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Espaces préhilbertiens réels | The Maths Tailor
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Espaces préhilbertiens réels
Espaces préhilbertiens réels
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Cours
— 3 sections
1
Produit scalaire et norme
1. Produit scalaire et norme
1.1. Produit scalaire
Définition
Soit
E
E
E
un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur
E
E
E
toute forme bilinéaire symétrique définie positive i.e. toute application
φ
:
E
2
→
R
\varphi : E^2 \to \mathbb{R}
φ
:
E
2
→
R
vérifiant :
Bilinéaire
:
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
∀
λ
,
μ
∈
R
,
{
φ
(
x
,
λ
y
+
μ
z
)
=
λ
φ
(
x
,
y
)
+
μ
φ
(
x
,
z
)
φ
(
λ
x
+
μ
y
,
z
)
=
λ
φ
(
x
,
z
)
+
μ
φ
(
y
,
z
)
\forall (x, y, z) \in E^3, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \begin{cases} \varphi(x, \lambda y + \mu z) = \lambda \varphi(x, y) + \mu \varphi(x, z) \\ \varphi(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \varphi(x, z) + \mu \varphi(y, z) \end{cases}
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
∀
λ
,
μ
∈
R
,
{
φ
(
x
,
λ
y
+
μ
z
)
=
λ
φ
(
x
,
y
)
+
μ
φ
(
x
,
z
)
φ
(
λ
x
+
μ
y
,
z
)
=
λ
φ
(
x
,
z
)
+
μ
φ
(
y
,
z
)
Symétrique
:
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
y
,
x
)
\forall (x, y) \in E^2, \varphi(x, y) = \varphi(y, x)
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
y
,
x
)
Définie
:
∀
x
∈
E
,
φ
(
x
,
x
)
=
0
⟹
x
=
0
E
\forall x \in E, \varphi(x, x) = 0 \implies x = 0_E
∀
x
∈
E
,
φ
(
x
,
x
)
=
0
⟹
x
=
0
E
Positive
:
∀
x
∈
E
,
φ
(
x
,
x
)
≥
0
\forall x \in E, \varphi(x, x) \ge 0
∀
x
∈
E
,
φ
(
x
,
x
)
≥
0
Encadré
—
Notation 1.1
Le produit scalaire de deux éléments
x
x
x
et
y
y
y
de
E
E
E
se note généralement
(
x
∣
y
)
(x \mid y)
(
x
∣
y
)
,
⟨
x
∣
y
⟩
\langle x \mid y \rangle
⟨
x
∣
y
⟩
,
(
x
,
y
)
(x, y)
(
x
,
y
)
ou encore
⟨
x
,
y
⟩
\langle x, y \rangle
⟨
x
,
y
⟩
.
Remarque
Le produit scalaire en géométrie est bien un produit scalaire au sens de la définition précédente.
Méthode
—
Montrer qu'une application est un produit scalaire
On procède généralement dans l'ordre suivant.
On vérifie que l'application est bien à valeurs dans
R
\mathbb{R}
R
.
On montre la symétrie.
On montre la linéarité par rapport à la première variable ou la seconde variable. La linéarité par rapport à l'autre variable découle de la symétrie.
On montre la positivité.
On finit par la « définition ».
Exemple
On appelle produit scalaire canonique ou usuel sur
R
n
\mathbb{R}^n
R
n
l'application
{
(
R
n
)
2
⟶
R
(
x
,
y
)
⟼
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
\begin{cases} (\mathbb{R}^n)^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) &\longmapsto \sum_{k=1}^n x_k y_k \end{cases}
{
(
R
n
)
2
(
x
,
y
)
⟶
R
⟼
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
où
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
x=(x_1, \dots, x_n)
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
et
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
y=(y_1, \dots, y_n)
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
.
Exemple
L'application
{
M
n
,
1
(
R
)
2
⟶
R
(
X
,
Y
)
⟼
X
⊤
Y
\begin{cases} \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (X, Y) &\longmapsto X^\top Y \end{cases}
{
M
n
,
1
(
R
)
2
(
X
,
Y
)
⟶
R
⟼
X
⊤
Y
est un produit scalaire sur
M
n
,
1
(
R
)
\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})
M
n
,
1
(
R
)
.
