Soit f:R→R une fonction. On appelle ensemble de définition de f l'ensemble des x∈R pour lesquels f(x) est défini.
Exemple
L'ensemble de définition de x↦x est R+.
Application
Déterminer le domaine de définition de x↦x−3x+1.
1.2. Représentation graphique
Encadré—Représentation graphique
La représentation graphique d'une courbe dans un repère orthonormé est l'ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) où x décrit l'ensemble de définition.
Encadré—Représentation graphique d'une bijection réciproque
Soit f une fonction bijective. Les représentations graphiques de f et f−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
En effet, si on pose y=f(x), les points de coordonnées (x,f(x)) et (y,f−1(y)) sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
1.3. Parité et périodicité
Définition—Parité
Soit f une fonction.
On dit que f est paire si
le domaine de définition Df de f est symétrique par rapport à 0 : ∀x∈Df,−x∈Df ;
∀x∈Df,f(−x)=f(x).
On dit que f est impaire si
le domaine de définition Df de f est symétrique par rapport à 0 : ∀x∈Df,−x∈Df ;
∀x∈Df,f(−x)=−f(x).
1.4. Opérations sur les fonctions
Définition—Somme et produit
Soient f et g deux fonctions. On définit alors f+g:x↦f(x)+g(x) et fg:x↦f(x)g(x).
1.5. Monotonie
Définition—Monotonie
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est croissante sur I si∀(x,y)∈I2,x≤y⟹f(x)≤f(y)On dit que f est décroissante sur I si∀(x,y)∈I2,x≤y⟹f(x)≥f(y)On dit que f est strictement croissante sur I si∀(x,y)∈I2,x<y⟹f(x)<f(y)On dit que f est strictement décroissante sur I si∀(x,y)∈I2,x<y⟹f(x)>f(y)On dit que f est monotone sur I si elle y est croissante ou décroissante.
On dit que f est strictement monotone sur I si elle y est strictement croissante ou décroissante.
1.6. Fonctions majorées, minorées, bornées
Définition—Fonction majorée, minorée, bornée
Soit f une fonction définie sur une partie A de R.
On dit que f est majorée sur A si f(A) est majoré i.e. si∃M∈R,∀x∈A,f(x)≤MOn dit que f est minorée sur A si f(A) est minoré i.e. si∃m∈R,∀x∈A,f(x)≥mOn dit que f est bornée sur A si f est majorée et minorée sur A ou encore si f(A) est bornée i.e.∃(m,M)∈R2,∀x∈A,m≤f(x)≤M
On cherche l'ensemble de définition D de la fonction f:x↦x−3x+1 (Définition 1.1).
L'expression u est définie si et seulement si u≥0. Ici u=x−3x+1, qui est de plus une fraction dont le dénominateur doit être non nul. On a donc :D={x∈R∣x=3 et x−3x+1≥0}.Etude du signe de x−3x+1 : le numérateur x+1 s'annule en x=−1 et le dénominateur x−3 s'annule en x=3.
x
−∞
−1
3
+∞
x+1
−
0
+
+
x−3
−
−
0
+
x−3x+1
+
0
−
n.d.
+
Donc x−3x+1≥0 si et seulement si x≤−1 ou x>3.
Conclusion : D=]−∞,−1]∪]3,+∞[. □
Remarque
Si f est une fonction impaire définie en 0, alors f(0)=0.
Attention
Une fonction peut n'être ni paire ni impaire !
Remarque
Il n'y a évidemment pas besoin de vérifier la condition sur le domaine de définition s'il est égal à R.
Exemple
La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires.
Pour n∈Z, la fonction x↦xn a la parité de n.
Encadré—Interprétation graphique
La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Définition—Périodicité
Soit f une fonction et T un réel strictement positif. On dit que f est T-périodique si
le domaine de définition Df de f est «T-périodique» : ∀x∈Df,x+T∈Df ;
∀x∈Df,f(x+T)=f(x).
