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Fonctions usuelles

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Cours— 3 sections

1Fonctions logarithme, exponentielle et puissances

1. Fonctions logarithme, exponentielle et puissances

1.1. Fonction logarithme et exponentielle

Définition —Logarithme

La fonction

\ln

est l'unique primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}^*_+

s'annulant en 0.

Proposition —Propriétés algébriques du logarithme

Le logarithme transforme les produits en sommes :

\forall (x, y) \in (\mathbb{R}^*_+)^2, \quad \ln(xy) = \ln x + \ln y

et donc les quotients en différences :

\forall (x, y) \in (\mathbb{R}^*_+)^2, \quad \ln \dfrac{x}{y} = \ln x - \ln y

et les puissances en multiples :

\forall (x, n) \in \mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{Z}, \quad \ln(x^n) = n \ln x

Démonstration bientôt disponible

Attention

Le produit

xy

peut être strictement positif sans que

x

y

le soient (ils peuvent être aussi tous deux strictement négatifs). Il ne faut donc surtout pas écrire

\ln(xy) = \ln x + \ln y

si on n'est pas sûr que

x

y

sont strictement positifs. Si

xy

est strictement positif, c'est que

xy = |xy|

et on peut écrire sans prendre de risque

\ln(xy) = \ln|x| + \ln|y|

Proposition

La fonction

\ln

est dérivable sur

\mathbb{R}^*_+

et pour tout

x \in \mathbb{R}^*_+

\ln'(x) = \dfrac{1}{x}

Démonstration bientôt disponible

Définition —Exponentielle

\ln

est une bijection strictement croissante de

\mathbb{R}^*_+

sur

\mathbb{R}

. On note

\exp

sa bijection réciproque.

Remarque

Le fait que

\ln

\exp

soient des bijections réciproques l'une de l'autre signifie que

\ln(\exp(x)) = x

pour tout

x \in \mathbb{R}

\exp(\ln(x)) = x

pour tout

x \in \mathbb{R}^*_+

Proposition —Propriétés algébriques de l'exponentielle

L'exponentielle transforme les sommes en produits :

\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \quad \exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)

et donc les différences en quotients :

\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \quad \exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}

et les multiples en puissances :

\forall (x, n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Z}, \quad \exp(nx) = \exp(x)^n

Démonstration bientôt disponible

Proposition

La fonction

\exp

est dérivable sur

\mathbb{R}

et pour tout

x \in \mathbb{R}

\exp'(x) = \exp(x)

Démonstration bientôt disponible

Encadré —Variations de ln et exp

Variation de exp :

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\\\ \hline \exp'(x) & & + & \\\\ \hline & & & +\infty \\\\ \exp(x) & & \nearrow & \\\\ & 0 & & \end{array}

Variation de ln :

\begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty \\\\ \hline \ln'(x) & & + & \\\\ \hline & & & +\infty \\\\ \ln(x) & & \nearrow & \\\\ & -\infty & & \end{array}

1.2. Fonctions puissances

Définition —Puissances entières

• Si

a \in \mathbb{R}

n \in \mathbb{N}^*

, on pose

a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}

.

• Si

a \in \mathbb{R}^*

n \in \mathbb{Z}^*_-

, on pose

a^n = \dfrac{1}{a^{-n}}

.

• Si

a \in \mathbb{R}^*

, on convient que

a^0 = 1

Remarque

Ainsi, si

a \in \mathbb{R}^*

a^n

est défini pour tout

n \in \mathbb{Z}

Définition —Puissances quelconques

a \in \mathbb{R}^*_+

b \in \mathbb{R}

, on pose

a^b = \exp(b \ln a)

Attention

a

est négatif, on ne peut pas définir de puissances non entières de

a

Remarque

Il est important de remarquer que les deux définitions des puissances coïncident. Autrement dit, si

a \in \mathbb{R}^*_+

n \in \mathbb{Z}

a^n = \exp(n \ln a)

.

On peut alors étendre les propriétés des logarithmes et des exponentielles à des puissances non entières.

Proposition

•

\forall (x, \alpha) \in \mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}, \quad \ln(x^\alpha) = \alpha \ln(x)

•

\forall (x, \alpha) \in \mathbb{R}^2, \quad \exp(x)^\alpha = \exp(\alpha x)

Démonstration bientôt disponible

Encadré —Le nombre

e

On note

e = \exp(1)

ou, de manière équivalente, on note

e

l'unique antécédent de 1 par

\ln

. Pour tout

x \in \mathbb{R}

e^x = \exp(x \ln e) = \exp(x)

. C'est pourquoi dorénavant, on notera

e^x

et non

\exp(x)

l'exponentielle d'un réel

x

Proposition —Propriétés algébriques

Lorsque les expressions suivantes ont un sens :

x^{a+b} = x^a x^b

x^{ab} = (x^a)^b = (x^b)^a

(xy)^a = x^a y^a

x^{-a} = \dfrac{1}{x^a} = \left(\dfrac{1}{x}\right)^a

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Pour tout

n \in \mathbb{Z}

(2^{2n})^2 = 2^{2n+1}

Définition —Fonction puissance

On appelle fonction puissance toute fonction du type

x \mapsto x^\alpha

où

\alpha \in \mathbb{R}

Proposition —Ensemble de définition

• Si

\alpha \in \mathbb{N}^*

x \mapsto x^\alpha

est définie sur

\mathbb{R}

.

