THE MATHS TAILOR

Intégrales à paramètres | The Maths Tailor

Intégrales à paramètres

Cours Exercices

Cours

1Passage à la limite

2Continuité

Contenu réservé aux abonnés

3Dérivabilité

Contenu réservé aux abonnés

Méthodes10

TunnelComment utiliser le théorème de convergence dominée ?

Pour appliquer le théorème de convergence dominée à une suite de fonctions $(f_{n})$ :

Vérifier que $f_{n}$ converge simplement vers une fonction $f$ .
Trouver une fonction $φ$ intégrable telle que $∣ f_{n} (t) ∣ \leq φ (t)$ pour tout $n$ et tout $t$ (hypothèse de domination).
Conclure que $\int f_{n} \to \int f$ .

ClassiqueComment déterminer la limite d'une suite d'intégrales dont les bornes varient ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueComment trouver un équivalent ou un développement asymptotique d'une intégrale à paramètres ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueÉtudier une fonction eulérienne (Gamma, Bêta)

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

ClassiqueComment permuter une série et une intégrale ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelComment écrire une intégrale comme la somme d'une série ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelComment démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

PavlovDominer localement sur un segment

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelCalculer une intégrale à paramètre par dérivation (primitivation directe ou équation différentielle)

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

TunnelComment démontrer qu'une fonction définie par une intégrale à paramètres est infiniment dérivable ?

Méthode complète avec le plan Élève

Voir les offres

Exercices

Limite d'une intégrale à paramètre n

Étudier la limite éventuelle, quand

n

tend vers

+ \infty

, de la suite

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n + 2}} d x .

Indication

Trois limites d'intégrales

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :

$u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{n} x}{x ^{2}} d x$
$u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n} d x}{x ^{n + 2} + 1}$
$u_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{n} d x}{x ^{2 n} + 1}$

Indication

Limite de Cesàro d'une intégrale

Soit

f : [0; + \infty [\to C

continue. On suppose que la fonction

f

converge en

+ \infty

vers une limite finie

ℓ

.
Déterminer la limite quand

n \to + \infty

de

μ_{n} = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f (t) d t .

Indication

Approximation de l'unité et limite

Soit

f \in C^{0} (R_{+}, R_{+})

bornée. On pose, pour

n \in N

,

I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} n f (t) e^{- n t} d t .

Déterminer la limite de

I_{n}

quand

n \to + \infty

.

Indication

Limite et mode de convergence

Soit

f : R_{+} \to R

de classe

C^{1}

intégrable ainsi que sa dérivée.

Déterminer pour $x > 0$ $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} n cos t (sin t)^{n} f (x t) d t$ .
Préciser le mode de convergence.

Indication

CCP MP 2018

Soit

f : R_{+} \to R

continue et

π

-périodique vérifiant

\int_{0}^{π} f (t) d t = 0

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = \int_{0}^{π} f (t) e^{- t / n} d t v_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- t / n} d t

Justifier que $u_{n}$ et $v_{n}$ sont bien définis pour tout $n \in N^{*}$ .
Justifier qu'il existe une suite $(a_{n})$ , que l'on précisera, telle que $v_{n} = a_{n} u_{n}$ .
Montrer que $a_{n} n \to + \infty \sim \frac{n}{π}$ .
Montrer que $(u_{n}) \to 0$ . Montrer que $(v_{n})$ converge et préciser sa limite.

Indication

Deux limites de suites d'intégrales

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :

$u_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} x d x$
$v_{n} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{n} + e ^{x}}$

Indication

Limite de \int e^{- t} sin^{n} t d t

Calculer

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} sin^{n} (t) d t .

Indication

Convergence vers une gaussienne

Série alternée d'intégrales (1 + t^{3})^{- n}

Intégrabilité et limite à paramètre n

Noyau de Poisson, limite ponctuelle