Groupes, anneaux, corps

Si $\ast$ est une loi interne sur $E$, l'image d'un couple $(x, y) \in E^2$ par $\ast$ est notée $x \ast y$ plutôt que $\ast(x, y)$.

La notation $(E, \ast)$ signifie l'ensemble $E$ muni de la loi interne $\ast$.

Un ensemble muni d'une loi interne s'appelle un magma.

Si la loi n'est pas une loi usuelle, on appelle souvent l'élément $x \ast y$ le produit de $x$ et $y$, par analogie avec la multiplication. Bien entendu, si la loi est notée $+$, on parlera plutôt de somme.

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne associative $\ast$ et d'un élément neutre $e$.

Soient $x$ un élément de $E$ et $n \in \mathbb{N}^*$.

• L'élément $\underbrace{x \ast x \ast \cdots \ast x}_{n \text{ fois}}$ se note $x^{\ast n}$ ou encore $x^n$ s'il n'y a pas d'ambiguïté sur la loi.
• Par convention, on pose $x^0 = e$.
• Si $x$ est inversible, on pose $x^{-n} = (x^{-1})^n = (x^n)^{-1}$.