Espaces préhilbertiens réels | The Maths Tailor

Espaces préhilbertiens réels

Cours Exercices

Cours

1Produit scalaire et norme

2Familles orthogonales

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3Orthogonalité

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Méthodes13p.1/2

TunnelDémontrer qu'une application est un produit scalaire

Pour démontrer qu'une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ est un produit scalaire, on vérifie la définition d'un produit scalaire. En général, la symétrie et la bilinéarité sont faciles à prouver. Le point clé est de vérifier que le produit scalaire est défini positif, c'est-à-dire que $⟨ x, x ⟩ \geq 0$ avec égalité si et seulement si $x = 0$ . Pour cela, on peut utiliser les arguments suivants :

si l'application fait intervenir des intégrales de fonctions continues, on utilise souvent le théorème : Si $h : [a, b] \to R$ est continue et positive, alors $\int_{a}^{b} h (t) d t = 0 ⟺ h = 0$ .
si l'application est définie sur un espace de polynômes, on peut utiliser qu'un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
si l'application est définie sur $R^{n}$ on peut essayer de l'écrire comme somme de carrés.

PavlovCalculer des produits scalaires et des normes

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ClassiqueExploiter le produit scalaire tr(ᵗAB) et la décomposition Sₙ ⊥ Aₙ

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ClassiqueDémontrer des inégalités à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

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TunnelOrthonormaliser une famille libre

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TunnelDéterminer une base orthonormale d'un espace, d'un sous-espace

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ClassiqueExploiter la condition d'autoadjoint ou d'antisymétrie pour obtenir ker f ⊥ Im f

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ClassiqueDéterminer l'orthogonal d'un sous-espace

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ClassiqueCalculer le projeté orthogonal sur un sous-espace

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ClassiqueCalculer une distance à un sous-espace

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1 / 2

Exercices

Vérification de produits scalaires

Prouver que les applications suivantes sont des produits scalaires sur

E

:

pour $n \in N$ , sur $E = R_{n} [X]$ , pour $x_{0}, \dots, x_{n} \in R$ deux à deux distincts, $Ψ : (P, Q) \mapsto k = 0 \sum n P (x_{k}) Q (x_{k})$
pour $n \in N$ , sur $E = R_{n} [X]$ , pour $a_{0}, \dots, a_{n} \in R$ , $(P, Q) \mapsto φ (P, Q) = k = 0 \sum n P^{(k)} (a_{k}) Q^{(k)} (a_{k})$
pour $n \in N$ , sur $E = R_{n} [X]$ , $(P, Q) \mapsto ⟨ P ∣ Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$
pour $n \in N$ , sur $E = M_{n} (R)$ , $⟨ A ∣ B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$
sur $E = C^{1} ([0, 1], R)$ , $(f, g) \mapsto ⟨ f ∣ g ⟩ = f (1) g (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t$
sur $E = C^{1} ([0, 1], R)$ , $(f, g) \mapsto ⟨ f ∣ g ⟩ = \int_{0}^{1} (f (t) g (t) + f^{'} (t) g^{'} (t)) d t$

Indication

Produit scalaire sur R_{n} [X]

Soit

n \in N

. Montrer que

φ (P, Q) = k = 0 \sum n P (k) Q (k)

définit un produit scalaire sur

R_{n} [X]

.

Indication

Produit scalaire à poids sur C

Montrer que

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) (1 - t^{2}) d t

définit un produit scalaire sur l'espace

E = C ([- 1; 1], R)

.

Indication

Produit scalaire sur C^{1}

Soit

E = C^{1} ([0; 1], R)

. Pour

f, g \in E

, on pose

φ (f, g) = f (0) g (0) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Montrer que

φ

est un produit scalaire sur

E

.

Indication

Mines — prod. scal. par évaluation

Soient

n \in N

,

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}

des réels deux à deux distincts et

E = R_{n} [X]

.

Montrer que l'on définit un produit scalaire sur $E$ en posant, pour tous $P, Q \in E$ , $(P ∣ Q) = k = 0 \sum n P (a_{k}) Q (a_{k})$ .
Déterminer une base orthonormale de $E$ pour le produit scalaire précédent.
Exprimer la distance du polynôme $X^{n}$ à l'espace $H = {P \in E ∣ P (a_{0}) + \dots + P (a_{n}) = 0}$ .

Indication

Un espace fonctionnel

On définit sur l'espace vectoriel réel

E

des fonctions de classe

C^{1}

de

[0, 1]

dans

R

,

⟨ f ∣ g ⟩ = f (1) g (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $E$ .
Établir que $\forall f \in E$ , $(f (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) d t)^{2} \leq 2 (f^{2} (1) + \int_{0}^{1} f^{'2} (t) d t)$

Indication

Polynômes de Legendre (1 - X^{2})^{n}

On pose

Q_{n} = (1 - X^{2})^{n} = (1 + X)^{n} (1 - X)^{n}

pour

n \in N

.

Montrer que $φ : (P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ est un produit scalaire sur $R_{n} [X]$ . On notera $φ (P, Q) = ⟨ P, Q ⟩$ par la suite.
Soit $n$ et $k$ deux entiers tels que $0 \leq k < n$ . Montrer que $Q_{n}^{(k)} (- 1) = Q_{n}^{(k)} (1) = 0$ .
On pose $P_{n} = Q_{n}^{(n)}$ pour $n \in N$ . Montrer que $(P_{k})_{0 \leq k \leq n}$ est une base orthogonale de $R_{n} [X]$ .

Indication

Produit scalaire via les dérivées

On munit

R_{n} [X]

du produit scalaire défini par

⟨ P, Q ⟩ = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a ) Q ^{(k)} ( a )}{( k ! ) ^{2}}

où

n \in N

et

a \in R

.

Soient $n \in N$ et $a \in R$ . Montrer que l'application $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ de $R_{n} [X]^{2}$ dans $R$ définie par $\forall (P, Q) \in R_{n} [X]^{2}, ⟨ P, Q ⟩ = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a ) Q ^{(k)} ( a )}{( k ! ) ^{2}}$ est un produit scalaire sur $R_{n} [X]$ .
Donner sans calcul une base orthonormale de $R_{n} [X]$ .

Indication

Retour aux polynômes

Posé à Centrale

Prod. scal. coefficients dans R [X]

Un calcul de distance