Intégration

Soit $\phi \in \mathcal{E}([a,b])$ et $u=(x_i{)}_{0\le i\le n}$ une subdivision subordonnée à $\phi$. On note $c_i$ la valeur de $\phi$ sur $]x_i,x_{i+1}[$.

Linéarité. Soient $\phi ,\psi \in \mathcal{E}([a,b])$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. On peut choisir une subdivision commune $(x_i)$ subordonnée à la fois à $\phi$ et à $\psi$ (il suffit de prendre le raffinement commun). Sur $]x_i,x_{i+1}[$, $\lambda \phi +\mu \psi$ vaut $\lambda c_i+\mu d_i$ où $c_i$ (resp. $d_i$) est la valeur de $\phi$ (resp. $\psi$) sur cet intervalle. Alors :$${\int }_{[a,b]}(\lambda \phi +\mu \psi )=\sum _{i=0}^{n-1}(\lambda c_i+\mu d_i)(x_{i+1}-x_i)=\lambda \sum _{i=0}^{n-1}{c}_i(x_{i+1}-x_i)+\mu \sum _{i=0}^{n-1}{d}_i(x_{i+1}-x_i)=\lambda {\int }_{[a,b]}\phi +\mu {\int }_{[a,b]}\psi$$Positivité. Si $\phi \ge 0$, alors chaque $c_i\ge 0$ et chaque $(x_{i+1}-x_i)>0$, donc ${\int }_{[a,b]}\phi =\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i(x_{i+1}-x_i)\ge 0$.

Croissance. Si $\phi \le \psi$, alors $\psi -\phi \in \mathcal{E}([a,b])$ et $\psi -\phi \ge 0$. Par positivité et linéarité :$${\int }_{[a,b]}\psi -{\int }_{[a,b]}\phi ={\int }_{[a,b]}(\psi -\phi )\ge 0$$Relation de Chasles. Soit $c\in ]a,b[$. On part d'une subdivision $(x_i)$ de $[a,b]$ subordonnée à $\phi$. On peut supposer que $c$ est l'un des $x_j$ (sinon on raffine). Les restrictions $\phi {|}_{[a,c]}$ et $\phi {|}_{[c,b]}$ sont en escalier sur leurs segments respectifs, avec les mêmes valeurs $c_i$ sur chaque sous-intervalle ouvert. On a :$${\int }_{[a,b]}\phi =\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i(x_{i+1}-x_i)=\sum _{x_i<c}{c}_i(x_{i+1}-x_i)+\sum _{x_i\ge c}{c}_i(x_{i+1}-x_i)={\int }_{[a,c]}\phi {|}_{[a,c]}+{\int }_{[c,b]}\phi {|}_{[c,b]}$$