Remarques
Il n'y a évidemment pas besoin de vérifier la condition sur le domaine de définition s'il est égal à R.
Si f est T-périodique, f(x+nT)=f(x) pour tout n∈Z.
Par conséquent, f est également nT-périodique pour tout n∈N∗.
Exemple
Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques. La fonction tan est π-périodique.
Encadré—Interprétation graphique
La représentation d'une fonction T-périodique dans une repère (O,,) est invariante par translation de vecteur T.
Remarque
On a également invariance par translation de vecteur nT pour tout n∈Z.
Encadré—Composée
On appelle composée des fonctions f et g la fonction g∘f:x↦g(f(x)).
Exemple
La fonction x↦ln(1+x2+1) est la composée de la fonction x↦x2+1 suivie de la fonction x↦x puis de la fonction x↦ln(1+x).
Attention
Une fonction peut n'être ni croissante ni décroissante !
Remarques
Du point de vue du vocabulaire, on dit que «f est monotone sur un intervalle I».
On ne dira JAMAIS «f(x) est monotone pour tout x∈I». Cela signifierait qu'un réel est monotone.
Une fonction constante est croissante et décroissante au sens large. La réciproque est d'ailleurs vraie : si une fonction est croissante et décroissante, alors elle est constante.
Proposition—Stricte monotonie et injectivité
Une fonction strictement monotone est injective.
Démonstration
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. Montrons que f est injective, c'est-à-dire que pour tout (x,y)∈I2, f(x)=f(y)⟹x=y.
Soient x,y∈I tels que f(x)=f(y). Supposons par l'absurde que x=y. Quitte à échanger x et y, on peut supposer x<y.
- Si f est strictement croissante sur I : d'après la Définition 1.5, x<y implique f(x)<f(y), ce qui contredit f(x)=f(y). - Si f est strictement décroissante sur I : d'après la Définition 1.5, x<y implique f(x)>f(y), ce qui contredit encore f(x)=f(y).
Dans les deux cas on aboutit à une contradiction. Donc x=y, et f est injective.
Remarque
La réciproque est vraie à condition de considérer une fonction continue sur un intervalle.
Proposition—Somme de fonctions monotones
La somme de deux fonctions croissantes est croissante.
La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.
La somme d'une fonction croissante et d'une fonction strictement croissante est strictement croissante.
La somme d'une fonction décroissante et d'une fonction strictement décroissante est strictement décroissante.
Démonstration
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I. On démontre les quatre points en utilisant directement la Définition 1.5.
Somme de deux fonctions croissantes. Supposons f et g croissantes sur I. Soient x,y∈I avec x≤y. Par croissance de f, f(x)≤f(y). Par croissance de g, g(x)≤g(y). En additionnant : (f+g)(x)=f(x)+g(x)≤f(y)+g(y)=(f+g)(y). Donc f+g est croissante.
Somme de deux fonctions décroissantes. Supposons f et g décroissantes sur I. Soient x,y∈I avec x≤y. On a f(x)≥f(y) et g(x)≥g(y). En additionnant : (f+g)(x)≥(f+g)(y). Donc f+g est décroissante.
Somme d'une fonction croissante et d'une fonction strictement croissante. Supposons f croissante et g strictement croissante sur I. Soient x,y∈I avec x<y. Par croissance de f (au sens large), f(x)≤f(y). Par croissance stricte de g, g(x)<g(y). En additionnant : (f+g)(x)=f(x)+g(x)<f(y)+g(y)=(f+g)(y). Donc f+g est strictement croissante.
Somme d'une fonction décroissante et d'une fonction strictement décroissante. Supposons f décroissante et g strictement décroissante sur I. Soient x,y∈I avec x<y. On a f(x)≥f(y) et g(x)>g(y). En additionnant : (f+g)(x)>(f+g)(y). Donc f+g est strictement décroissante.
