Nous montrons la stabilité par somme et par multiplication scalaire (ce qui suffit pour l'espace vectoriel), ainsi que par produit (pour l'anneau). Les autres opérations s'obtiennent de façon analogue.
Somme. Soient
f,g:U→R continues en
a∈U et
h=f+g. Soit
ε>0. D'après la Définition 1.4, il existe
α1>0 tel que
∀x∈B(a,α1),∣f(x)−f(a)∣<2εet il existe
α2>0 tel que
∀x∈B(a,α2),∣g(x)−g(a)∣<2ε.Posons
α=min(α1,α2)>0. Pour tout
x∈B(a,α), on a
∣h(x)−h(a)∣=∣(f(x)−f(a))+(g(x)−g(a))∣≤∣f(x)−f(a)∣+∣g(x)−g(a)∣<2ε+2ε=ε.Donc
h est continue en
a.
Multiplication scalaire. Soient
f:U→R continue en
a et
λ∈R. Si
λ=0, la fonction nulle est trivialement continue. Sinon, soit
ε>0. Par continuité de
f en
a (Définition 1.4), il existe
α>0 tel que pour tout
x∈B(a,α),
∣f(x)−f(a)∣<∣λ∣ε. Alors
∣(λf)(x)−(λf)(a)∣=∣λ∣∣f(x)−f(a)∣<∣λ∣⋅∣λ∣ε=ε.Donc
λf est continue en
a.
Produit. Soient
f,g:U→R continues en
a. Puisque
f et
g sont continues en
a, elles sont bornées au voisinage de
a : il existe
M>0 et
α0>0 tels que pour tout
x∈B(a,α0),
∣f(x)∣≤M et
∣g(x)∣≤M. On écrit
∣f(x)g(x)−f(a)g(a)∣=∣f(x)(g(x)−g(a))+g(a)(f(x)−f(a))∣≤M∣g(x)−g(a)∣+∣g(a)∣∣f(x)−f(a)∣.Soit
ε>0. Par continuité, il existe
α1,α2>0 tels que sur les boules correspondantes,
∣f(x)−f(a)∣<2(∣g(a)∣+1)ε et
∣g(x)−g(a)∣<2Mε. En prenant
α=min(α0,α1,α2), on obtient pour tout
x∈B(a,α)∣f(x)g(x)−f(a)g(a)∣<M⋅2Mε+∣g(a)∣⋅2(∣g(a)∣+1)ε<2ε+2ε=ε.Donc
fg est continue en
a.