1. Fonctions logarithme, exponentielle et puissances
1.1. Fonction logarithme et exponentielle
Définition—Logarithme
La fonction ln est l'unique primitive de x↦x1 sur R+∗ s'annulant en 0.
Proposition—Propriétés algébriques du logarithme
Le logarithme transforme les produits en sommes :
∀(x,y)∈(R+∗)2,ln(xy)=lnx+lny
et donc les quotients en différences :
∀(x,y)∈(R+∗)2,lnyx=lnx−lny
et les puissances en multiples :
∀(x,n)∈R+∗×Z,ln(xn)=nlnx
Attention
Le produit xy peut être strictement positif sans que x et y le soient (ils peuvent être aussi tous deux strictement négatifs). Il ne faut donc surtout pas écrire ln(xy)=lnx+lny si on n'est pas sûr que x et y sont strictement positifs. Si xy est strictement positif, c'est que xy=∣xy∣ et on peut écrire sans prendre de risque
ln(xy)=ln∣x∣+ln∣y∣
Proposition
La fonction ln est dérivable sur R+∗ et pour tout x∈R+∗, ln′(x)=x1.
Définition—Exponentielle
ln est une bijection strictement croissante de R+∗ sur R. On note exp sa bijection réciproque.
Remarque
Le fait que ln et exp soient des bijections réciproques l'une de l'autre signifie que ln(exp(x))=x pour tout x∈R et exp(ln(x))=x pour tout x∈R+∗.
Proposition—Propriétés algébriques de l'exponentielle
L'exponentielle transforme les sommes en produits :
∀(x,y)∈R2,exp(x+y)=exp(x)exp(y)
et donc les différences en quotients :
∀(x,y)∈R2,exp(x−y)=exp(y)exp(x)
et les multiples en puissances :
∀(x,n)∈R×Z,exp(nx)=exp(x)n
Proposition
La fonction exp est dérivable sur R et pour tout x∈R, exp′(x)=exp(x).
Encadré—Variations de ln et exp
Variation de exp :
xexp′(x)exp(x)−∞0+↗+∞+∞
Variation de ln :
xln′(x)ln(x)0−∞+↗+∞+∞
1.2. Fonctions puissances
Définition—Puissances entières
• Si a∈R et n∈N∗, on pose an=n foisa×a×⋯×a.
• Si a∈R∗ et n∈Z−∗, on pose an=a−n1.
• Si a∈R∗, on convient que a0=1.
1.3. Croissances comparées
Lemme
x→+∞limxlnx=0
2. Fonctions circulaires directes et réciproques
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
Si a est négatif, on ne peut pas définir de puissances non entières de a.
Remarque
Il est important de remarquer que les deux définitions des puissances coïncident. Autrement dit, si a∈R+∗ et n∈Z, an=exp(nlna).
On peut alors étendre les propriétés des logarithmes et des exponentielles à des puissances non entières.
Proposition
• ∀(x,α)∈R+∗×R,ln(xα)=αln(x)
• ∀(x,α)∈R2,exp(x)α=exp(αx)
Démonstration bientôt disponible
Encadré—Le nombre e
On note e=exp(1) ou, de manière équivalente, on note e l'unique antécédent de 1 par ln. Pour tout x∈R, ex=exp(xlne)=exp(x). C'est pourquoi dorénavant, on notera ex et non exp(x) l'exponentielle d'un réel x.
On appelle fonction puissance toute fonction du type x↦xα où α∈R.
Proposition—Ensemble de définition
• Si α∈N∗, x↦xα est définie sur R.
• Si α∈Z−, x↦xα est définie sur R∗.
• Si α∈R∖Z, x↦xα est définie sur R+∗.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si α>0, on peut prolonger par continuité la fonction x↦xα par 0 en 0.
Si α=0, on peut prolonger par continuité la fonction x↦xα par 1 en 0.
Proposition—Parité
Soit n∈Z. La fonction x↦xn a la parité de n.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si α∈R∖Z, la fonction x↦xα n'est ni paire ni impaire puisque son domaine de définition n'est pas symétrique par rapport à 0.
Proposition—Dérivabilité
• Si α∈N∖{0,1}, x↦xα est dérivable sur R de dérivée x↦αxα−1.
• Si α∈Z−, x↦xα est dérivable sur R∗ de dérivée x↦αxα−1.
• Si α∈R∖Z, x↦xα est dérivable sur R+∗ de dérivée x↦αxα−1.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Si α>1, on peut prolonger x↦xα par 0 en 0 et ce prolongement est dérivable en 0 de dérivée nulle.
Attention
Si l'exposant est une fonction, il ne faut pas dériver n'importe comment. En clair, la dérivée de x↦xf(x) n'est pas x↦f(x)xf(x)−1.
Méthode—Dériver des fonctions de la forme x↦f(x)g(x)
L'idée est de se ramener à la forme exponentielle f(x)g(x)=exp(g(x)lnf(x)). On dérive alors comme une composée.
Application
Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de x↦xx.
Correction bientôt disponible
Encadré—Racines nèmes
Si n est un entier naturel impair, x↦xn est une bijection de R sur R. Sa bijection réciproque est notée nx et elle est définie sur R.
Si n est un entier naturel pair non nul, x↦xn induit une bijection de R+ sur R+. Sa bijection réciproque est encore notée nx et elle est définie sur R+.
De plus, pour tout n∈N∗ et tout x∈R+∗, nx=xn1.
Attention
Soit n∈N∖{0,1}.
La notation xn1 n'a aucun sens pour x≤0.
La notation nx n'a de sens pour x≤0 que si n est impair.
Attention
Les racines nèmes notées nx n'ont pas grand-chose à voir avec les racines nèmes d'un complexe.
Un nombre complexe – fût-il réel – admet n racines nèmes complexes (sauf s'il est nul, bien entendu) tandis qu'un nombre réel admet au plus une racine nème dans le sens nx.
Des notations du style nz ou zn1 avec z complexe non réel n'ont AUCUN SENS.
Remarque
Pour tout n∈N∖{0,1}, la fonction x↦nx est dérivable sur son ensemble de définition privé de 0.
Application
Déterminer x→0+limxx.
Correction bientôt disponible
Démonstration bientôt disponible
Remarque
L'idée à retenir est, qu'en +∞, l'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui elle-même l'emporte sur le logarithme.
