THE MATHS TAILOR

Fonctions à valeurs vectorielles | The Maths Tailor

Fonctions à valeurs vectorielles

Cours Exercices

Cours

1Dérivabilité

2Intégration

Contenu réservé aux abonnés

3Formules de Taylor

Contenu réservé aux abonnés

4Suites et séries de fonctions

Contenu réservé aux abonnés

Méthodes3

ClassiqueSe ramener aux fonctions coordonnées

En dimension finie, on fixe une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ et on écrit $f (t) = i = 1 \sum n f_{i} (t) e_{i}$ . Les fonctions coordonnées $f_{i} : I \to K$ portent toute l'information :

$f$ est continue, dérivable ou de classe $C^{k}$ si et seulement si chaque $f_{i}$ l'est, et alors $f^{(p)} = i \sum f_{i}^{(p)} e_{i}$ ;
$\int_{a}^{b} f = i \sum (\int_{a}^{b} f_{i}) e_{i}$ .

Déclencheur : pour établir une propriété de régularité, calculer une dérivée ou une intégrale d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel abstrait, se ramener aux coordonnées scalaires, où l'on dispose de tout l'arsenal de l'analyse réelle.

ClassiqueDériver un produit scalaire, un déterminant ou une expression multilinéaire de fonctions vectorielles

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelMajorer un reste grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange vectorielle

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

Exercices

Prolongement C^{1} en un point

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f \in C^{1} ([a; b [, E)

.
Montrer que

f

admet un prolongement de classe

C^{1}

[a; b]

si, et seulement si,

f^{'}

admet une limite en

b

Indication

Paramétrage à partir des tangentes

Soit

t \mapsto f (t)

définissant un arc régulier tel qu'en tout point de paramètre

t

la tangente soit

D_{t} : (t^{3} + 3 t) x - 2 y = t^{3} .

Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l'arc étudié et le représenter.

Indication

Dérivée du déterminant, comatrice

Soient

I

un intervalle de

R

A : I \to M_{n} (R)

une application de classe

C^{1}

. Montrer que

φ : t \in I \mapsto det (A (t))

est de classe

C^{1}

sur

I

et que

\forall t \in I, φ^{'} (t) = tr (com (A (t))^{⊤} A^{'} (t))

Indication

Tangente au cercle, vecteur rayon

Soit

D

le disque de centre

(0, 0)

et de rayon

R > 0

du plan

R^{2}

.
Montrer que les vecteurs tangents à

D

aux points du cercle limite sont orthogonaux au vecteur rayon.

Indication

Nullité via majoration des dérivées

Soit

f : R \to R

de classe

C^{\infty}

telle que

\forall n \in N, f^{(n)} (0) = 0

. On suppose de plus que :

\exists λ > 0, \forall n \in N, R sup f^{(n)} \leq λ^{n} n!

Montrer que

f

est nulle sur

] - \frac{1}{λ}, \frac{1}{λ} [

puis sur

R

Indication

Inégalité de Hadamard

Soit

f

une fonction de classe

C^{2}

sur

R

. On suppose que

f

f^{'}

f^{''}

sont bornées sur

R

et on pose

M_{0} = t \in R sup ∣ f (t) ∣, M_{1} = t \in R sup ∣ f^{'} (t) ∣, M_{2} = t \in R sup ∣ f^{''} (t) ∣

On souhaite montrer que

M_{1} \leq 2 M_{0} M_{2}

Démontrer l'inégalité demandée dans le cas où $M_{0} = 0$ ou $M_{2} = 0$ . Dans la suite de l'énoncé on supposera $M_{0}$ et $M_{2}$ strictement positifs.
Soient $x \in R$ et $h > 0$ . Justifier que $∣ f (x + h) - f (x) - f^{'} (x) h ∣ \leq \frac{M _{2} h ^{2}}{2}$
En déduire que $∣ f^{'} (x) ∣ \leq \frac{2 M _{0}}{h} + \frac{M _{2} h}{2}$
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose $g : t \in R_{+}^{*} \mapsto \frac{a}{t} + b t$ . Étudier les variations de $g$ sur $R_{+}^{*}$ . En déduire que $g$ admet un minimum sur $R_{+}^{*}$ et calculer celui-ci en fonction de $a$ et $b$ .
Conclure.

Indication