Limite et continuité de fonctions | The Maths Tailor

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Limite et continuité de fonctions | The Maths Tailor

0. Introduction

0.1. Définition au voisinage

Encadré

Soit

a \in \mathbb{R}

. Dans tout ce chapitre, on dira qu'une fonction

f

de domaine de définition

\mathrm{D}_f

est définie au voisinage de

a

s'il existe un réel

h > 0

tel que l'on soit dans l'un des trois cas suivants :

$(\mathrm{D}_f \cap [a-h,a[) \setminus \{a\} = [a-h, a[$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage à gauche de $a$ et éventuellement non définie en $a$ ;
$(\mathrm{D}_f \cap [a, a + h]) \setminus \{a\} =]a, a + h]$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage à droite de $a$ et éventuellement non définie en $a$ ;
$(\mathrm{D}_f \cap [a-h, a + h]) \setminus \{a\} = [a-h, a + h] \setminus \{a\}$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage de $a$ et éventuellement non définie en $a$ .

Exemple

$x \mapsto \dfrac{1}{x-1}$ est définie au voisinage de 1.
$x \mapsto \sqrt{-2-x}$ est définie au voisinage de $-2$ .

Encadré

On dira de plus que

f

est :

définie au voisinage de $+\infty$ s'il existe $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ tel que $[\mathrm{A}, +\infty[\subset \mathrm{D}_f$ ;
définie au voisinage de $-\infty$ s'il existe $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ tel que $]-\infty, \mathrm{A}] \subset \mathrm{D}_f$ .

Exemple

x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - x - 1}

est définie au voisinage de

+\infty

et

-\infty

.

Encadré

Enfin, on dira qu'une propriété portant sur

f

est vraie au voisinage de

a \in \overline{\mathbb{R}}

si cette propriété est vraie sur l'intersection de

\mathrm{D}_f

avec un intervalle du type

$[a-h, a + h]$ avec $h > 0$ si $a \in \mathbb{R}$ ;
$[\mathrm{A},+\infty[$ avec $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ si $a = +\infty$ ;
$a = -\infty$ avec $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ si $a = -\infty$ .

Exemple

La fonction

x \mapsto x^2(1 - x^2)

est positive au voisinage de 0 et négative au voisinage de

+\infty

et

-\infty

.

1. Limite d'une fonction

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2. Propriétés des limites

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3. Théorèmes d'existence de limite

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4. Continuité ponctuelle

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5. Continuité sur un intervalle

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6. Continuité uniforme

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7. Limite et continuité des fonctions à valeurs complexes

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