The Maths Tailor

1.1. Loi interne

Définition —Loi interne

Soit

E

un ensemble. On appelle loi interne sur

E

toute application de

E \times E

dans

E

.

Remarque —Notation

Si

\ast

est une loi interne sur

E

, l'image d'un couple

(x, y) \in E^2

par

\ast

est notée

x \ast y

plutôt que

\ast(x, y)

.

La notation

(E, \ast)

signifie l'ensemble

E

muni de la loi interne

\ast

.

Exemple

La loi $+$ est une loi interne sur $\mathbb{N}$ mais pas la loi $-$ .
Soit $A$ un ensemble. Les lois $\cup$ et $\cap$ sont des lois internes sur $\mathcal{P}(A)$ .
Le produit vectoriel est une loi interne sur l'ensemble des vecteurs de l'espace mais le produit scalaire n'en est pas une.

Remarque

Un ensemble muni d'une loi interne s'appelle un magma.

Si la loi n'est pas une loi usuelle, on appelle souvent l'élément

x \ast y

le produit de

x

et

y

, par analogie avec la multiplication. Bien entendu, si la loi est notée

+

, on parlera plutôt de somme.

1.2. Associativité

Définition —Associativité

Soit

\ast

une loi interne sur un ensemble

E

. On dit que

\ast

est associative si pour tout

(x, y, z) \in E^3

:

x \ast (y \ast z) = (x \ast y) \ast z

On peut alors noter

x \ast y \ast z

sans parenthèses.

Exemple

La multiplication sur $\mathbb{C}$ est une loi interne associative.
La soustraction sur $\mathbb{Z}$ est une loi interne non associative.

1.3. Commutativité

Définition —Commutativité

Soit

\ast

une loi interne sur un ensemble

E

. On dit que

\ast

est commutative si pour tout

(x, y) \in E^2

:

x \ast y = y \ast x

Remarque

Le symbole

+

est généralement réservé aux lois commutatives.

Exemple

L'addition sur $\mathbb{R}$ est commutative.
La composition sur $E^E$ n'est pas commutative dès que $E$ possède plus de deux éléments.

1.4. Élément neutre et inversibilité

Définition —Élément neutre

Soit

\ast

une loi interne sur un ensemble

E

. On dit que

e \in E

est un élément neutre de

(E, \ast)

si

\forall x \in E, x \ast e = e \ast x = x

Théorème —Unicité de l'élément neutre

Soit

\ast

une loi interne sur un ensemble

E

. Si

(E, \ast)

possède un élément neutre, il est unique.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si la loi est additive (i.e. notée

+

), l'élément neutre est généralement noté

0

. Si la loi est multiplicative (i.e. noté

\times

), l'élément neutre est généralement noté

1

.

Remarque

Un ensemble muni d'une loi interne associative et possédant un élément neutre est appelé un monoïde.

Exemple

$1$ est l'élément neutre de $(\mathbb{C}, \times)$
$\emptyset$ est l'élément neutre de $(\mathcal{P}(E), \cup)$ et $E$ est l'élément neutre de $(\mathcal{P}(E), \cap)$ .
$(\mathbb{N}^*, +)$ ne possède pas d'élément neutre.
$\text{Id}_E$ est l'élément neutre de $(E^E, \circ)$ .

Définition —Élément inversible

Soit

\ast

une loi interne sur un ensemble

E

possédant un élément neutre

e

. On dit qu'un élément

x

de

E

est inversible pour la loi

\ast

s'il existe un élément

x'

tel que

x \ast x' = x' \ast x = e

Un tel

x'

s'appelle un inverse de

x

.

Remarque

L'élément neutre est toujours inversible et il est inverse de lui-même.

Exemple

Tous les éléments non nuls de $(\mathbb{Q}, \times)$ sont inversibles.
$1$ et $-1$ sont les seuls éléments inversibles de $(\mathbb{Z}, \times)$ .
Les éléments inversibles de $(E^E, \circ)$ sont les bijections de $E$ dans $E$ .

