Fonctions d'une variable réelle

Soit $f$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$. Montrons que $f$ est injective, c'est-à-dire que pour tout $(x, y) \in I^2$, $f(x) = f(y) \implies x = y$.

Soient $x, y \in I$ tels que $f(x) = f(y)$. Supposons par l'absurde que $x \neq y$. Quitte à échanger $x$ et $y$, on peut supposer $x < y$.

- Si $f$ est strictement croissante sur $I$ : d'après la Définition 1.5, $x < y$ implique $f(x) < f(y)$, ce qui contredit $f(x) = f(y)$.
- Si $f$ est strictement décroissante sur $I$ : d'après la Définition 1.5, $x < y$ implique $f(x) > f(y)$, ce qui contredit encore $f(x) = f(y)$.

Dans les deux cas on aboutit à une contradiction. Donc $x = y$, et $f$ est injective.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$. On démontre les quatre points en utilisant directement la Définition 1.5.

Somme de deux fonctions croissantes. Supposons $f$ et $g$ croissantes sur $I$. Soient $x, y \in I$ avec $x \leq y$. Par croissance de $f$, $f(x) \leq f(y)$. Par croissance de $g$, $g(x) \leq g(y)$. En additionnant : $(f+g)(x) = f(x)+g(x) \leq f(y)+g(y) = (f+g)(y)$. Donc $f+g$ est croissante.

Somme de deux fonctions décroissantes. Supposons $f$ et $g$ décroissantes sur $I$. Soient $x, y \in I$ avec $x \leq y$. On a $f(x) \geq f(y)$ et $g(x) \geq g(y)$. En additionnant : $(f+g)(x) \geq (f+g)(y)$. Donc $f+g$ est décroissante.

Somme d'une fonction croissante et d'une fonction strictement croissante. Supposons $f$ croissante et $g$ strictement croissante sur $I$. Soient $x, y \in I$ avec $x < y$. Par croissance de $f$ (au sens large), $f(x) \leq f(y)$. Par croissance stricte de $g$, $g(x) < g(y)$. En additionnant : $(f+g)(x) = f(x)+g(x) < f(y)+g(y) = (f+g)(y)$. Donc $f+g$ est strictement croissante.

Somme d'une fonction décroissante et d'une fonction strictement décroissante. Supposons $f$ décroissante et $g$ strictement décroissante sur $I$. Soient $x, y \in I$ avec $x < y$. On a $f(x) \geq f(y)$ et $g(x) > g(y)$. En additionnant : $(f+g)(x) > (f+g)(y)$. Donc $f+g$ est strictement décroissante.

Soient $f : I \to J$ et $g : J \to \mathbb{R}$ deux fonctions monotones (avec $f(I) \subset J$). On démontre les quatre points en utilisant la Définition 1.5.

Composée de deux fonctions de même sens de variation (croissantes). Supposons $f$ et $g$ croissantes. Soient $x, y \in I$ avec $x \leq y$. Par croissance de $f$, $f(x) \leq f(y)$. Comme $f(x), f(y) \in J$ et $g$ est croissante sur $J$, $g(f(x)) \leq g(f(y))$, i.e. $(g \circ f)(x) \leq (g \circ f)(y)$. Donc $g \circ f$ est croissante.

Composée de deux fonctions de même sens de variation (décroissantes). Supposons $f$ et $g$ décroissantes. Soient $x, y \in I$ avec $x \leq y$. Par décroissance de $f$, $f(x) \geq f(y)$. Par décroissance de $g$ sur $J$ avec $f(x) \geq f(y)$, $g(f(x)) \leq g(f(y))$. Donc $g \circ f$ est croissante.

Composée de deux fonctions de sens opposés (f croissante, g décroissante). Soient $x, y \in I$ avec $x \leq y$. Par croissance de $f$, $f(x) \leq f(y)$. Par décroissance de $g$, $g(f(x)) \geq g(f(y))$. Donc $g \circ f$ est décroissante. Le cas $f$ décroissante et $g$ croissante est analogue.

Les variantes strictes s'obtiennent en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes dans les mêmes chaînes de raisonnements (en utilisant la stricte monotonie de $f$ puis de $g$).

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mathbb{R}$. On rappelle que d'après la Définition 1.6, $f$ est bornée sur $A$ si et seulement si $f$ est majorée et minorée sur $A$.

($\Rightarrow$) Supposons $f$ bornée sur $A$. Il existe $(m, M) \in \mathbb{R}^2$ tels que $\forall x \in A, m \leq f(x) \leq M$. Pour tout $x \in A$, on a donc $|f(x)| \leq \max(|m|, |M|)$, ce qui montre que $|f|$ est majorée sur $A$.

($\Leftarrow$) Supposons que $|f|$ est majorée sur $A$. Il existe $M \geq 0$ tel que $\forall x \in A, |f(x)| \leq M$. Cela signifie $-M \leq f(x) \leq M$ pour tout $x \in A$. Donc $f$ est majorée par $M$ et minorée par $-M$ sur $A$, ce qui signifie exactement que $f$ est bornée sur $A$ d'après la Définition 1.6.

Soient $f$ et $g$ des fonctions définies sur $A$. On utilise la Définition 1.6.

Somme de fonctions majorées. Supposons $f$ et $g$ majorées sur $A$ : il existe $M_1, M_2 \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) \leq M_1$ et $g(x) \leq M_2$ pour tout $x \in A$. Alors $(f+g)(x) = f(x)+g(x) \leq M_1 + M_2$ pour tout $x \in A$. Donc $f+g$ est majorée par $M_1 + M_2$.

Somme de fonctions minorées. Supposons $f$ et $g$ minorées sur $A$ : il existe $m_1, m_2 \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) \geq m_1$ et $g(x) \geq m_2$ pour tout $x \in A$. Alors $(f+g)(x) \geq m_1 + m_2$ pour tout $x \in A$. Donc $f+g$ est minorée.

Somme de fonctions bornées. Si $f$ et $g$ sont bornées, elles sont à la fois majorées et minorées. D'après les deux points précédents, $f+g$ est majorée et minorée, donc bornée.

Produit de fonctions bornées. Supposons $f$ et $g$ bornées sur $A$. D'après la Proposition 1.4, $|f|$ et $|g|$ sont majorées : il existe $M_f, M_g \geq 0$ tels que $|f(x)| \leq M_f$ et $|g(x)| \leq M_g$ pour tout $x \in A$. Alors $|f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| \leq M_f M_g$ pour tout $x \in A$. Donc $|fg|$ est majorée, et par la Proposition 1.4 appliquée en sens inverse, $fg$ est bornée sur $A$.