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Familles sommables | The Maths Tailor

Familles sommables

Cours Exercices

Cours— 3 sections

1Familles de réels positifs

1. Familles de réels positifs

1.1. Familles de réels positifs

Définition —Somme d'une famille de réels positifs

Soit

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. Notons

\mathcal{P}_f(J)

l'ensemble des parties finies de

J

. On pose

\sum_{j\in J} u_j = \sup \left\{ \sum_{j\in K} u_j, K \in \mathcal{P}_f(J) \right\} \in [0, +\infty]

Remarque

Dans le cas où

I = \mathbb{N}

, la somme de la suite positive

(u_n)_{n\in \mathbb{N}}

est tout simplement la somme de la série

\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n

. Si la série diverge,

\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty

Proposition —Invariance de la somme par permutation

Soient

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs et

\varphi

une permutation de

J

. Alors

\sum_{j\in J} u_{\varphi(j)} = \sum_{j\in J} u_j

Démonstration

Soit

\varphi

une permutation de

J

K \in \mathcal{P}_f(J)

. Alors

\varphi^{-1}(K) \in \mathcal{P}_f(J)

\sum_{j \in K} u_{\varphi(j)} = \sum_{j \in \varphi^{-1}(K)} u_j

puisque

\varphi

réalise une bijection de

\varphi^{-1}(K)

sur

K

. En passant au supremum sur toutes les parties finies

K

J

, et en remarquant que

\{\varphi^{-1}(K), K \in \mathcal{P}_f(J)\} = \mathcal{P}_f(J)

(car

\varphi

est une bijection de

J

dans

J

), on obtient d'après la Définition 1.1 :

\sum_{j \in J} u_{\varphi(j)} = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in K} u_{\varphi(j)} = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in \varphi^{-1}(K)} u_j = \sup_{L \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in L} u_j = \sum_{j \in J} u_j

Définition —Famille sommable de réels positifs

Soit

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. On dit que

(u_j)_{j\in J}

est sommable si

\displaystyle\sum_{j\in J} u_j < +\infty

Remarque

Soient

(a_j)_{j\in J}

(b_j)_{j\in J}

deux familles de réels tels que

0 \le a_j \le b_j

pour tout

j\in J

. Si

(b_j)_{j\in J}

est sommable, alors

(a_j)_{j\in J}

également.

Exemple

Soit

q \in [0, 1[

. La famille

(q^{|n|})_{n\in \mathbb{Z}}

est sommable. En effet, si

J

est une partie finie de

\mathbb{Z}

, il existe

N \in \mathbb{N}

tel que

J \subset \llbracket -N, N \rrbracket

. Alors

\sum_{n\in J} q^{|n|} \le \sum_{n=-N}^N q^{|n|} = 1 + 2q \frac{1-q^N}{1-q} \le 1 + \frac{2q}{1-q} = \frac{1+q}{1-q}

La somme de la famille

(q^{|n|})_{n\in \mathbb{Z}}

est

\frac{1+q}{1-q}

puisque

\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=-N}^N q^{|n|} = \frac{1+q}{1-q}

Exemple

La famille

\left(\frac{1}{pq}\right)_{(p,q)\in (\mathbb{N}^*)^2}

n'est pas sommable. En effet, posons

J_N = \llbracket 1, N \rrbracket^2

pour tout

N \in \mathbb{N}^*

. Alors

\sum_{(p,q)\in J_N} \frac{1}{pq} = \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)^2 \xrightarrow[N\to +\infty]{} +\infty

puisque la série harmonique diverge vers

+\infty

Proposition —Opérations

Somme : Soient $(u_j)_{j\in J}$ et $(v_j)_{j\in J}$ des familles de réels positifs. Alors $\displaystyle\sum_{j\in J} (u_j + v_j) = \sum_{j\in J} u_j + \sum_{j\in J} v_j$ .
Multiplication par un réel positif : Soient $(u_j)_{j\in J}$ une famille de réels positifs et $\lambda$ un réel positif. Alors $\displaystyle\sum_{j\in J} \lambda u_j = \lambda \sum_{j\in J} u_j$ .

Démonstration

Montrons les deux points séparément.

Somme. Soit

K \in \mathcal{P}_f(J)

. Par additivité de la somme finie,

\sum_{j \in K} (u_j + v_j) = \sum_{j \in K} u_j + \sum_{j \in K} v_j \le \sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j

d'après la Définition 1.1 (chaque somme finie est majorée par le supremum). En passant au supremum sur

K

, on obtient

\sum_{j \in J} (u_j + v_j) \le \sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j

.

