=0$. Par la propriété « définie » du produit scalaire (Définition 1.1), $x=0_E$.

Ainsi $\Vert x\Vert =0⟺x=0_E$.

Homogénéité. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $x\in E$, par bilinéarité (Définition 1.1) :$$\Vert \lambda x{\Vert }^2=(\lambda x\mid \lambda x)={\lambda }^2(x\mid x)={\lambda }^2\Vert x{\Vert }^2.$$En prenant la racine carrée (positive) des deux membres : $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$.

Inégalité triangulaire. Pour $(x,y)\in E^2$, par la Proposition 1.1 (identités remarquables) :$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2(x\mid y)+\Vert y{\Vert }^2.$$Or par la Proposition 1.2 (Cauchy-Schwarz), $(x\mid y)\le |(x\mid y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$. Donc :$$\Vert x+y{\Vert }^2\le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2=(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2.$$En prenant la racine carrée : $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$.