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Fonctions de deux variables | The Maths Tailor

Fonctions de deux variables

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Thème : Analyse

← Exercices & Méthodes

1. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles

1.1. Définition

Définition—Fonction de deux variables réelles

Une fonction de deux variables réelles est une fonction d'une partie

A

\mathbb{R}^2

à valeurs dans

\mathbb{R}

Encadré—Interprétation graphique

De même qu'une fonction d'une variable réelle peut-être représentée par une courbe de

\mathbb{R}^2

, une fonction de deux variables réelles peut-être représentée par une surface de

\mathbb{R}^3

. Plus précisément, soit

f : A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

. Alors la surface représentative de

f

est

\mathcal{S} = \{(x, y, f(x, y)), (x, y) \in A\}

Exemple

Voici deux exemples de surfaces représentatives.

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 - y^2

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 + y^2

Application

Quel est l'ensemble de définition de

(x, y) \mapsto \ln(x^2 - y^2)

? Le représenter graphiquement.

Correction bientôt disponible

1.2. Notion d'ouvert

Définition—Boule

Soient

a \in \mathbb{R}^2

r \in \mathbb{R}_+^*

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $B(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| < r\}$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $\overline{B}(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| \leq r\}$

1.3. Continuité

Définition—Continuité

Soient

f : U \to \mathbb{R}

a \in U

. On dit que

f

est continue en

a

\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in B(a, \alpha), |f(x) - f(a)| < \varepsilon

On dit que

f

est continue sur

U

f

est continue en tout point de

U

2. Dérivées partielles et fonctions de classe $\mathcal{C}^1$

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Dérivées partielles et composées

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4. Extrema

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1.1. Définition

Définition—Fonction de deux variables réelles

Une fonction de deux variables réelles est une fonction d'une partie

A

\mathbb{R}^2

à valeurs dans

\mathbb{R}

Encadré—Interprétation graphique

De même qu'une fonction d'une variable réelle peut-être représentée par une courbe de

\mathbb{R}^2

, une fonction de deux variables réelles peut-être représentée par une surface de

\mathbb{R}^3

. Plus précisément, soit

f : A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

. Alors la surface représentative de

f

est

\mathcal{S} = \{(x, y, f(x, y)), (x, y) \in A\}

Exemple

Voici deux exemples de surfaces représentatives.

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 - y^2

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 + y^2

Application

Quel est l'ensemble de définition de

(x, y) \mapsto \ln(x^2 - y^2)

? Le représenter graphiquement.

Correction bientôt disponible

1.2. Notion d'ouvert

Définition—Boule

Soient

a \in \mathbb{R}^2

r \in \mathbb{R}_+^*

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $B(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| < r\}$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $\overline{B}(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| \leq r\}$

1.3. Continuité

Définition—Continuité

Soient

f : U \to \mathbb{R}

a \in U

. On dit que

f

est continue en

a

\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in B(a, \alpha), |f(x) - f(a)| < \varepsilon

On dit que

f

est continue sur

U

f

est continue en tout point de

U

2. Dérivées partielles et fonctions de classe $\mathcal{C}^1$

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