Exemple
Soit
[
a
,
b
]
[a, b]
[
a
,
b
]
un segment de
R
\mathbb{R}
R
. Notons
E
E
E
le
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel
C
(
[
a
,
b
]
,
R
)
\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})
C
([
a
,
b
]
,
R
)
. L'application
{
E
2
⟶
R
(
f
,
g
)
⟼
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
\begin{cases} E^2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (f, g) &\longmapsto \int_a^b f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \end{cases}
{
E
2
(
f
,
g
)
⟶
R
⟼
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
est un produit scalaire.
Définition
—
Espace préhilbertien réel, espace euclidien
On appelle espace préhilbertien réel tout
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie.
Définition
Soient
E
E
E
un espace vectoriel préhilbertien réel. Soit
(
x
,
y
)
∈
E
2
(x, y) \in E^2
(
x
,
y
)
∈
E
2
. On dit que
x
x
x
et
y
y
y
sont orthogonaux si
(
x
∣
y
)
=
0
(x \mid y) = 0
(
x
∣
y
)
=
0
. Dans ce cas, on note
x
⊥
y
x \perp y
x
⊥
y
.
Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
1.2. Norme associée à un produit scalaire
Définition
Soit
(
.
∣
.
)
(. \mid .)
(
.
∣
.
)
un produit scalaire sur un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel
E
E
E
. L'application
{
E
⟶
R
+
x
⟼
(
x
∣
x
)
\begin{cases} E &\longrightarrow \mathbb{R}_+ \\ x &\longmapsto \sqrt{(x \mid x)} \end{cases}
{
E
x
⟶
R
+
⟼
(
x
∣
x
)
est appelée norme associée au produit scalaire
(
.
∣
.
)
(. \mid .)
(
.
∣
.
)
.
Encadré
—
Notation 1.2
Une norme associée à un produit scalaire se note usuellement
∥
.
∥
\|.\|
∥.∥
.
Définition
Soit
x
x
x
un vecteur d'un espace préhilbertien réel. On dit que
x
x
x
est unitaire si
∥
x
∥
=
1
\|x\| = 1
∥
x
∥
=
1
.
Proposition
—
Relations entre produit scalaire et norme
Soit
E
E
E
un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel muni d'un produit scalaire
(
.
∣
.
)
(. \mid .)
(
.
∣
.
)
et d'une norme associée
∥
.
∥
\|.\|
∥.∥
. On a les relations suivantes :
Identités remarquables
:
∥
x
+
y
∥
2
=
∥
x
∥
2
+
2
(
x
∣
y
)
+
∥
y
∥
2
\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2(x \mid y) + \|y\|^2
∥
x
+
y
∥
2
=
∥
x
∥
2
+
2
(
x
∣
y
)
+
∥
y
∥
2
∥
x
−
y
∥
2
=
∥
x
∥
2
−
2
(
x
∣
y
)
+
∥
y
∥
2
\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2(x \mid y) + \|y\|^2
∥
x
−
y
∥
2
=
∥
x
∥
2
−
2
(
x
∣
y
)
+
∥
y
∥
2
∥
x
∥
2
−
∥
y
∥
2
=
(
x
+
y
∣
x
−
y
)
\|x\|^2 - \|y\|^2 = (x+y \mid x-y)
∥
x
∥
2
−
∥
y
∥
2
=
(
x
+
y
∣
x
−
y
)
Identités de polarisation
:
(
x
∣
y
)
=
1
2
(
∥
x
+
y
∥
2
−
∥
x
∥
2
−
∥
y
∥
2
)
=
1
4
(
∥
x
+
y
∥
2
−
∥
x
−
y
∥
2
)
(x \mid y) = \frac{1}{2} (\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2) = \frac{1}{4} (\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)
(
x
∣
y
)
=
2
1
(
∥
x
+
y
∥
2
−
∥
x
∥
2
−
∥
y
∥
2
)
=
4
1
(
∥
x
+
y
∥
2
−
∥
x
−
y
∥
2
)
Identité du parallélogramme
:
∥
x
+
y
∥
2
+
∥
x
−
y
∥
2
=
2
(
∥
x
∥
2
+
∥
y
∥
2
)
\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)
∥
x
+
y
∥
2
+
∥
x
−
y
∥
2
=
2
(
∥
x
∥
2
+
∥
y
∥
2
)
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Les identités de polarisation permettent donc de retrouver le produit scalaire à partir de la norme.
