Groupes, anneaux, corps

Supposons que $(E, \ast)$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$. On va montrer que $e = e'$.

Puisque $e$ est un élément neutre, on a en particulier pour $x = e'$ :
$$e' \ast e = e'$$

Puisque $e'$ est un élément neutre, on a en particulier pour $x = e$ :
$$e \ast e' = e$$

De plus, par définition d'un élément neutre (Définition 1.4), on a $e \ast e' = e' \ast e$. Donc :
$$e = e \ast e' = e' \ast e = e'$$

Ainsi $e = e'$, ce qui établit l'unicité de l'élément neutre.

Soit $x \in E$ un élément inversible et supposons que $x'$ et $x''$ soient deux inverses de $x$. On va montrer que $x' = x''$.

Par définition d'un inverse (Définition 1.5), on a :
$$x \ast x' = e \quad \text{et} \quad x'' \ast x = e$$

On calcule alors :
$$x'' = x'' \ast e = x'' \ast (x \ast x') = (x'' \ast x) \ast x' = e \ast x' = x'$$

où l'on a utilisé successivement : $e$ est élément neutre, la définition de $x'$, l'associativité de $\ast$ (Définition 1.2), la définition de $x''$, et à nouveau $e$ est élément neutre.

Donc $x' = x''$, ce qui établit l'unicité de l'inverse.

On se place dans $E$ muni d'une loi interne associative possédant un élément neutre $e$, et on note $x^{-1}$ l'unique inverse de $x$ (Théorème 1.2) lorsqu'il existe.

Preuve de (i). Soit $x \in E$ inversible. On a par définition de $x^{-1}$ :
$$x^{-1} \ast x = e \quad \text{et} \quad x \ast x^{-1} = e$$

Ces deux égalités montrent précisément que $x$ est un inverse de $x^{-1}$ (au sens de la Définition 1.5). Donc $x^{-1}$ est inversible et son unique inverse est $x$, i.e. $(x^{-1})^{-1} = x$.

Preuve de (ii). Soit $(x, y, z) \in E^3$ avec $x$ inversible. Supposons $x \ast y = x \ast z$. Alors :
$$x^{-1} \ast (x \ast y) = x^{-1} \ast (x \ast z)$$
$$\Longrightarrow (x^{-1} \ast x) \ast y = (x^{-1} \ast x) \ast z \quad \text{(associativité, Définition 1.2)}$$
$$\Longrightarrow e \ast y = e \ast z \quad \text{(définition de } x^{-1} \text{)}$$
$$\Longrightarrow y = z \quad \text{(} e \text{ élément neutre, Définition 1.4)}$$

Le cas $y \ast x = z \ast x$ se traite de même en multipliant à droite par $x^{-1}$.

Preuve de (iii). Soient $x, y \in E$ inversibles. On vérifie que $y^{-1} \ast x^{-1}$ est un inverse de $x \ast y$ :
$$(x \ast y) \ast (y^{-1} \ast x^{-1}) = x \ast (y \ast y^{-1}) \ast x^{-1} = x \ast e \ast x^{-1} = x \ast x^{-1} = e$$
$$(y^{-1} \ast x^{-1}) \ast (x \ast y) = y^{-1} \ast (x^{-1} \ast x) \ast y = y^{-1} \ast e \ast y = y^{-1} \ast y = e$$

où on a utilisé l'associativité (Définition 1.2) à chaque étape. Donc $x \ast y$ est inversible et, par unicité de l'inverse (Théorème 1.2), $(x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}$.

Soit $E$ muni d'une loi interne associative $\ast$ d'élément neutre $e$, et $x \in E$. On rappelle que $x^0 = e$ et $x^n = \underbrace{x \ast \cdots \ast x}_{n}$ pour $n \geq 1$.

Preuve de 1. Soient $n, p \in \mathbb{N}$. On raisonne par récurrence sur $p$.

*Initialisation.* Pour $p = 0$ : $x^n \ast x^0 = x^n \ast e = x^n = x^{n+0}$, par définition de $x^0 = e$ et de l'élément neutre.

*Hérédité.* Supposons $x^n \ast x^p = x^{n+p}$ pour un certain $p \in \mathbb{N}$. Alors :
$$x^n \ast x^{p+1} = x^n \ast (x^p \ast x) = (x^n \ast x^p) \ast x = x^{n+p} \ast x = x^{n+p+1}$$

où on a utilisé la définition de $x^{p+1}$, l'associativité (Définition 1.2), l'hypothèse de récurrence, et la définition de $x^{n+p+1}$.

Par récurrence, $x^n \ast x^p = x^{n+p}$ pour tous $n, p \in \mathbb{N}$.

Preuve de 2. Si $x$ est inversible, on a également $x^{-n} = (x^{-1})^n$ pour $n \in \mathbb{N}$. Pour $(n, p) \in \mathbb{Z}^2$, il suffit de traiter les cas où l'un des exposants est négatif, en utilisant le résultat 1 appliqué à $x^{-1}$ et la propriété $(x^{-1})^{-1} = x$ (Théorème 1.3 (i)). Par exemple, pour $n \geq 0$ et $p < 0$, en posant $q = -p > 0$ :
- Si $n \geq q$ : $x^n \ast x^{-q} = x^n \ast (x^{-1})^q = x^{n-q}$ (par le cas 1 appliqué et simplification).
- Si $n < q$ : $x^n \ast x^{-q} = (x^{-1})^{q-n} = x^{-(q-n)} = x^{n-q}$.

Dans tous les cas, $x^n \ast x^p = x^{n+p}$.