Remarque
A fortiori, la somme de deux fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) est strictement croissante (resp. strictement décroissante).
Exemple
La fonction x↦x+x3+x5 est strictement croissante sur R.
Proposition—Composition de fonctions monotones
La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante.
La composée de deux fonctions monotones de sens de variation opposés est décroissante.
La composée de deux fonctions strictement monotones de même sens de variation est strictement croissante.
La composée de deux fonctions strictement monotones de sens de variation opposés est strictement décroissante.
Démonstration
Soient f:I→J et g:J→R deux fonctions monotones (avec f(I)⊂J). On démontre les quatre points en utilisant la Définition 1.5.
Composée de deux fonctions de même sens de variation (croissantes). Supposons f et g croissantes. Soient x,y∈I avec x≤y. Par croissance de f, f(x)≤f(y). Comme f(x),f(y)∈J et g est croissante sur J, g(f(x))≤g(f(y)), i.e. (g∘f)(x)≤(g∘f)(y). Donc g∘f est croissante.
Composée de deux fonctions de même sens de variation (décroissantes). Supposons f et g décroissantes. Soient x,y∈I avec x≤y. Par décroissance de f, f(x)≥f(y). Par décroissance de g sur J avec f(x)≥f(y), g(f(x))≤g(f(y)). Donc g∘f est croissante.
Composée de deux fonctions de sens opposés (f croissante, g décroissante). Soient x,y∈I avec x≤y. Par croissance de f, f(x)≤f(y). Par décroissance de g, g(f(x))≥g(f(y)). Donc g∘f est décroissante. Le cas f décroissante et g croissante est analogue.
Les variantes strictes s'obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans les mêmes chaînes de raisonnements (en utilisant la stricte monotonie de f puis de g).
Exemple
La fonction x↦ln(1+1+x2) est strictement croissante sur R+ et strictement décroissante sur R−.
Attention
Un produit de fonctions monotones n'est pas forcément monotone. Par exemple, x↦x et x↦x3 sont croissantes sur R mais leur produit x↦x4 n'est ni croissant ni décroissant sur R.
Néanmoins, si f et g sont des fonctions croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors leur produit est croissant (resp. décroissant).
De même, si f et g sont des fonctions strictement croissantes (resp. strictement décroissantes) et strictement positives, alors leur produit est strictement croissant (resp. strictement décroissant).
Remarques
On dit alors que M est un majorant de f sur A et que m est un minorant de f sur A.
Si on ne précise pas la partie A sur laquelle la fonction est majorée/minorée/bornée, c'est que l'on fait implicitement référence à tout l'ensemble de définition.
Exemple
La fonction x↦x2 est minorée sur R mais elle n'y est pas majorée.
Les fonctions sin et cos sont bornées sur R.
Encadré—Interprétation graphique
Une fonction est majorée si sa représentation graphique est située au-dessous d'une droite horizontale.
Une fonction est minorée si sa représentation graphique est située au-dessus d'une droite horizontale.
Une fonction est bornée si sa représentation graphique est située entre deux droites horizontales.
Proposition
Soit f une fonction définie sur une partie A de R.
Alors f est bornée sur A si et seulement si ∣f∣ est majorée sur A.
Démonstration
Soit f une fonction définie sur une partie A de R. On rappelle que d'après la Définition 1.6, f est bornée sur A si et seulement si f est majorée et minorée sur A.
(⇒) Supposons f bornée sur A. Il existe (m,M)∈R2 tels que ∀x∈A,m≤f(x)≤M. Pour tout x∈A, on a donc ∣f(x)∣≤max(∣m∣,∣M∣), ce qui montre que ∣f∣ est majorée sur A.
(⇐) Supposons que ∣f∣ est majorée sur A. Il existe M≥0 tel que ∀x∈A,∣f(x)∣≤M. Cela signifie −M≤f(x)≤M pour tout x∈A. Donc f est majorée par M et minorée par −M sur A, ce qui signifie exactement que f est bornée sur A d'après la Définition 1.6.
