Groupes, anneaux, corps

Soient $A(1,0)$ et $B(0,1)$. Les points $M_0(x_0,y_0)$ et $M_1(x_1,y_1)$ sont donnés. On construit le point $P_0$ par les conditions : les droites $(P_0{M}_0)$ et $(Ox)$ sont parallèles ; $P_0\in (AB)$. On construit le point $Q_0$ par les conditions : les droites $(P_0{Q}_0)$ et $(M_{1}B)$ sont parallèles ; $Q_0\in (A{M}_1)$. Soit le point $M_2(x_2,y_2)$ tel que le quadrilatère $(M_0{P}_0{Q}_0{M}_2)$ soit un parallélogramme. On pose $M_2=M_0\ast M_1$.

Soient $(G,\ast )$ un groupe et $H$ un ensemble. On suppose qu'il existe une bijection $f$ de $G$ sur $H$. On définit la loi $.$ sur $H$ de la manière suivante :$$\forall (x,y)\in H^2,x.y=f(f^{-1}(x)\ast f^{-1}(y))$$Montrer que $(H,.)$ est un groupe.

On munit $\mathbb{R}$ de la loi interne $\ast$ définie par : $\forall a,b\in \mathbb{R},a\ast b=a+b+ab$. $(\mathbb{R},\ast )$ est-il un groupe ?

Soit $G={\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$. On pose pour tous éléments $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$ de $G$ :$$(x,y)\ast (x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime },x{y}^{\prime }+y)$$

Soit $G=]-1,1[$. On pose pour tous éléments $x$ et $y$ de $G$ :$$x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$$

Soient $(G,\ast )$ un groupe et $(H,.)$ un ensemble muni d'une loi interne. On suppose qu'il existe une surjection de $G$ sur $H$ vérifiant$$\forall (x,y)\in G^2,f(x\ast y)=f(x).f(y)$$Montrer que $(H,.)$ est un groupe. Que peut-on dire de $f$ ?

Dans cette exercice, on pourra identifier le plan à $\mathbb{C}$ via un repère orthonormé. On pourra en particulier identifier une transformation du plan à une application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.

Soient $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$.