Remarque
Si
x
x
x
et
y
y
y
sont de même norme, alors
x
+
y
x+y
x
+
y
et
x
−
y
x-y
x
−
y
sont orthogonaux. Géométriquement, les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
Proposition
—
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit
(
.
∣
.
)
(. \mid .)
(
.
∣
.
)
un produit scalaire sur un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel
E
E
E
et
∥
.
∥
\|.\|
∥.∥
sa norme associée. Alors pour tous
x
,
y
∈
E
x, y \in E
x
,
y
∈
E
:
∣
(
x
∣
y
)
∣
≤
∥
x
∥
∥
y
∥
|(x \mid y)| \le \|x\| \|y\|
∣
(
x
∣
y
)
∣
≤
∥
x
∥∥
y
∥
avec égalité si et seulement si
x
x
x
et
y
y
y
sont colinéaires.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si l'on omet la valeur absolue, le cas d'égalité
(
x
∣
y
)
=
∥
x
∥
∥
y
∥
(x \mid y) = \|x\| \|y\|
(
x
∣
y
)
=
∥
x
∥∥
y
∥
ne se produit que si
x
x
x
et
y
y
y
sont positivement colinéaires, autrement dit si et seulement si il existe
λ
∈
R
+
\lambda \in \mathbb{R}_+
λ
∈
R
+
tel que
x
=
λ
y
x = \lambda y
x
=
λ
y
ou
y
=
λ
x
y = \lambda x
y
=
λ
x
.
Encadré
—
Cauchy-Schwarz pour les intégrales
Si
f
f
f
et
g
g
g
sont deux fonctions continues sur
[
a
,
b
]
[a, b]
[
a
,
b
]
à valeurs réelles
∣
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
∣
≤
(
∫
a
b
f
(
t
)
2
d
t
)
1
/
2
(
∫
a
b
g
(
t
)
2
d
t
)
1
/
2
\left| \int_a^b f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \right| \le \left(\int_a^b f(t)^2 \, \mathrm{d}t\right)^{1/2} \left(\int_a^b g(t)^2 \, \mathrm{d}t\right)^{1/2}
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
≤
(
∫
a
b
f
(
t
)
2
d
t
)
1/2
(
∫
a
b
g
(
t
)
2
d
t
)
1/2
ou encore
(
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
)
2
≤
(
∫
a
b
f
(
t
)
2
d
t
)
(
∫
a
b
g
(
t
)
2
d
t
)
\left( \int_a^b f(t)g(t) \, \mathrm{d}t \right)^2 \le \left(\int_a^b f(t)^2 \, \mathrm{d}t\right) \left(\int_a^b g(t)^2 \, \mathrm{d}t\right)
(
∫
a
b
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
)
2
≤
(
∫
a
b
f
(
t
)
2
d
t
)
(
∫
a
b
g
(
t
)
2
d
t
)
Encadré
—
Cauchy-Schwarz sur
R
n
\mathbb{R}^n
R
n
Si
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(x_1, \dots, x_n)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
et
(
y
1
,
…
,
y
n
)
(y_1, \dots, y_n)
(
y
1
,
…
,
y
n
)
sont deux
n
n
n
-uplets de
R
n
\mathbb{R}^n
R
n
∣
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
∣
≤
(
∑
k
=
1
n
x
k
2
)
1
/
2
(
∑
k
=
1
n
y
k
2
)
1
/
2
\left| \sum_{k=1}^n x_k y_k \right| \le \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{k=1}^n y_k^2 \right)^{1/2}
k
=
1
∑
n
x
k
y
k
≤
(
k
=
1
∑
n
x
k
2
)
1/2
(
k
=
1
∑
n
y
k
2
)
1/2
ou encore
(
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
)
2
≤
(
∑
k
=
1
n
x
k
2
)
(
∑
k
=
1
n
y
k
2
)
\left( \sum_{k=1}^n x_k y_k \right)^2 \le \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n y_k^2 \right)
(
k
=
1
∑
n
x
k
y
k
)
2
≤
(
k
=
1
∑
n
x
k
2
)
(
k
=
1
∑
n
y
k
2
)
Proposition
—
Propriétés de la norme euclidienne
Soit
E
E
E
un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel muni d'un produit scalaire
(
.
