The Maths Tailor

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1. Familles de réels positifs

1.1. Familles de réels positifs

Définition —Somme d'une famille de réels positifs

Soit

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. Notons

\mathcal{P}_f(J)

l'ensemble des parties finies de

J

. On pose

\sum_{j\in J} u_j = \sup \left\{ \sum_{j\in K} u_j, K \in \mathcal{P}_f(J) \right\} \in [0, +\infty]

Remarque

Dans le cas où

I = \mathbb{N}

, la somme de la suite positive

(u_n)_{n\in \mathbb{N}}

est tout simplement la somme de la série

\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n

. Si la série diverge,

\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty

Proposition —Invariance de la somme par permutation

Soient

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs et

\varphi

une permutation de

J

. Alors

\sum_{j\in J} u_{\varphi(j)} = \sum_{j\in J} u_j

Démonstration bientôt disponible

Définition —Famille sommable de réels positifs

Soit

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. On dit que

(u_j)_{j\in J}

est sommable si

\displaystyle\sum_{j\in J} u_j < +\infty

Remarque

Soient

(a_j)_{j\in J}

(b_j)_{j\in J}

deux familles de réels tels que

0 \le a_j \le b_j

pour tout

j\in J

. Si

(b_j)_{j\in J}

est sommable, alors

(a_j)_{j\in J}

également.

Exemple

Soit

q \in [0, 1[

. La famille

(q^{|n|})_{n\in \mathbb{Z}}

est sommable. En effet, si

J

est une partie finie de

\mathbb{Z}

, il existe

N \in \mathbb{N}

tel que

J \subset \llbracket -N, N \rrbracket

. Alors

\sum_{n\in J} q^{|n|} \le \sum_{n=-N}^N q^{|n|} = 1 + 2q \frac{1-q^N}{1-q} \le 1 + \frac{2q}{1-q} = \frac{1+q}{1-q}

La somme de la famille

(q^{|n|})_{n\in \mathbb{Z}}

est

\frac{1+q}{1-q}

puisque

\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=-N}^N q^{|n|} = \frac{1+q}{1-q}

Exemple

La famille

\left(\frac{1}{pq}\right)_{(p,q)\in (\mathbb{N}^*)^2}

n'est pas sommable. En effet, posons

J_N = \llbracket 1, N \rrbracket^2

pour tout

N \in \mathbb{N}^*

. Alors

\sum_{(p,q)\in J_N} \frac{1}{pq} = \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)^2 \xrightarrow[N\to +\infty]{} +\infty

puisque la série harmonique diverge vers

+\infty

Proposition —Opérations

Somme : Soient $(u_j)_{j\in J}$ et $(v_j)_{j\in J}$ des familles de réels positifs. Alors $\displaystyle\sum_{j\in J} (u_j + v_j) = \sum_{j\in J} u_j + \sum_{j\in J} v_j$ .
Multiplication par un réel positif : Soient $(u_j)_{j\in J}$ une famille de réels positifs et $\lambda$ un réel positif. Alors $\displaystyle\sum_{j\in J} \lambda u_j = \lambda \sum_{j\in J} u_j$ .

Démonstration bientôt disponible

Remarque

On utilise les conventions de calcul suivantes dans

[0, +\infty]

$(+\infty) + (+\infty) = +\infty$ ;
pour $\lambda > 0$ , $\lambda \times (+\infty) = +\infty$ ;
$0 \times (+\infty) = 0$ .

Proposition —Sommation par paquets

Soit

J = \bigsqcup_{i\in I} J_i

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. Alors

\sum_{i\in I} \sum_{j\in J_i} u_j = \sum_{j\in J} u_j

Démonstration bientôt disponible

Remarque

L'égalité est encore valable lorsque l'un des membres vaut

+\infty

Exemple

On souhaite calculer

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}

en admettant que

\zeta(2) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

.
En utilisant la partition

\mathbb{N}^* = \{2k, k\in \mathbb{N}^*\} \sqcup \{2k+1, k\in \mathbb{N}\}

(note: correction tiny typo in source partition description if needed, source says {2k+1, k in N}),

\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{1}{4}\zeta(2) + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}

On en déduit que

\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4}\zeta(2) = \frac{\pi^2}{8}

Méthode

Pour montrer qu'une famille de réels positifs

(u_i)_{i\in I}

est sommable, on peut employer le théorème de sommation par paquets ou le théorème de Fubini positif pour montrer que

\displaystyle\sum_{i\in I} u_i < +\infty

Exemple

On veut déterminer la nature de la famille

\left(\frac{1}{(m+n)^\alpha}\right)_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2}

pour

\alpha \in \mathbb{R}

. Comme il s'agit d'une famille de réels positifs, on peut employer le théorème de sommation par paquets en remarquant que

(\mathbb{N}^*)^2 = \bigsqcup_{p\ge 2} I_p

avec

I_p = \{(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2, m+n=p\}

. Ainsi

\sum_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{(m+n)^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \sum_{(m,n)\in I_p} \frac{1}{(m+n)^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{\text{card}(I_p)}{p^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{p-1}{p^\alpha}

\frac{p-1}{p^\alpha} \sim_{p\to +\infty} \frac{1}{p^{\alpha-1}}

donc

\sum_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{(m+n)^\alpha} < +\infty \iff \alpha > 2

Proposition —Théorème de Fubini positif

Soit

(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J} \in (\mathbb{R}_+)^{I\times J}

une famille de réels positifs. Alors

\sum_{(i,j)\in I\times J} u_{i,j} = \sum_{i\in I} \left(\sum_{j\in J} u_{i,j}\right) = \sum_{j\in J} \left(\sum_{i\in I} u_{i,j}\right)

Démonstration bientôt disponible

Remarque

A nouveau, l'égalité est encore valable lorsque l'un des membres vaut

+\infty

Application

On souhaite calculer la somme de la famille

\left(\frac{1}{q^p}\right)_{p,q\ge 2}

\sum_{p,q\ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{q=2}^{+\infty} \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{q^p} = \sum_{q=2}^{+\infty} \frac{1}{q^2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{q}} = \sum_{q=2}^{+\infty} \frac{1}{q^2-q} = \sum_{q=2}^{+\infty} \left( \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q} \right) = 1

Correction bientôt disponible

Familles sommables

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