Fonctions à valeurs vectorielles

THE MATHS TAILOR

1. Dérivabilité

1.1. Définition

Remarque

Dans tout ce chapitre, les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle

I

R

à valeurs dans un

K

-espace vectoriel normé

E

de dimension finie (

K = R

K = C

Définition—Dérivabilité en un point

Soit

f : I \to E

. On dit que

f

est dérivable en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite en

a

. Dans ce cas, cette limite est notée

f^{'} (a)

Proposition—Dérivabilité et continuité

Soit

f : I \to E

. Si

f

est dérivable en

a \in I

, alors

f

est continue en

a

Démonstration bientôt disponible

Définition—Négligeabilité

Soient

f

une fonction à valeurs dans

E

g

une fonction à valeurs dans

K

, toutes deux définies sur un voisinage de

a

(éventuellement non définies en

a

). On dit que

f

est négligeable devant $g$ en $a$ si

a lim \frac{f}{g} = 0

. On note alors

f a = o (g)

Proposition—Dérivabilité et développement limité

Une fonction

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si

f

admet un développement limité d'ordre 1 en

a

. Dans ce cas, ce développement limité est

f (t) t \to a = f (a) + f^{'} (a) (t - a) + o (t - a)

Proposition—Dérivabilité et fonctions coordonnées

Soit

(e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

E

. Alors

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si pour tout

i \in [[1, n]]

f_{i} = e_{i}^{*} \circ f

est dérivable en

a

. Dans ce cas,

f^{'} (a) = i = 1 \sum n f_{i}^{'} (a) e_{i}

ou encore

\forall i \in [[1, n]], (e_{i}^{*} \circ f)^{'} (a) = e_{i}^{*} \circ f^{'} (a)

Remarque

Le fait que

f_{i} = e_{i}^{*} \circ f

pour tout

i \in [[1, n]]

signifie que :

\forall t \in I, f (t) = i = 1 \sum n f_{i} (t) e_{i}

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soit

f : I \to E

.

Alors

f

est dérivable à droite en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite à droite en

a

.

De même,

f

est dérivable à gauche en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite à gauche en

a

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition—Combinaison linéaire

Soient

f

g

deux fonctions de

I

dans

E

dérivables en

a \in I

(resp. sur

I

). Alors pour tout

(λ, μ) \in K^{2}

λ f + μg

est dérivable en

a

(resp. sur

I

) et

(λ f + μg)^{'} = λ f^{'} + μ g^{'}

1.3. Fonctions de classe $C^{k}$

Définition—Fonction de classe

C^{k}

Soient

f : I \to E

k \in N

. On dit que

f

est de classe $C^{k}$ sur $I$ si

f

est dérivable

k

fois sur

I

et si

f^{(k)}

est continue sur

I

. On dit que

f

est de classe $C^{\infty}$ si

f

est indéfiniment dérivable sur

I

1. Dérivabilité

1.1. Définition

Remarque

Dans tout ce chapitre, les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle

I

R

à valeurs dans un

K

-espace vectoriel normé

E

de dimension finie (

K = R

K = C

Définition—Dérivabilité en un point

Soit

f : I \to E

. On dit que

f

est dérivable en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite en

a

. Dans ce cas, cette limite est notée

f^{'} (a)

Proposition—Dérivabilité et continuité

Soit

f : I \to E

. Si

f

est dérivable en

a \in I

, alors

f

est continue en

a

Démonstration bientôt disponible

Définition—Négligeabilité

Soient

f

une fonction à valeurs dans

E

g

une fonction à valeurs dans

K

, toutes deux définies sur un voisinage de

a

(éventuellement non définies en

a

). On dit que

f

est négligeable devant $g$ en $a$ si

a lim \frac{f}{g} = 0

. On note alors

f a = o (g)

Proposition—Dérivabilité et développement limité

Une fonction

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si

f

admet un développement limité d'ordre 1 en

a

. Dans ce cas, ce développement limité est

f (t) t \to a = f (a) + f^{'} (a) (t - a) + o (t - a)

Proposition—Dérivabilité et fonctions coordonnées

Soit

(e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

E

. Alors

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si pour tout

i \in [[1, n]]

f_{i} = e_{i}^{*} \circ f

est dérivable en

a

. Dans ce cas,

f^{'} (a) = i = 1 \sum n f_{i}^{'} (a) e_{i}

ou encore

\forall i \in [[1, n]], (e_{i}^{*} \circ f)^{'} (a) = e_{i}^{*} \circ f^{'} (a)

Remarque

Le fait que

f_{i} = e_{i}^{*} \circ f

pour tout

i \in [[1, n]]

signifie que :

\forall t \in I, f (t) = i = 1 \sum n f_{i} (t) e_{i}

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soit

f : I \to E

.

Alors

f

est dérivable à droite en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite à droite en

a

.

De même,

f

est dérivable à gauche en $a \in I$ si

t \mapsto \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}

admet une limite à gauche en

a

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition—Combinaison linéaire

Soient

f

g

deux fonctions de

I

dans

E

dérivables en

a \in I

(resp. sur

I

). Alors pour tout

(λ, μ) \in K^{2}

λ f + μg

est dérivable en

a

(resp. sur

I

) et

(λ f + μg)^{'} = λ f^{'} + μ g^{'}

1.3. Fonctions de classe $C^{k}$

Définition—Fonction de classe

C^{k}

Soient

f : I \to E

k \in N

. On dit que

f

est de classe $C^{k}$ sur $I$ si

f

est dérivable

k

fois sur

I

et si

f^{(k)}

est continue sur

I

. On dit que

f

est de classe $C^{\infty}$ si

f

est indéfiniment dérivable sur

I

Fonctions à valeurs vectorielles

1. Dérivabilité

1.1. Définition

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

1.3. Fonctions de classe Ck

1. Dérivabilité

1.1. Définition

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

1.3. Fonctions de classe Ck

1.3. Fonctions de classe $C^{k}$

1.3. Fonctions de classe $C^{k}$