The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Passage à la limite

1.1. Convergence dominée pour les suites

Théorème—Convergence dominée

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions définies sur un intervalle

I

à valeurs dans

K

. On suppose que

[(H1)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] $(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ ;
[(H3)] $f$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H4)] il existe une fonction positive $φ$ intégrable sur $I$ telle que $\forall n \in N, \forall t \in I, ∣ f_{n} (t) ∣ \leq φ (t)$

Alors

f

est intégrable sur

I

n \to + \infty lim \int_{I} f_{n} (t) d t = \int_{I} f (t) d t

Démonstration bientôt disponible

Remarque

L'intégrabilité des

f_{n}

sur

I

est garantie par la condition de domination.

Exemple

On pose

f_{n} : t \in R^{+} \mapsto \frac{1}{t ^{n} + e ^{t}}

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (t) d t

pour

n \in N

. On souhaite déterminer la limite de la suite

(I_{n})

.

(H1) Pour tout

n \in N

f_{n}

est bien continue (par morceaux) sur

R^{+}

.

(H2) La suite de fonctions

(f_{n})

converge simplement sur

R^{+}

vers la fonction

f : t \in R^{+} \mapsto ⎩ ⎨ ⎧ e^{- t} \frac{1}{1 + e} 0 si 0 \leq t < 1 si t = 1 si t > 1

(H3)

f

est bien continue par morceaux sur

R^{+}

.

(H4) De plus,

\forall n \in N, \forall t \in R^{+}, ∣ f_{n} (t) ∣ \leq e^{- t}

et la fonction

φ : t \mapsto e^{- t}

est intégrable sur

R^{+}

.

D'après le théorème de convergence dominée,

n \to + \infty lim I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = \int_{0}^{1} e^{- t} d t = 1 - \frac{1}{e}

Remarque

Comme bien souvent, on peut en fait se passer du théorème de convergence dominée. En effet, en posant

J_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t K_{n} = \int_{1}^{+ \infty} f_{n} (t) d t

on a

I_{n} = J_{n} + K_{n}

. On découpe cette intégrale en deux car le comportement de

t^{n}

change selon que

t \leq 1

t \geq 1

.

On se doute alors que

J_{n} n \to + \infty \int_{0}^{1} \frac{d t}{e ^{t}} = 1 - e^{- 1}

, ce que l'on montre par le théorème des gendarmes. En effet

(1 - e^{- 1}) - J_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{e ^{t}} - \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{n} + e ^{t}} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n} d t}{e ^{t} ( t ^{n} + e ^{t} )}

On en déduit que

0 \leq J_{n} - (1 - e^{- 1}) \leq \int_{0}^{1} t^{n} d t = \frac{1}{n + 1}

et ainsi

n \to + \infty lim J_{n} = 1 - \frac{1}{e}

.

On se doute de même que

K_{n} n \to + \infty 0

et on utilise à nouveau le théorème des gendarmes : pour tout entier

n \geq 2

0 \leq \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{n} + e ^{t}} \leq \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{n}} = \frac{1}{n - 1}

On a donc bien

n \to + \infty lim K_{n} = 0

.

Finalement,

n \to + \infty lim I_{n} = 1 - e^{- 1}

Application

Déterminer la limite de la suite de terme général

W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} (t) d t

Méthode—Convergence dominée à intervalle « variable »

Si l'on souhaite étudier la convergence d'une suite d'intégrale

(\int_{I_{n}} f_{n})

, on peut se ramener au cas d'application du théorème de convergence dominée en considérant un intervalle

I

contenant tous les

I_{n}

ainsi que les fonctions

g_{n} : t \in I \mapsto {f_{n} (t) 0 si t \in I_{n} sinon

Application

Montrer que

n \to + \infty lim \int_{0}^{n} (1 - \frac{x ^{2}}{n})^{n} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

1.2. Convergence dominée pour les limites

Théorème—Convergence dominée

Soient

f : J \times I \to K

où

I

J

sont deux intervalles de

R

a \in J

(éventuellement

a = \pm \infty

). On suppose que :

[(H1)] pour tout $x \in J$ , $t \mapsto f (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] pour tout $t \in I$ , $x \to a lim f (x, t) = g (t)$ où $g$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H3)] il existe une fonction positive $φ$ intégrable sur $I$ telle que $\forall (x, t) \in J \times I, ∣ f (x, t) ∣ \leq φ (t)$

Alors

g

est intégrable sur

I

x \to a lim \int_{I} f (x, t) d t = \int_{I} g (t) d t

1.3. Intégration terme à terme

Théorème—Intégration terme à terme (cas positif)

Soit

\sum f_{n}

une série de fonctions définies sur un intervalle

I

à valeurs dans

R^{+}

. On suppose que

[(H1)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est intégrable sur $I$ ;
[(H3)] $n \in N \sum f_{n}$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ ;
[(H4)] $f$ est continue par morceaux sur $I$ ;

Alors on a cette égalité dans

[0, + \infty]

n = 0 \sum + \infty \int_{I} f_{n} (t) d t = \int_{I} f (t) d t

1. Passage à la limite

1.1. Convergence dominée pour les suites

Théorème—Convergence dominée

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions définies sur un intervalle

I

à valeurs dans

K

. On suppose que

[(H1)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] $(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ ;
[(H3)] $f$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H4)] il existe une fonction positive $φ$ intégrable sur $I$ telle que $\forall n \in N, \forall t \in I, ∣ f_{n} (t) ∣ \leq φ (t)$

Alors

f

est intégrable sur

I

n \to + \infty lim \int_{I} f_{n} (t) d t = \int_{I} f (t) d t

Démonstration bientôt disponible

Remarque

L'intégrabilité des

f_{n}

sur

I

est garantie par la condition de domination.