• Si

\alpha \in \mathbb{Z}_-

x \mapsto x^\alpha

est définie sur

\mathbb{R}^*

.

• Si

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

x \mapsto x^\alpha

est définie sur

\mathbb{R}^*_+

Démonstration bientôt disponible

Remarque

\alpha > 0

, on peut prolonger par continuité la fonction

x \mapsto x^\alpha

par 0 en 0.

Si

\alpha = 0

, on peut prolonger par continuité la fonction

x \mapsto x^\alpha

par 1 en 0.

Proposition —Parité

Soit

n \in \mathbb{Z}

. La fonction

x \mapsto x^n

a la parité de

n

Démonstration bientôt disponible

Remarque

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

, la fonction

x \mapsto x^\alpha

n'est ni paire ni impaire puisque son domaine de définition n'est pas symétrique par rapport à 0.

Proposition —Dérivabilité

• Si

\alpha \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}

x \mapsto x^\alpha

est dérivable sur

\mathbb{R}

de dérivée

x \mapsto \alpha x^{\alpha-1}

.

• Si

\alpha \in \mathbb{Z}_-

x \mapsto x^\alpha

est dérivable sur

\mathbb{R}^*

de dérivée

x \mapsto \alpha x^{\alpha-1}

.

• Si

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

x \mapsto x^\alpha

est dérivable sur

\mathbb{R}^*_+

de dérivée

x \mapsto \alpha x^{\alpha-1}

Démonstration bientôt disponible

Remarque

\alpha > 1

, on peut prolonger

x \mapsto x^\alpha

par 0 en 0 et ce prolongement est dérivable en 0 de dérivée nulle.

Attention

Si l'exposant est une fonction, il ne faut pas dériver n'importe comment. En clair, la dérivée de

x \mapsto x^{f(x)}

n'est pas

x \mapsto f(x)x^{f(x)-1}

Méthode —Dériver des fonctions de la forme

x \mapsto f(x)^{g(x)}

L'idée est de se ramener à la forme exponentielle

f(x)^{g(x)} = \exp(g(x) \ln f(x))

. On dérive alors comme une composée.

Application

Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de

x \mapsto x^x

Correction bientôt disponible

Encadré —Racines

n

èmes

n

est un entier naturel impair,

x \mapsto x^n

est une bijection de

\mathbb{R}

sur

\mathbb{R}

. Sa bijection réciproque est notée

\sqrt[n]{\phantom{x}}

et elle est définie sur

\mathbb{R}

.

Si

n

est un entier naturel pair non nul,

x \mapsto x^n

induit une bijection de

\mathbb{R}_+

sur

\mathbb{R}_+

. Sa bijection réciproque est encore notée

\sqrt[n]{\phantom{x}}

et elle est définie sur

\mathbb{R}_+

.

De plus, pour tout

n \in \mathbb{N}^*

et tout

x \in \mathbb{R}^*_+

\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Attention

Soit

n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}

.

La notation

x^{\frac{1}{n}}

n'a aucun sens pour

x \leq 0

.

La notation

\sqrt[n]{x}

n'a de sens pour

x \leq 0

que si

n

est impair.

Attention

Les racines

n

èmes notées

\sqrt[n]{\phantom{x}}

n'ont pas grand-chose à voir avec les racines

n

èmes d'un complexe.

Un nombre complexe – fût-il réel – admet

n

racines

n

èmes complexes (sauf s'il est nul, bien entendu) tandis qu'un nombre réel admet au plus une racine

n

ème dans le sens

\sqrt[n]{\phantom{x}}

.

Des notations du style

\sqrt[n]{z}

z^{\frac{1}{n}}

avec

z

complexe non réel n'ont AUCUN SENS.

Remarque

Pour tout

n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}

, la fonction

x \mapsto \sqrt[n]{x}

est dérivable sur son ensemble de définition privé de 0.

Application

Déterminer

\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x

Correction bientôt disponible

1.3. Croissances comparées

Lemme

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

Démonstration bientôt disponible

Remarque

L'idée à retenir est, qu'en

+\infty

, l'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui elle-même l'emporte sur le logarithme.

Proposition —Croissances comparées

Soit

(a, b) \in (\mathbb{R}^*_+)^2

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^b}{x^a} = 0

\lim_{x \to 0^+} x^a |\ln x|^b = 0

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{ax}}{x^b} = +\infty

\lim_{x \to -\infty} |x|^b e^{ax} = 0

Démonstration bientôt disponible

2Fonctions circulaires directes et réciproques

3Fonctions hyperboliques

Changement de variable pour équations logarithmiques et exponentielles

Pour résoudre des équations de la forme

e^{f(x)} = k

ou comportant

e^{2x}

, poser

u = e^x

pour se ramener à une équation polynomiale. Pour les équations logarithmiques, utiliser les propriétés

\ln(ab) = \ln a + \ln b

et vérifier le domaine de définition.