Attention

Tout ce qui suit n'est valable que pour les lois associatives possédant un élément neutre.

Théorème —Unicité de l'inverse

Soit

E

un ensemble muni d'une loi interne associative possédant un élément neutre. Tout élément inversible possède un unique inverse.

Démonstration bientôt disponible

Remarque —Notation

L'inverse est généralement noté

x^{-1}

ou encore

x^{\ast -1}

s'il y a un risque d'ambiguïté sur la loi interne. Si la loi est notée

+

, on parle d'opposé plutôt que d'inverse et on le note

-x

plutôt que

x^{-1}

.

Théorème —Propriétés de l'inverse

Soit

E

un ensemble muni d'une loi interne associative possédant un élément neutre.

[(i)] Soit $x \in E$ inversible. Alors $x^{-1}$ est inversible et $(x^{-1})^{-1} = x$ .
[(ii)] Soit $(x, y, z) \in E^3$ avec $x$ inversible. Alors $(x \ast y = x \ast z \text{ ou } y \ast x = z \ast x) \implies y = z$
[(iii)] Soit $(x, y) \in E^2$ . Si $x$ et $y$ sont inversibles, alors $x \ast y$ est inversible et $(x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}$ .

Démonstration bientôt disponible

Remarque

La deuxième propriété signifie que l'on peut simplifier à gauche et à droite.

Attention

L'inverse de

x \ast y

n'est pas

x^{-1} \ast y^{-1}

mais bien

y^{-1} \ast x^{-1}

.

1.5. Puissances

Remarque —Puissance

Soit

E

un ensemble muni d'une loi interne associative

\ast

et d'un élément neutre

e

.

Soient

x

un élément de

E

et

n \in \mathbb{N}^*

.

L'élément $\underbrace{x \ast x \ast \cdots \ast x}_{n \text{ fois}}$ se note $x^{\ast n}$ ou encore $x^n$ s'il n'y a pas d'ambiguïté sur la loi.
Par convention, on pose $x^0 = e$ .
Si $x$ est inversible, on pose $x^{-n} = (x^{-1})^n = (x^n)^{-1}$ .

Remarque

Si la loi est noté additivement

+

, on parle plutôt de multiple que de puissance et le « multiple

k

ème » de

x

s'écrit

kx

plutôt que

x^{+k}

.

Proposition —Règles de calcul

Soit

E

un ensemble muni d'une loi interne associative

\ast

et d'un élément neutre

e

.

Soient

x

un élément de

E

.

[1.] Pour tout $(n, p) \in \mathbb{N}^2$ , $x^n \ast x^p = x^{n+p}$ .
[2.] Si $x$ est inversible, alors pour tout $(n, p) \in \mathbb{Z}^2$ , $x^n \ast x^p = x^{n+p}$ .

Démonstration bientôt disponible

Attention

En général

(x \ast y)^n \neq x^n \ast y^n

, à moins d'avoir commutativité de

\ast

.

1.6. Distributivité

Définition —Distributivité

Soit

E

un ensemble et

\ast

et

\top

deux lois internes sur

E

. On dit que la loi

\ast

est distributive par rapport à

\top

si :

\forall (x, y, z) \in E^2, x \ast (y \top z) = (x \ast y) \top (x \ast z) \text{ et } (y \top z) \ast x = (y \ast x) \top (z \ast x)

Exemple

La loi $\times$ est distributive sur la loi $+$ dans $\mathbb{Z}$ .
Pour tout ensemble $E$ , l'union $\cup$ et l'intersection $\cap$ sont deux lois distributives l'une sur l'autre dans $\mathcal{P}(E)$ .

Groupes, anneaux, corps

1. Notion de loi

1.1. Loi interne

1.2. Associativité

1.3. Commutativité

1.4. Élément neutre et inversibilité

1.5. Puissances

1.6. Distributivité