Exemple

On pose

f_{n} : t \in R^{+} \mapsto \frac{1}{t ^{n} + e ^{t}}

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (t) d t

pour

n \in N

. On souhaite déterminer la limite de la suite

(I_{n})

.

(H1) Pour tout

n \in N

f_{n}

est bien continue (par morceaux) sur

R^{+}

.

(H2) La suite de fonctions

(f_{n})

converge simplement sur

R^{+}

vers la fonction

f : t \in R^{+} \mapsto ⎩ ⎨ ⎧ e^{- t} \frac{1}{1 + e} 0 si 0 \leq t < 1 si t = 1 si t > 1

(H3)

f

est bien continue par morceaux sur

R^{+}

.

(H4) De plus,

\forall n \in N, \forall t \in R^{+}, ∣ f_{n} (t) ∣ \leq e^{- t}

et la fonction

φ : t \mapsto e^{- t}

est intégrable sur

R^{+}

.

D'après le théorème de convergence dominée,

n \to + \infty lim I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = \int_{0}^{1} e^{- t} d t = 1 - \frac{1}{e}

Remarque

Comme bien souvent, on peut en fait se passer du théorème de convergence dominée. En effet, en posant

J_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t K_{n} = \int_{1}^{+ \infty} f_{n} (t) d t

on a

I_{n} = J_{n} + K_{n}

. On découpe cette intégrale en deux car le comportement de

t^{n}

change selon que

t \leq 1

t \geq 1

.

On se doute alors que

J_{n} n \to + \infty \int_{0}^{1} \frac{d t}{e ^{t}} = 1 - e^{- 1}

, ce que l'on montre par le théorème des gendarmes. En effet

(1 - e^{- 1}) - J_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{e ^{t}} - \int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{n} + e ^{t}} = \int_{0}^{1} \frac{t ^{n} d t}{e ^{t} ( t ^{n} + e ^{t} )}

On en déduit que

0 \leq J_{n} - (1 - e^{- 1}) \leq \int_{0}^{1} t^{n} d t = \frac{1}{n + 1}

et ainsi

n \to + \infty lim J_{n} = 1 - \frac{1}{e}

.

On se doute de même que

K_{n} n \to + \infty 0

et on utilise à nouveau le théorème des gendarmes : pour tout entier

n \geq 2

0 \leq \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{n} + e ^{t}} \leq \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{n}} = \frac{1}{n - 1}

On a donc bien

n \to + \infty lim K_{n} = 0

.

Finalement,

n \to + \infty lim I_{n} = 1 - e^{- 1}

Application

Déterminer la limite de la suite de terme général

W_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} (t) d t

Méthode—Convergence dominée à intervalle « variable »

Si l'on souhaite étudier la convergence d'une suite d'intégrale

(\int_{I_{n}} f_{n})

, on peut se ramener au cas d'application du théorème de convergence dominée en considérant un intervalle

I

contenant tous les

I_{n}

ainsi que les fonctions

g_{n} : t \in I \mapsto {f_{n} (t) 0 si t \in I_{n} sinon

Application

Montrer que

n \to + \infty lim \int_{0}^{n} (1 - \frac{x ^{2}}{n})^{n} d x = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

1.2. Convergence dominée pour les limites

Théorème—Convergence dominée

Soient

f : J \times I \to K

où

I

J

sont deux intervalles de

R

a \in J

(éventuellement

a = \pm \infty

). On suppose que :

[(H1)] pour tout $x \in J$ , $t \mapsto f (x, t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] pour tout $t \in I$ , $x \to a lim f (x, t) = g (t)$ où $g$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H3)] il existe une fonction positive $φ$ intégrable sur $I$ telle que $\forall (x, t) \in J \times I, ∣ f (x, t) ∣ \leq φ (t)$

Alors

g

est intégrable sur

I

x \to a lim \int_{I} f (x, t) d t = \int_{I} g (t) d t

1.3. Intégration terme à terme

Théorème—Intégration terme à terme (cas positif)

Soit

\sum f_{n}

une série de fonctions définies sur un intervalle

I

à valeurs dans

R^{+}

. On suppose que

[(H1)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
[(H2)] pour tout $n \in N$ , $f_{n}$ est intégrable sur $I$ ;
[(H3)] $n \in N \sum f_{n}$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ ;
[(H4)] $f$ est continue par morceaux sur $I$ ;

Alors on a cette égalité dans

[0, + \infty]

n = 0 \sum + \infty \int_{I} f_{n} (t) d t = \int_{I} f (t) d t

Intégrales à paramètres

1. Passage à la limite

1.1. Convergence dominée pour les suites

1.2. Convergence dominée pour les limites

1.3. Intégration terme à terme

1. Passage à la limite

1.1. Convergence dominée pour les suites

1.2. Convergence dominée pour les limites

1.3. Intégration terme à terme