Familles sommables

Soit $\varphi$ une permutation de $J$ et $K \in \mathcal{P}_f(J)$. Alors $\varphi^{-1}(K) \in \mathcal{P}_f(J)$ et
$$\sum_{j \in K} u_{\varphi(j)} = \sum_{j \in \varphi^{-1}(K)} u_j$$
puisque $\varphi$ réalise une bijection de $\varphi^{-1}(K)$ sur $K$. En passant au supremum sur toutes les parties finies $K$ de $J$, et en remarquant que $\{\varphi^{-1}(K), K \in \mathcal{P}_f(J)\} = \mathcal{P}_f(J)$ (car $\varphi$ est une bijection de $J$ dans $J$), on obtient d'après la Définition 1.1 :
$$\sum_{j \in J} u_{\varphi(j)} = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in K} u_{\varphi(j)} = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in \varphi^{-1}(K)} u_j = \sup_{L \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in L} u_j = \sum_{j \in J} u_j$$

Montrons les deux points séparément.

Somme. Soit $K \in \mathcal{P}_f(J)$. Par additivité de la somme finie,
$$\sum_{j \in K} (u_j + v_j) = \sum_{j \in K} u_j + \sum_{j \in K} v_j \le \sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j$$
d'après la Définition 1.1 (chaque somme finie est majorée par le supremum). En passant au supremum sur $K$, on obtient $\sum_{j \in J} (u_j + v_j) \le \sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j$.

Réciproquement, soient $K_1, K_2 \in \mathcal{P}_f(J)$. Alors $K = K_1 \cup K_2 \in \mathcal{P}_f(J)$ et
$$\sum_{j \in K_1} u_j + \sum_{j \in K_2} v_j \le \sum_{j \in K} u_j + \sum_{j \in K} v_j \le \sum_{j \in K} (u_j + v_j) \le \sum_{j \in J} (u_j + v_j)$$
En passant au supremum sur $K_1$ puis sur $K_2$, on conclut $\sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j \le \sum_{j \in J} (u_j + v_j)$. D'où l'égalité.

Multiplication par un réel positif. Soit $K \in \mathcal{P}_f(J)$. On a
$$\sum_{j \in K} \lambda u_j = \lambda \sum_{j \in K} u_j$$
En passant au supremum sur $K$ et en utilisant que $\lambda \ge 0$ (donc le supremum passe après la multiplication par $\lambda$), on obtient
$$\sum_{j \in J} \lambda u_j = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \lambda \sum_{j \in K} u_j = \lambda \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in K} u_j = \lambda \sum_{j \in J} u_j$$

Posons $S = \sum_{j \in J} u_j$ et $T = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} u_j$ (les deux membres sont dans $[0, +\infty]$ d'après la Définition 1.1).

Montrons $T \le S$. Soit $F \in \mathcal{P}_f(I)$. Pour chaque $i \in F$, soit $K_i \in \mathcal{P}_f(J_i)$. Alors $K = \bigcup_{i \in F} K_i \in \mathcal{P}_f(J)$ (union finie de parties finies) et les $K_i$ étant deux à deux disjoints (car les $J_i$ le sont),
$$\sum_{i \in F} \sum_{j \in K_i} u_j = \sum_{j \in K} u_j \le S$$
En passant au supremum sur chaque $K_i$ puis sur $F$, on obtient $T \le S$.

Montrons $S \le T$. Soit $K \in \mathcal{P}_f(J)$. Puisque $J = \bigsqcup_{i \in I} J_i$ et $K$ est finie, l'ensemble $F = \{i \in I, J_i \cap K \ne \emptyset\}$ est fini. Pour chaque $i \in F$, $K_i = K \cap J_i \in \mathcal{P}_f(J_i)$. Alors
$$\sum_{j \in K} u_j = \sum_{i \in F} \sum_{j \in K_i} u_j \le \sum_{i \in F} \sum_{j \in J_i} u_j \le T$$
En passant au supremum sur $K$, on conclut $S \le T$. Donc $S = T$.

Appliquons la Proposition 1.3 (Sommation par paquets) avec la partition $I \times J = \bigsqcup_{i \in I} (\{i\} \times J)$. Les sous-ensembles $J_i = \{i\} \times J$ sont bien deux à deux disjoints et leur union vaut $I \times J$. On obtient :
$$\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} u_{i,j}$$
Par symétrie (en appliquant la Proposition 1.3 avec la partition $I \times J = \bigsqcup_{j \in J} (I \times \{j\})$), on obtient de même :
$$\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} u_{i,j}$$
Ces deux égalités, combinées, donnent le résultat.

On veut calculer la somme de la famille $\left(\dfrac{1}{q^p}\right)_{p \ge 2,\, q \ge 2}$ de réels positifs.

Application du Théorème de Fubini positif (Proposition 1.4) :

Tous les termes $\dfrac{1}{q^p}$ sont positifs. Par la Proposition 1.4, on peut intervertir les sommations :
$$\sum_{p \ge 2,\, q \ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{q \ge 2} \left( \sum_{p \ge 2} \frac{1}{q^p} \right).$$

Calcul de la somme intérieure (série géométrique) :

Pour $q \ge 2$ fixé, $\dfrac{1}{q} \in ]0, 1[$, donc la série géométrique converge (Proposition 1.3 appliquée à la sommation par paquets, ou directement) :
$$\sum_{p \ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{p \ge 2} \left(\frac{1}{q}\right)^p = \frac{(1/q)^2}{1 - 1/q} = \frac{1/q^2}{(q-1)/q} = \frac{1}{q(q-1)}.$$

Calcul de la somme extérieure (télescopage) :

On décompose $\dfrac{1}{q(q-1)} = \dfrac{1}{q-1} - \dfrac{1}{q}$ (décomposition en éléments simples). Donc :
$$\sum_{q \ge 2} \frac{1}{q(q-1)} = \sum_{q \ge 2} \left( \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q} \right).$$

Cette série est télescopique : la somme partielle $\sum_{q=2}^{N} \left(\frac{1}{q-1} - \frac{1}{q}\right) = 1 - \frac{1}{N} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 1$.

Conclusion : $\displaystyle\sum_{p \ge 2,\, q \ge 2} \frac{1}{q^p} = 1$. $□$