Déterminer un ensemble de définition

Étudier la parité d'une fonction

Réflexe 'puissance varie' → logarithme

Calculs de trigonométrie hyperbolique

Expressions complexes : factorisation par le demi-angle

Calculs avec les fonctions trigonométriques réciproques

Expressions arcsin(sin(x)), arccos(cos(x)), arctan(tan(x))

Étude des fonctions réciproques trigonométriques

Dériver pour montrer une égalité en fonction de x

1 / 2

Exercices lies— 17

1Exercice 1

Soient

a, b \in \mathbb{R}^*

tels que

a \neq b

.

Résoudre l'équation d'inconnue

x \in \mathbb{R}^*

\frac{1}{x} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a}

2Exercice 2

1. Soient

m, k

deux entiers naturels. Justifier que

\binom{m + k}{m} = \binom{m + k + 1}{m + 1} - \binom{m + k}{m + 1}

.

2. En déduire, pour tous entiers naturels

m, n \in \mathbb{N}^*

, la valeur de

S = \sum_{k=0}^{n} \binom{m + k}{m}

.

3. En déduire celle de

P = \sum_{k=0}^{n} \left(\prod_{p=1}^{m}(k + p)\right)

3Exercice 3

Déterminer les variations de la fonction

f

définie par

f(x) = x - \sqrt{|4x - x^2|}

4Exercice 4

Étudier la fonction

x \mapsto \text{Arc}\sin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)

7Exercice 7

Soit

f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

.

1. Vérifier que

f

est définie et dérivable sur

\mathbb{R}

et que pour tout réel

x \in \mathbb{R}

-1 < f(x) < 1

.

2. Calculer la dérivée de

f

et en déduire ses variations.

3. Étudier les limites de

f

\pm\infty

et compléter le tableau de variations.

4. Tracer la courbe de la fonction

f

8Exercice 8

Étudier la parité des fonctions suivantes :

f_1(x) = e^x - e^{-x}, f_2(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}, f_3(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}

9Exercice 9

Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :

1.

\sqrt{2x^2 - 12x + 18}

\ln(x^2 + 4x + 4)

\sqrt{\frac{8 - 16x}{(7 + x)^2}}

\ln(3 - x) + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}

10Exercice 10

Résoudre l'équation

\cosh(x) = 2

12Exercice 12

Démontrer que, pour tout

n \geq 2

, on a

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq e \leq \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-n}

14Exercice 14

Déterminer la valeur de

\arcsin(-1/2)

\arccos(-\sqrt{2}/2)

\arctan(\sqrt{3})

15Exercice 15

Montrer que, pour tout

x \neq 0

\sum_{k=0}^n \cosh(kx) = \frac{\cosh(nx/2) \sinh((n+1)x/2)}{\sinh(x/2)}

16Exercice 16

Résoudre les équations suivantes :

a)

x\sqrt{x} = \sqrt{x^x}

.

b)

2^{x^3} = 3^{x^2}

.

c)

\log_a(x) = \log_x(a)

.

d)

\log_3(x) - \log_2(x) = 1

18Exercice 18

Calculer

\arccos\left(\cos \frac{2\pi}{3}\right)

\arccos\left(\cos \frac{-2\pi}{3}\right)

\arccos\left(\cos \frac{4\pi}{3}\right)

\arccos\left(\sin \frac{17\pi}{5}\right)

19Exercice 19

Simplifier les expressions suivantes :

\tan(\arcsin x)

\sin(\arccos x)

\cos(\arctan x)

20Exercice 20

Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :1.

\arctan(\tan x)

\arccos(\cos x)

\arcsin(\sin x)

21Exercice 21

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \arcsin\left(2x\sqrt{1 - x^2}\right)\). 1. Quel est l'ensemble de définition de \(f\)? 2. En posant \(x = \sin t\), simplifier l'écriture de \(f\).

22Exercice 22

Montrer que, pour tout \(x \in [-1, 1]\), \(\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}\).

Cours

1Fonctions logarithme, exponentielle et puissances

2Fonctions circulaires directes et réciproques

3Fonctions hyperboliques

Méthodes15p.1/2

Changement de variable pour équations logarithmiques et exponentielles

Pour résoudre des équations de la forme

e^{f(x)} = k

ou comportant

e^{2x}

, poser

u = e^x

pour se ramener à une équation polynomiale. Pour les équations logarithmiques, utiliser les propriétés

\ln(ab) = \ln a + \ln b

et vérifier le domaine de définition.

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1 / 2

Exercices

1Exercice 1

2Exercice 2

3Exercice 3

4Exercice 4

7Exercice 7

8Exercice 8

9Exercice 9

10Exercice 10

12Exercice 12

14Exercice 14

15Exercice 15

16Exercice 16

18Exercice 18

19Exercice 19

20Exercice 20

21Exercice 21

22Exercice 22