Fonctions de deux variables

$f$ est-elle continue sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

$f$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ ?

Étudier l'existence de dérivées partielles secondes de $f$ en $(0,0)$.

Déterminer les solutions constantes de $(\ast )$.

Soit $f$ une solution non constamment nulle de $(\ast )$. Montrer que $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=0$. Montrer que $f$ est une fonction paire.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$. On considère la fonction $F$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $\forall x,y\in \mathbb{R},F(x,y)=f(x+y)+f(x-y)$. Justifier que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Calculer les dérivées partielles de $F$ et en déduire une EDO vérifiée par $f$.

Déterminer toutes les solutions de $(\ast )$.

Déterminer les points critiques de $f$.

Expliciter des points $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ arbitrairement proches de $(0,0)$ tels que $f(x,y)<0$. Expliciter de même des points $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ arbitrairement proches de $(0,0)$ tels que $f(x,y)>0$. La fonction $f$ admet-elle en $(0,0)$ un maximum local, un minimum local ou un point selle ?

On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^2$ par $\forall (u,v)\in {\mathbb{R}}^2,g(u,v)=f(1+u,1+v)-f(1,1)$. Calculer, pour tout $(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$, $g(u,v)$, puis, pour tout $(r,\theta )\in {\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}$, $g(r\cos \theta ,r\sin \theta )$.

Prouver que pour tout $(r,\theta )\in {\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}$, on a$$g(r\cos \theta ,r\sin \theta )\ge 3r^2\left(\frac{1}{2}-2r\right)$$Que peut-on en conclure ?

La fonction $f$ possède-t-elle un ou des extrema globaux ?