Fonctions de deux variables

Nous montrons la stabilité par somme et par multiplication scalaire (ce qui suffit pour l'espace vectoriel), ainsi que par produit (pour l'anneau). Les autres opérations s'obtiennent de façon analogue.

Somme. Soient $f, g : U \to \mathbb{R}$ continues en $a \in U$ et $h = f + g$. Soit $\varepsilon > 0$. D'après la Définition 1.4, il existe $\alpha_1 > 0$ tel que
$$\forall x \in B(a, \alpha_1),\quad |f(x) - f(a)| < \frac{\varepsilon}{2}$$
et il existe $\alpha_2 > 0$ tel que
$$\forall x \in B(a, \alpha_2),\quad |g(x) - g(a)| < \frac{\varepsilon}{2}.$$
Posons $\alpha = \min(\alpha_1, \alpha_2) > 0$. Pour tout $x \in B(a, \alpha)$, on a
$$|h(x) - h(a)| = |(f(x) - f(a)) + (g(x) - g(a))| \leq |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$
Donc $h$ est continue en $a$.

Multiplication scalaire. Soient $f : U \to \mathbb{R}$ continue en $a$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Si $\lambda = 0$, la fonction nulle est trivialement continue. Sinon, soit $\varepsilon > 0$. Par continuité de $f$ en $a$ (Définition 1.4), il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout $x \in B(a, \alpha)$, $|f(x) - f(a)| < \dfrac{\varepsilon}{|\lambda|}$. Alors
$$|(\lambda f)(x) - (\lambda f)(a)| = |\lambda||f(x) - f(a)| < |\lambda| \cdot \frac{\varepsilon}{|\lambda|} = \varepsilon.$$
Donc $\lambda f$ est continue en $a$.

Produit. Soient $f, g : U \to \mathbb{R}$ continues en $a$. Puisque $f$ et $g$ sont continues en $a$, elles sont bornées au voisinage de $a$ : il existe $M > 0$ et $\alpha_0 > 0$ tels que pour tout $x \in B(a, \alpha_0)$, $|f(x)| \leq M$ et $|g(x)| \leq M$. On écrit
$$|f(x)g(x) - f(a)g(a)| = |f(x)(g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))| \leq M|g(x) - g(a)| + |g(a)||f(x) - f(a)|.$$
Soit $\varepsilon > 0$. Par continuité, il existe $\alpha_1, \alpha_2 > 0$ tels que sur les boules correspondantes, $|f(x) - f(a)| < \dfrac{\varepsilon}{2(|g(a)| + 1)}$ et $|g(x) - g(a)| < \dfrac{\varepsilon}{2M}$. En prenant $\alpha = \min(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2)$, on obtient pour tout $x \in B(a, \alpha)$
$$|f(x)g(x) - f(a)g(a)| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |g(a)| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|g(a)| + 1)} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$
Donc $fg$ est continue en $a$.

Notons $\mathcal{C}(U, \mathbb{R})$ l'ensemble des applications continues sur $U$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.

Structure d'espace vectoriel. D'après la Proposition 1.1, la somme de deux fonctions continues est continue, et le produit par un scalaire d'une fonction continue est continu. La fonction nulle est continue (constante). Ces propriétés, héritées de la structure de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}^2}$, montrent que $\mathcal{C}(U, \mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^U$, donc un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Structure d'anneau. D'après la Proposition 1.1, le produit de deux fonctions continues est continu. La loi produit est héritée de $\mathbb{R}^U$ et y est associative et distributive sur la somme. La fonction constante égale à $1$ est continue et est un élément neutre pour le produit. Donc $\mathcal{C}(U, \mathbb{R})$ est un anneau.

Montrons le résultat en un point $a \in A$ sous les hypothèses de continuité ponctuelle ; le cas global s'en déduit immédiatement.

Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $\varphi$ est continue en $f(a) \in D$ (Définition 1.4 adaptée aux fonctions d'une variable), il existe $\eta > 0$ tel que
$$\forall z \in D,\quad |z - f(a)| < \eta \implies |\varphi(z) - \varphi(f(a))| < \varepsilon.$$
Puisque $f$ est continue en $a$ (Définition 1.4), il existe $\alpha > 0$ tel que
$$\forall x \in B(a, \alpha),\quad |f(x) - f(a)| < \eta.$$
Or pour tout $x \in B(a, \alpha)$, on a $f(x) \in f(A) \subset D$, donc $|f(x) - f(a)| < \eta$ entraîne
$$|\varphi(f(x)) - \varphi(f(a))| < \varepsilon.$$
Ainsi, pour tout $x \in B(a, \alpha)$, $|(\varphi \circ f)(x) - (\varphi \circ f)(a)| < \varepsilon$. D'après la Définition 1.4, $\varphi \circ f$ est continue en $a$.