Fonctions d'une variable réelle

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ par $f_a(x) = e^{x-a} - 2x + e^a$.
1. Montrer que pour tout réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
2. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible?

Les buts du problème sont l'étude de la fonction $f$ suivante :
$f : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{\ln(e^{2x}-1)}{e^x}$.
puis la recherche de primitives de cette fonction.

Première partie : Étude de fonctions auxiliaires
1. On définit la fonction $g$ par : $g : ]1,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 2x - (x-1)\ln(x-1)$.
(a) Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 1.
(b) Montrer que $g$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et calculer $g'(x)$ pour tout $x \in ]1,+\infty[$.
(c) Étudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$.
(d) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $[e+1, e^3+1]$ et étudier le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]1,\alpha[$ et $]\alpha,+\infty[$.
2. On définit la fonction $\varphi$ par : $\varphi : ]1,+\infty[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{\ln(x^2-1)}{x}$.
(a) Déterminer $\lim_{x\to 1} \varphi(x)$ et prouver que $\lim_{x\to+\infty} \varphi(x) = 0$.
(b) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et montrer que $\varphi'(x)$ est du signe de $g(x^2)$ pour tout $x \in ]1,+\infty[$.
(c) Montrer que $\varphi$ est croissante sur l'intervalle $]1,\sqrt{\alpha}[$ et décroissante sur l'intervalle $]\sqrt{\alpha},+\infty[$.

Deuxième partie : Étude de la fonction $f$
1. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $f(x) = \varphi(e^x)$.
2. En déduire :
(a) la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0,
(b) la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$,
(c) le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et que $f$ admet un maximum en $\ln(\sqrt{\alpha})$.
3. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f(x) \leq \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha-1}$.
4. Représenter graphiquement $f$.

Troisième partie : Recherche de primitives de $f$
1. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : $f'(x) + f(x) = \frac{e^x}{e^x-1} - \frac{e^x}{e^x+1}$.
2. Déterminer une primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{e^x}{e^x-1} - \frac{e^x}{e^x+1}$.
3. En déduire les primitives de $f$ sur $]0,+\infty[$.

Soit $p \in ]0,1[$. On note $f$ la fonction $x \mapsto x \ln \frac{x}{p} + (1-x) \ln \frac{1-x}{1-p}$.
1) a) Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
b) Montrer que $f$ est dérivable sur $D$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D$.
c) Montrer que $f'$ est dérivable sur $D$, puis que pour tout $x \in D$ : $f''(x) = \frac{1}{x(1-x)}$.
d) Résoudre l'équation : $f'(x) = 0$ d'inconnue $x \in D$.
e) En déduire les variations de $f$ sur $D$, puis montrer que $f$ est positive ou nulle sur $D$. Les limites aux bornes ne sont pas demandées dans un premier temps.
2) a) Déterminer une équation de la tangente de la fonction logarithme en 1.
b) Montrer, en étudiant la fonction $x \mapsto \ln x - x$, que pour tout $x > 0$ : $\ln x \leq x - 1$. Interprétation graphique ?
c) En déduire que pour tout $x > 0$ : $\ln x \leq 2(\sqrt{x} - 1)$.
d) En déduire que : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, puis que : $\lim_{x\to 0} x \ln x = 0$.
e) En déduire les limites de $f$ aux bornes de son ensemble $D$ de définition.