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1Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles

1. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles

1.1. Définition

Définition —Fonction de deux variables réelles

Une fonction de deux variables réelles est une fonction d'une partie

A

de

\mathbb{R}^2

à valeurs dans

\mathbb{R}

.

Encadré —Interprétation graphique

De même qu'une fonction d'une variable réelle peut-être représentée par une courbe de

\mathbb{R}^2

, une fonction de deux variables réelles peut-être représentée par une surface de

\mathbb{R}^3

. Plus précisément, soit

f : A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

. Alors la surface représentative de

f

est

\mathcal{S} = \{(x, y, f(x, y)), (x, y) \in A\}

.

Exemple

Voici deux exemples de surfaces représentatives.

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 - y^2

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 + y^2

Application

Quel est l'ensemble de définition de

(x, y) \mapsto \ln(x^2 - y^2)

? Le représenter graphiquement.

Correction bientôt disponible

1.2. Notion d'ouvert

Définition —Boule

Soient

a \in \mathbb{R}^2

et

r \in \mathbb{R}_+^*

.

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $B(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| < r\}$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $\overline{B}(a, r) = \{x \in \mathbb{R}^2, \|x - a\| \leq r\}$

Définition —Ouvert

Soit

U

une partie de

\mathbb{R}^2

. On dit que

U

est un ouvert si

\forall a \in U, \exists \varepsilon > 0, B(a, \varepsilon) \subset U

Exemple

$\emptyset$ et $\mathbb{R}^2$ sont des ouverts de $\mathbb{R}^2$ .
Une boule ouverte est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ .
Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$ et $c < d$ . Alors $]a, b[\times]c, d[$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ .

Remarque

Un ouvert de

\mathbb{R}^2

est une partie de

\mathbb{R}^2

qui ne contient pas sa « frontière ».

1.3. Continuité

Définition —Continuité

Soient

f : U \to \mathbb{R}

et

a \in U

. On dit que

f

est continue en

a

si

\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in B(a, \alpha), |f(x) - f(a)| < \varepsilon

On dit que

f

est continue sur

U

si

f

est continue en tout point de

U

.

Exemple

Les projections canoniques

\begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) \longmapsto x \end{cases}

et

\begin{cases} \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) \longmapsto y \end{cases}

sont continues sur

\mathbb{R}^2

.

Proposition —Opérations algébriques sur la continuité

Mêmes résultats que pour les fonctions d'une variable réelle.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Les projections canoniques étant continues sur

\mathbb{R}^2

, les fonctions polynomiales de deux variables sont également continues sur

\mathbb{R}^2

par opérations algébriques.

Proposition

L'ensemble des applications continues sur

U

à valeurs dans

\mathbb{R}

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel et un anneau.

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Composition et continuité

Soient

A

une partie de

\mathbb{R}

et

f : A \to \mathbb{R}

. Soient

D

une partie de

\mathbb{R}

et

\varphi : D \to \mathbb{R}

. On suppose

f(A) \subset D

.

Si

f

est continue en

a \in A

et

\varphi

est continue en

f(a)

, alors

\varphi \circ f

est continue en

a

.

Si

f

est continue sur

A

et si

\varphi

est continue sur

D

, alors

\varphi \circ f

est continue sur

A

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

La fonction

(x, y) \mapsto \sin(x^3 - xy)

est continue sur

\mathbb{R}^2

.

2Dérivées partielles et fonctions de classe

\mathcal{C}^1

3Dérivées partielles et composées

4Extrema