Réciproquement, soient

K_1, K_2 \in \mathcal{P}_f(J)

. Alors

K = K_1 \cup K_2 \in \mathcal{P}_f(J)

\sum_{j \in K_1} u_j + \sum_{j \in K_2} v_j \le \sum_{j \in K} u_j + \sum_{j \in K} v_j \le \sum_{j \in K} (u_j + v_j) \le \sum_{j \in J} (u_j + v_j)

En passant au supremum sur

K_1

puis sur

K_2

, on conclut

\sum_{j \in J} u_j + \sum_{j \in J} v_j \le \sum_{j \in J} (u_j + v_j)

. D'où l'égalité.

Multiplication par un réel positif. Soit

K \in \mathcal{P}_f(J)

. On a

\sum_{j \in K} \lambda u_j = \lambda \sum_{j \in K} u_j

En passant au supremum sur

K

et en utilisant que

\lambda \ge 0

(donc le supremum passe après la multiplication par

\lambda

), on obtient

\sum_{j \in J} \lambda u_j = \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \lambda \sum_{j \in K} u_j = \lambda \sup_{K \in \mathcal{P}_f(J)} \sum_{j \in K} u_j = \lambda \sum_{j \in J} u_j

Remarque

On utilise les conventions de calcul suivantes dans

[0, +\infty]

$(+\infty) + (+\infty) = +\infty$ ;
pour $\lambda > 0$ , $\lambda \times (+\infty) = +\infty$ ;
$0 \times (+\infty) = 0$ .

Proposition —Sommation par paquets

Soit

J = \bigsqcup_{i\in I} J_i

(u_j)_{j\in J} \in (\mathbb{R}_+)^J

une famille de réels positifs. Alors

\sum_{i\in I} \sum_{j\in J_i} u_j = \sum_{j\in J} u_j

Démonstration

Posons

S = \sum_{j \in J} u_j

T = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} u_j

(les deux membres sont dans

[0, +\infty]

d'après la Définition 1.1).

Montrons $T \le S$ . Soit

F \in \mathcal{P}_f(I)

. Pour chaque

i \in F

, soit

K_i \in \mathcal{P}_f(J_i)

. Alors

K = \bigcup_{i \in F} K_i \in \mathcal{P}_f(J)

(union finie de parties finies) et les

K_i

étant deux à deux disjoints (car les

J_i

le sont),

\sum_{i \in F} \sum_{j \in K_i} u_j = \sum_{j \in K} u_j \le S

En passant au supremum sur chaque

K_i

puis sur

F

, on obtient

T \le S

.

Montrons $S \le T$ . Soit

K \in \mathcal{P}_f(J)

. Puisque

J = \bigsqcup_{i \in I} J_i

K

est finie, l'ensemble

F = \{i \in I, J_i \cap K \ne \emptyset\}

est fini. Pour chaque

i \in F

K_i = K \cap J_i \in \mathcal{P}_f(J_i)

. Alors

\sum_{j \in K} u_j = \sum_{i \in F} \sum_{j \in K_i} u_j \le \sum_{i \in F} \sum_{j \in J_i} u_j \le T

En passant au supremum sur

K

, on conclut

S \le T

. Donc

S = T

Remarque

L'égalité est encore valable lorsque l'un des membres vaut

+\infty

Exemple

On souhaite calculer

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}

en admettant que

\zeta(2) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

.
En utilisant la partition

\mathbb{N}^* = \{2k, k\in \mathbb{N}^*\} \sqcup \{2k+1, k\in \mathbb{N}\}

(note: correction tiny typo in source partition description if needed, source says {2k+1, k in N}),

\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{1}{4}\zeta(2) + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}

On en déduit que

\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{3}{4}\zeta(2) = \frac{\pi^2}{8}

Méthode

Pour montrer qu'une famille de réels positifs

(u_i)_{i\in I}

est sommable, on peut employer le théorème de sommation par paquets ou le théorème de Fubini positif pour montrer que

\displaystyle\sum_{i\in I} u_i < +\infty

Exemple

On veut déterminer la nature de la famille

\left(\frac{1}{(m+n)^\alpha}\right)_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2}

pour

\alpha \in \mathbb{R}

. Comme il s'agit d'une famille de réels positifs, on peut employer le théorème de sommation par paquets en remarquant que