∣
.
)
(. \mid .)
(
.
∣
.
)
et d'une norme associée
∥
.
∥
\|.\|
∥.∥
.
Séparation
:
∀
x
∈
E
,
∥
x
∥
=
0
⟺
x
=
0
E
\forall x \in E, \|x\| = 0 \iff x = 0_E
∀
x
∈
E
,
∥
x
∥
=
0
⟺
x
=
0
E
Homogénéité
:
∀
(
λ
,
x
)
∈
R
×
E
,
∥
λ
x
∥
=
∣
λ
∣
∥
x
∥
\forall (\lambda, x) \in \mathbb{R} \times E, \|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|
∀
(
λ
,
x
)
∈
R
×
E
,
∥
λ
x
∥
=
∣
λ
∣∥
x
∥
Inégalité triangulaire
:
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
∥
x
+
y
∥
≤
∥
x
∥
+
∥
y
∥
\forall (x, y) \in E^2, \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
∥
x
+
y
∥
≤
∥
x
∥
+
∥
y
∥
Démonstration bientôt disponible
Encadré
—
Norme
De manière générale, on appelle norme sur un
R
\mathbb{R}
R
-espace vectoriel
E
E
E
toute application
N
:
E
→
R
+
N : E \to \mathbb{R}_+
N
:
E
→
R
+
vérifiant
Séparation
:
∀
x
∈
E
,
N
(
x
)
=
0
⟹
x
=
0
E
\forall x \in E, N(x) = 0 \implies x = 0_E
∀
x
∈
E
,
N
(
x
)
=
0
⟹
x
=
0
E
Homogénéité
:
∀
(
λ
,
x
)
∈
R
×
E
,
N
(
λ
x
)
=
∣
λ
∣
N
(
x
)
\forall (\lambda, x) \in \mathbb{R} \times E, N(\lambda x) = |\lambda| N(x)
∀
(
λ
,
x
)
∈
R
×
E
,
N
(
λ
x
)
=
∣
λ
∣
N
(
x
)
Inégalité triangulaire
:
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
N
(
x
+
y
)
≤
N
(
x
)
+
N
(
y
)
\forall (x, y) \in E^2, N(x+y) \le N(x) + N(y)
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
,
N
(
x
+
y
)
≤
N
(
x
)
+
N
(
y
)
2
Familles orthogonales
3
Orthogonalité
Changement de variable pour équations logarithmiques et exponentielles
Pour résoudre des équations de la forme
e
f
(
x
)
=
k
e^{f(x)} = k
e
f
(
x
)
=
k
ou comportant
e
2
x
e^{2x}
e
2
x
, poser
u
=
e
x
u = e^x
u
=
e
x
pour se ramener à une équation polynomiale. Pour les équations logarithmiques, utiliser les propriétés
ln
(
a
b
)
=
ln
a
+
ln
b
\ln(ab) = \ln a + \ln b
ln
(
ab
)
=
ln
a
+
ln
b
et vérifier le domaine de définition.
Exercices lies
— 1
1
Exercice 1
Soient
a
,
b
∈
R
∗
a, b \in \mathbb{R}^*
a
,
b
∈
R
∗
tels que
a
≠
b
a \neq b
a
=
b
.
Résoudre l'équation d'inconnue
x
∈
R
∗
x \in \mathbb{R}^*
x
∈
R
∗
:
1
x
+
1
b
=
1
a
\frac{1}{x} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a}
x
1
+
b
1
=
a
1
.
Cours
1
Produit scalaire et norme
2
Familles orthogonales
3
Orthogonalité
Méthodes
1
Changement de variable pour équations logarithmiques et exponentielles
Pour résoudre des équations de la forme
e
f
(
x
)
=
k
e^{f(x)} = k
e
f
(
x
)
=
k
ou comportant
e
2
x
e^{2x}
e
2
x
, poser
u
=
e
x
u = e^x
u
=
e
x
pour se ramener à une équation polynomiale. Pour les équations logarithmiques, utiliser les propriétés
ln
(
a
b
)
=
ln
a
+
ln
b
\ln(ab) = \ln a + \ln b
ln
(
ab
)
=
ln
a
+
ln
b
et vérifier le domaine de définition.
Exercices
1
Exercice 1
