Espaces préhilbertiens réels

THE MATHS TAILOR

1. Produit scalaire et norme

1.1. Produit scalaire

Définition

Soit

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur

E

toute forme bilinéaire symétrique définie positive i.e. toute application

\varphi : E^2 \to \mathbb{R}

vérifiant :

Bilinéaire : $\forall (x, y, z) \in E^3, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \begin{cases} \varphi(x, \lambda y + \mu z) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x, z) \\ \varphi(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \varphi(x, z) + \mu \varphi(y, z) \end{cases}$
Symétrique : $\forall (x, y) \in E^2, \varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
Définie : $\forall x \in E, \varphi(x, x) = 0 \implies x = 0_E$
Positive : $\forall x \in E, \varphi(x, x) \ge 0$

Encadré—Notation 1.1

Le produit scalaire de deux éléments

x

y

E

se note généralement

(x \mid y)

\langle x \mid y \rangle

(x, y)

ou encore

\langle x, y \rangle

Remarque

Le produit scalaire en géométrie est bien un produit scalaire au sens de la définition précédente.

Méthode—Montrer qu'une application est un produit scalaire

On procède généralement dans l'ordre suivant.

On vérifie que l'application est bien à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
On montre la symétrie.
On montre la linéarité par rapport à la première variable ou la seconde variable. La linéarité par rapport à l'autre variable découle de la symétrie.
On montre la positivité.
On finit par la « définition ».

Exemple

On appelle produit scalaire canonique ou usuel sur

\mathbb{R}^n

l'application

\begin{cases} (\mathbb{R}^n)^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) &\longmapsto \sum_{k=1}^n x_k y_k \end{cases}

où

x=(x_1, \dots, x_n)

y=(y_1, \dots, y_n)

Exemple

L'application

\begin{cases} \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (X, Y) &\longmapsto X^\top Y \end{cases}

est un produit scalaire sur

\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})

Exemple

Soit

[a, b]

un segment de

\mathbb{R}

. Notons

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel

\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})

. L'application

\begin{cases} E^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (f, g) &\longmapsto \int_a^b f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \end{cases}

est un produit scalaire.

Définition—Espace préhilbertien réel, espace euclidien

On appelle espace préhilbertien réel tout

\mathbb{R}

-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie.

Définition

Soient

E

un espace vectoriel préhilbertien réel. Soit

(x, y) \in E^2

. On dit que

x

y

sont orthogonaux si

(x \mid y) = 0

. Dans ce cas, on note

x \perp y

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

1.2. Norme associée à un produit scalaire

Définition

Soit

(. \mid .)

un produit scalaire sur un

\mathbb{R}

-espace vectoriel

E

. L'application

\begin{cases} E &\longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x &\longmapsto \sqrt{(x \mid x)} \end{cases}

est appelée norme associée au produit scalaire

(. \mid .)

1. Produit scalaire et norme

1.1. Produit scalaire

Définition

Soit

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur

E

toute forme bilinéaire symétrique définie positive i.e. toute application

\varphi : E^2 \to \mathbb{R}

vérifiant :

Bilinéaire : $\forall (x, y, z) \in E^3, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \begin{cases} \varphi(x, \lambda y + \mu z) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x, z) \\ \varphi(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \varphi(x, z) + \mu \varphi(y, z) \end{cases}$
Symétrique : $\forall (x, y) \in E^2, \varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
Définie : $\forall x \in E, \varphi(x, x) = 0 \implies x = 0_E$
Positive : $\forall x \in E, \varphi(x, x) \ge 0$

Encadré—Notation 1.1

Le produit scalaire de deux éléments

x

y

E

se note généralement

(x \mid y)

\langle x \mid y \rangle

(x, y)

ou encore

\langle x, y \rangle

Remarque

Le produit scalaire en géométrie est bien un produit scalaire au sens de la définition précédente.

Méthode—Montrer qu'une application est un produit scalaire

On procède généralement dans l'ordre suivant.

On vérifie que l'application est bien à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
On montre la symétrie.
On montre la linéarité par rapport à la première variable ou la seconde variable. La linéarité par rapport à l'autre variable découle de la symétrie.
On montre la positivité.
On finit par la « définition ».

Exemple

On appelle produit scalaire canonique ou usuel sur

\mathbb{R}^n

l'application

\begin{cases} (\mathbb{R}^n)^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) &\longmapsto \sum_{k=1}^n x_k y_k \end{cases}

où

x=(x_1, \dots, x_n)

y=(y_1, \dots, y_n)

Exemple

L'application

\begin{cases} \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (X, Y) &\longmapsto X^\top Y \end{cases}

est un produit scalaire sur

\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})

Exemple

Soit

[a, b]

un segment de

\mathbb{R}

. Notons

E

\mathbb{R}

-espace vectoriel

\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})

. L'application

\begin{cases} E^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (f, g) &\longmapsto \int_a^b f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \end{cases}

est un produit scalaire.

Définition—Espace préhilbertien réel, espace euclidien

On appelle espace préhilbertien réel tout

\mathbb{R}

-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie.

Définition

Soient

E

un espace vectoriel préhilbertien réel. Soit

(x, y) \in E^2

. On dit que

x

y

sont orthogonaux si

(x \mid y) = 0

. Dans ce cas, on note

x \perp y

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

1.2. Norme associée à un produit scalaire

Définition

Soit

(. \mid .)

un produit scalaire sur un

\mathbb{R}

-espace vectoriel

E

. L'application

\begin{cases} E &\longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x &\longmapsto \sqrt{(x \mid x)} \end{cases}

est appelée norme associée au produit scalaire

(. \mid .)