(\mathbb{N}^*)^2 = \bigsqcup_{p\ge 2} I_p

avec

I_p = \{(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2, m+n=p\}

. Ainsi

\sum_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{(m+n)^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \sum_{(m,n)\in I_p} \frac{1}{(m+n)^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{\operatorname{card}(I_p)}{p^\alpha} = \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{p-1}{p^\alpha}

\frac{p-1}{p^\alpha} \sim_{p\to +\infty} \frac{1}{p^{\alpha-1}}

donc

\sum_{(m,n)\in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{(m+n)^\alpha} < +\infty \iff \alpha > 2

Proposition —Théorème de Fubini positif

Soit

(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J} \in (\mathbb{R}_+)^{I\times J}

une famille de réels positifs. Alors

\sum_{(i,j)\in I\times J} u_{i,j} = \sum_{i\in I} \left(\sum_{j\in J} u_{i,j}\right) = \sum_{j\in J} \left(\sum_{i\in I} u_{i,j}\right)

Démonstration

Appliquons la Proposition 1.3 (Sommation par paquets) avec la partition

I \times J = \bigsqcup_{i \in I} (\{i\} \times J)

. Les sous-ensembles

J_i = \{i\} \times J

sont bien deux à deux disjoints et leur union vaut

I \times J

. On obtient :

\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} u_{i,j}

Par symétrie (en appliquant la Proposition 1.3 avec la partition

I \times J = \bigsqcup_{j \in J} (I \times \{j\})

), on obtient de même :

\sum_{(i,j) \in I \times J} u_{i,j} = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} u_{i,j}

Ces deux égalités, combinées, donnent le résultat.

Remarque

A nouveau, l'égalité est encore valable lorsque l'un des membres vaut

+\infty

Application

On souhaite calculer la somme de la famille

\left(\frac{1}{q^p}\right)_{p,q\ge 2}

\sum_{p,q\ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{q=2}^{+\infty} \sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{q^p} = \sum_{q=2}^{+\infty} \frac{1}{q^2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{q}} = \sum_{q=2}^{+\infty} \frac{1}{q^2-q} = \sum_{q=2}^{+\infty} \left( \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q} \right) = 1

Correction

On veut calculer la somme de la famille

\left(\dfrac{1}{q^p}\right)_{p \ge 2,\, q \ge 2}

de réels positifs.

Application du Théorème de Fubini positif (Proposition 1.4) :

Tous les termes

\dfrac{1}{q^p}

sont positifs. Par la Proposition 1.4, on peut intervertir les sommations :

\sum_{p \ge 2,\, q \ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{q \ge 2} \left( \sum_{p \ge 2} \frac{1}{q^p} \right).

Calcul de la somme intérieure (série géométrique) :

Pour

q \ge 2

fixé,

\dfrac{1}{q} \in ]0, 1[

, donc la série géométrique converge (Proposition 1.3 appliquée à la sommation par paquets, ou directement) :

\sum_{p \ge 2} \frac{1}{q^p} = \sum_{p \ge 2} \left(\frac{1}{q}\right)^p = \frac{(1/q)^2}{1 - 1/q} = \frac{1/q^2}{(q-1)/q} = \frac{1}{q(q-1)}.

Calcul de la somme extérieure (télescopage) :

On décompose

\dfrac{1}{q(q-1)} = \dfrac{1}{q-1} - \dfrac{1}{q}

(décomposition en éléments simples). Donc :

\sum_{q \ge 2} \frac{1}{q(q-1)} = \sum_{q \ge 2} \left( \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q} \right).

Cette série est télescopique : la somme partielle

\sum_{q=2}^{N} \left(\frac{1}{q-1} - \frac{1}{q}\right) = 1 - \frac{1}{N} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 1

.