Exemple
Soit f:x↦2−cosxsinx. On souhaite monter que f est bornée sur R. Pour tout x∈R, ∣f(x)∣=2−cosx∣sinx∣ car 2−cosx>0.
Or pour tout x∈R, ∣sinx∣≤1 et 2−cosx≥1. Par conséquent, pour tout x∈R, ∣f(x)∣≤1 et f est donc bornée sur R.
Proposition
Une somme de fonctions majorées est majorée.
Une somme de fonctions minorées est minorée.
Une somme et un produit de fonctions bornées sont bornés.
Démonstration
Soient f et g des fonctions définies sur A. On utilise la Définition 1.6.
Somme de fonctions majorées. Supposons f et g majorées sur A : il existe M1,M2∈R tels que f(x)≤M1 et g(x)≤M2 pour tout x∈A. Alors (f+g)(x)=f(x)+g(x)≤M1+M2 pour tout x∈A. Donc f+g est majorée par M1+M2.
Somme de fonctions minorées. Supposons f et g minorées sur A : il existe m1,m2∈R tels que f(x)≥m1 et g(x)≥m2 pour tout x∈A. Alors (f+g)(x)≥m1+m2 pour tout x∈A. Donc f+g est minorée.
Somme de fonctions bornées. Si f et g sont bornées, elles sont à la fois majorées et minorées. D'après les deux points précédents, f+g est majorée et minorée, donc bornée.
Produit de fonctions bornées. Supposons f et g bornées sur A. D'après la Proposition 1.4, ∣f∣ et ∣g∣ sont majorées : il existe Mf,Mg≥0 tels que ∣f(x)∣≤Mf et ∣g(x)∣≤Mg pour tout x∈A. Alors ∣f(x)g(x)∣=∣f(x)∣∣g(x)∣≤MfMg pour tout x∈A. Donc ∣fg∣ est majorée, et par la Proposition 1.4 appliquée en sens inverse, fg est bornée sur A.
Définition—Maximum, minimum
Soit f une fonction définie sur A.
On dit que f admet un maximum sur A s'il existe a∈A tel que f(x)≤f(a) pour tout x∈A. Le réel M=f(a) est alors appelé le maximum de f sur A et on note M=maxAf. On a en fait M=maxf(A).
On dit que f admet un minimum sur A s'il existe b∈A tel que f(x)≥f(b) pour tout x∈A. Le réel m=f(b) est alors appelé le minimum de f sur A et on note m=minAf. On a en fait m=minf(A).
Remarques
Un maximum ou un minimum est nécessairement une valeur atteinte par la fonction.
Une fonction admettant un maximum (resp. un minimum) est nécessairement majorée (resp. minorée).
Exemples
La fonction sin admet un minimum et un maximum sur R valant respectivement −1 et 1 car sin(−2π)=−1 et sin(2π)=1 et car pour tout x∈R, −1≤sinx≤1.
La fonction exponentielle n'admet clairement pas de maximum car elle n'est pas majorée. Elle n'admet pas non plus de minimum. Soit en effet b∈R. Alors pour tout x<b, ex<eb donc l'exponentielle ne peut admettre de minimum en b.
Ceci étant vrai quelque soit b∈R, l'exponentielle n'admet pas de minimum.
Contre-exemple—Une fonction majorée n'admet pas nécessairement de maximum
La fonction f:x↦1−e−x est majorée sur R+ : pour tout x≥0, f(x)=1−e−x<1, donc 1 est un majorant.
Pourtant f n'admet pas de maximum sur R+ : f(x)<1 pour tout x≥0, et supx≥0f(x)=1 n'est pas atteint (il faudrait e−x=0, ce qui est impossible).
Attention
Une fonction majorée (resp. minorée) n'admet pas forcément de maximum (resp. de minimum) comme le montre l'exemple de la fonction exponentielle.
