Familles sommables

Pour démontrer qu'une famille $(a_i{)}_{i\in I}$ est sommable, on peut

• si $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ sur $I$, on peut démontrer que la série $\sum a_{\phi (n)}$ est absolument convergente;
• si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$, et si on sait facilement calculer ou majorer ${\sum }_{i\in I_n}|a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou que $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb{N}$), il suffit de prouver la convergence de ${\sum }_n{\sum }_{i\in I_n}|a_i|$;
• si $I={\mathbb{N}}^2$, il suffit de démontrer que pour tout $m\ge 1$, la série ${\sum }_n|a(m,n)|$ est convergente, et que la série ${\sum }_m({\sum }_{n\ge 1}|a(m,n)|)$ est aussi convergente.