Étude de familles de fonctions fa(x) dépendant d'un paramètre a, nécessitant une discussion selon les valeurs du paramètre pour les variations, extrema, etc.
Soit p∈]0,1[. On note f la fonction x↦xlnpx+(1−x)ln1−p1−x.
Déterminer l'ensemble de définition D de f. Montrer que f est dérivable sur D et calculer f′(x) pour tout x∈D. Montrer que f′ est dérivable sur D, puis que pour tout x∈D : f′′(x)=x(1−x)1. Résoudre l'équation f′(x)=0 d'inconnue x∈D. En déduire les variations de f sur D, puis montrer que f est positive ou nulle sur D. Les limites aux bornes ne sont pas demandées dans un premier temps.
Déterminer une équation de la tangente de la fonction logarithme en 1. Montrer, en étudiant la fonction x↦lnx−x, que pour tout x>0 : lnx≤x−1. En déduire que pour tout x>0 : lnx≤2(x−1). En déduire que limx→+∞xlnx=0, puis que limx→0xlnx=0. En déduire les limites de f aux bornes de son ensemble D de définition.
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Minimum de ex−a−2x+ea
Pour chaque réel a, on considère la fonction fa définie sur l'ensemble des nombres réels R par fa(x)=ex−a−2x+ea. 1. Montrer que pour tout réel a, la fonction fa possède un minimum. 2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit possible?