Conclusion :

\displaystyle\sum_{p \ge 2,\, q \ge 2} \frac{1}{q^p} = 1

□

2Familles sommables de complexes

3Produit de Cauchy

Cours

1Familles de réels positifs

2Familles sommables de complexes

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3Produit de Cauchy

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Méthodes3

ClassiqueDémontrer qu'une famille est sommable

Pour démontrer qu'une famille

(a_i)_{i \in I}

est sommable, on peut

si $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ sur $I$ , on peut démontrer que la série $\sum a_{\varphi(n)}$ est absolument convergente;
si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$ , et si on sait facilement calculer ou majorer $\sum_{i \in I_n} |a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou que $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb{N}$ ), il suffit de prouver la convergence de $\sum_n \sum_{i \in I_n} |a_i|$ ;
si $I=\mathbb{N}^2$ , il suffit de démontrer que pour tout $m \geq 1$ , la série $\sum_n |a(m,n)|$ est convergente, et que la série $\sum_m (\sum_{n \geq 1} |a(m,n)|)$ est aussi convergente.

ClassiqueDémontrer qu'une famille n'est pas sommable

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TunnelPermuter des sommes

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Exercices

1/x^2

La famille

\left(\dfrac{1}{x^2}\right)_{x \in \mathbb{Q} \cap [1, +\infty[}

est-elle sommable ?

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille est sommable (1re technique) : l'ensemble

I = \mathbb{Q} \cap [1,+\infty[

est denombrables, ce qui permet de definir une bijection

\varphi : \mathbb{N} \to I

; montrer que la serie

\sum_n 1/\varphi(n)^2

est majoree par

\sum_{n=1}^\infty 1/n^2

(serie de Riemann convergente).

1/(m+n)^\alpha

Montrer que la famille

\left(\dfrac{1}{(m+n)^\alpha}\right)_{(m,n) \in (\mathbb{N}^*)^2}

est sommable si et seulement si

\alpha > 2

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille est sommable (2e technique) : poser

k = m+n

et noter que pour

k \geq 2

, il y a

k-1

couples

(m,n) \in (\mathbb{N}^*)^2

tels que

m+n=k

; la somme devient

\sum_{k=2}^\infty (k-1)/k^\alpha

et on etudie sa convergence.

\pi^2/6

Montrer que la famille

\left(\dfrac{1}{(p+q^2)(p+q^2+1)}\right)_{(p,q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}

est sommable et calculer sa somme.

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille est sommable (3e technique) : utiliser la decomposition telescopique

\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

avec

k = p + q^2

pour sommer sur

p

q

fixe, puis verifier la convergence de la somme sur

q

1/(p^2+q^3)

Montrer que la famille

\left(\dfrac{1}{p^2 + q^3}\right)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}

est sommable.

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille est sommable (3e technique) : fixer

q

et majorer

\sum_p 1/(p^2+q^3) \leq \sum_p 1/p^2

(serie de Riemann), puis majorer

\sum_q \sum_p 1/(p^2+q^3) \leq \sum_q C/q^{3/2}

(ou utiliser une minoration plus fine) pour conclure.

1/(mn(m+n+2))

Montrer que la famille

\left(\dfrac{1}{mn(m+n+2)}\right)_{(m,n) \in (\mathbb{N}^*)^2}

est sommable et calculer sa somme.

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille est sommable (3e technique) : pour

I = (\mathbb{N}^*)^2

, fixer

m

et majorer

\sum_n 1/(mn(m+n+2))

par une serie convergente en

n

(par exemple utiliser la decomposition en elements simples en

n

), puis verifier la convergence de la somme en

m

\tau(n)

On note

\tau(n)

le nombre de diviseurs positifs d'un entier

n \in \mathbb{N}^*

. Montrer que pour tout

z \in \mathbb{C}

tel que

|z| < 1

\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{z^n}{1 - z^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \tau(n) z^n

Indication

Appliquer les Démontrer qu'une famille est sommable et Permuter des sommes : ecrire

z^n/(1-z^n) = \sum_{k=1}^\infty z^{nk}

pour

|z|<1

; montrer la sommabilite de

(z^{nk})_{(n,k) \in (\mathbb{N}^*)^2}

par la 3e technique de 00084, puis permuter les sommations (Permuter des sommes) et regrouper par valeur de

nk

1/(p^2+q^2)

Montrer que la famille

\left(\dfrac{1}{p^2 + q^2}\right)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}

n'est pas sommable.

Indication

Appliquer la Démontrer qu'une famille n'est pas sommable (2e technique) : exhiber l'injection

\varphi(n) = (n,n)

\mathbb{N}^*

dans

(\mathbb{N}^*)^2

et montrer que

\sum_n 1/(n^2+n^2) = \sum_n 1/(2n^2)

diverge (serie de Riemann d'exposant 2, mais penser a un argument plus precis pour la divergence de la famille).