Fonctions d'une variable réelle

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Ensemble de définition

Définition—Ensemble de définition

Soit

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

une fonction. On appelle ensemble de définition de

f

l'ensemble des

x \in \mathbb{R}

pour lesquels

f(x)

est défini.

Exemple

L'ensemble de définition de

x \mapsto \sqrt{x}

est

\mathbb{R}_+

Application

Déterminer le domaine de définition de

x \mapsto \sqrt{\frac{x + 1}{x - 3}}

1.2. Représentation graphique

Encadré—Représentation graphique

La représentation graphique d'une courbe dans un repère orthonormé est l'ensemble des points de coordonnées

(x, f(x))

où

x

décrit l'ensemble de définition.

Encadré—Représentation graphique d'une bijection réciproque

Soit

f

une fonction bijective. Les représentations graphiques de

f

f^{-1}

sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

En effet, si on pose

y = f(x)

, les points de coordonnées

(x, f(x))

(y, f^{-1}(y))

sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

1.3. Parité et périodicité

Définition—Parité

Soit

f

une fonction.

On dit que

f

est paire si

le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall x \in \mathcal{D}_f, -x \in \mathcal{D}_f$ ;
$\forall x \in \mathcal{D}_f, f(-x) = f(x)$ .

On dit que

f

est impaire si

le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall x \in \mathcal{D}_f, -x \in \mathcal{D}_f$ ;
$\forall x \in \mathcal{D}_f, f(-x) = -f(x)$ .

1.4. Opérations sur les fonctions

Définition—Somme et produit

Soient

f

g

deux fonctions. On définit alors

f + g : x \mapsto f(x) + g(x)

fg : x \mapsto f(x)g(x)

1.5. Monotonie

Définition—Monotonie

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

.

On dit que

f

est croissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x \leq y \implies f(x) \leq f(y)

On dit que

f

est décroissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x \leq y \implies f(x) \geq f(y)

On dit que

f

est strictement croissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x < y \implies f(x) < f(y)

On dit que

f

est strictement décroissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x < y \implies f(x) > f(y)

On dit que

f

est monotone sur

I

si elle y est croissante ou décroissante.

On dit que

f

est strictement monotone sur

I

si elle y est strictement croissante ou décroissante.

1.6. Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition

Soit

f

une fonction définie sur une partie

A

\mathbb{R}

.

On dit que

f

est majorée sur

A

f(A)

est majoré i.e. si

\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in A, f(x) \leq M

On dit que

f

est minorée sur

A

f(A)

est minoré i.e. si

\exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in A, f(x) \geq m

On dit que

f

est bornée sur

A

f

est majorée et minorée sur

A

ou encore si

f(A)

est bornée i.e.

\exists (m, M) \in \mathbb{R}^2, \forall x \in A, m \leq f(x) \leq M

1. Généralités

1.1. Ensemble de définition

Définition—Ensemble de définition

Soit

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

une fonction. On appelle ensemble de définition de

f

l'ensemble des

x \in \mathbb{R}

pour lesquels

f(x)

est défini.

Exemple

L'ensemble de définition de

x \mapsto \sqrt{x}

est

\mathbb{R}_+

Application

Déterminer le domaine de définition de

x \mapsto \sqrt{\frac{x + 1}{x - 3}}

1.2. Représentation graphique

Encadré—Représentation graphique

La représentation graphique d'une courbe dans un repère orthonormé est l'ensemble des points de coordonnées

(x, f(x))

où

x

décrit l'ensemble de définition.

Encadré—Représentation graphique d'une bijection réciproque

Soit

f

une fonction bijective. Les représentations graphiques de

f

f^{-1}

sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

En effet, si on pose

y = f(x)

, les points de coordonnées

(x, f(x))

(y, f^{-1}(y))

sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

1.3. Parité et périodicité

Définition—Parité

Soit

f

une fonction.

On dit que

f

est paire si

le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall x \in \mathcal{D}_f, -x \in \mathcal{D}_f$ ;
$\forall x \in \mathcal{D}_f, f(-x) = f(x)$ .

On dit que

f

est impaire si

le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$ est symétrique par rapport à 0 : $\forall x \in \mathcal{D}_f, -x \in \mathcal{D}_f$ ;
$\forall x \in \mathcal{D}_f, f(-x) = -f(x)$ .

1.4. Opérations sur les fonctions

Définition—Somme et produit

Soient

f

g

deux fonctions. On définit alors

f + g : x \mapsto f(x) + g(x)

fg : x \mapsto f(x)g(x)

1.5. Monotonie

Définition—Monotonie

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

.

On dit que

f

est croissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x \leq y \implies f(x) \leq f(y)

On dit que

f

est décroissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x \leq y \implies f(x) \geq f(y)

On dit que

f

est strictement croissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x < y \implies f(x) < f(y)

On dit que

f

est strictement décroissante sur

I

\forall (x, y) \in I^2, x < y \implies f(x) > f(y)

On dit que

f

est monotone sur

I

si elle y est croissante ou décroissante.

On dit que

f

est strictement monotone sur

I

si elle y est strictement croissante ou décroissante.

1.6. Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition

Soit

f

une fonction définie sur une partie

A

\mathbb{R}

.

On dit que

f

est majorée sur

A

f(A)

est majoré i.e. si

\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in A, f(x) \leq M

On dit que

f

est minorée sur

A

f(A)

est minoré i.e. si

\exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in A, f(x) \geq m

On dit que

f

est bornée sur

A

f

est majorée et minorée sur

A

ou encore si

f(A)

est bornée i.e.

\exists (m, M) \in \mathbb{R}^2, \forall x \in A, m \leq f(x) \leq M