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Limite et continuité de fonctions | The Maths Tailor

Explorer AnalyseLimite et continuité de fonctions

Limite et continuité de fonctions

SUPanalyse

Méthodes Exercices

Sommaire

0.1Définition au voisinage

1.Limite d'une fonction

1.1Définition 1.2Limite à gauche, à droite

2.Propriétés des limites

2.1Caractérisation séquentielle de la limite 2.2Limite et borne supérieure ou inférieure 2.3Opérations sur les limites 2.4Passage à la limite

3.Théorèmes d'existence de limite

3.1Théorèmes d'encadrement, de minoration et de majoration 3.2Théorème de la limite monotone

4.Continuité ponctuelle

4.1Définition 4.2Continuité à gauche, à droite 4.3Prolongement par continuité 4.4Caractérisation séquentielle de la continuité 4.5Opération sur les fonctions continues en un point

5.Continuité sur un intervalle

5.1Définition 5.2Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle 5.3Théorèmes liés à la relation d'ordre sur ℝ 5.4Théorèmes liés à la compacité

6.Continuité uniforme

6.1Définition 6.2Fonctions lipschitziennes

7.Limite et continuité des fonctions à valeurs complexes

7.1Limite d'une fonction à valeurs complexes 7.2Continuité d'une fonction à valeurs complexes

0. Introduction

0.1. Définition au voisinage

Encadré

Soit

a \in \mathbb{R}

. Dans tout ce chapitre, on dira qu'une fonction

f

de domaine de définition

\mathrm{D}_f

est définie au voisinage de

a

s'il existe un réel

h > 0

tel que l'on soit dans l'un des trois cas suivants :

$(\mathrm{D}_f \cap [a-h,a[) \setminus \{a\} = [a-h, a[$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage à gauche de $a$ et éventuellement non définie en $a$ ;
$(\mathrm{D}_f \cap [a, a + h]) \setminus \{a\} =]a, a + h]$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage à droite de $a$ et éventuellement non définie en $a$ ;
$(\mathrm{D}_f \cap [a-h, a + h]) \setminus \{a\} = [a-h, a + h] \setminus \{a\}$ i.e. $f$ est définie dans un voisinage de $a$ et éventuellement non définie en $a$ .

Exemple

$x \mapsto \dfrac{1}{x-1}$ est définie au voisinage de 1.
$x \mapsto \sqrt{-2-x}$ est définie au voisinage de $-2$ .

Encadré

On dira de plus que

f

est :

définie au voisinage de $+\infty$ s'il existe $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ tel que $[\mathrm{A}, +\infty[\subset \mathrm{D}_f$ ;
définie au voisinage de $-\infty$ s'il existe $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ tel que $]-\infty, \mathrm{A}] \subset \mathrm{D}_f$ .

Exemple

x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - x - 1}

est définie au voisinage de

+\infty

et

-\infty

.

Encadré

Enfin, on dira qu'une propriété portant sur

f

est vraie au voisinage de

a \in \overline{\mathbb{R}}

si cette propriété est vraie sur l'intersection de

\mathrm{D}_f

avec un intervalle du type

$[a-h, a + h]$ avec $h > 0$ si $a \in \mathbb{R}$ ;
$[\mathrm{A},+\infty[$ avec $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ si $a = +\infty$ ;
$]-\infty, \mathrm{A}]$ avec $\mathrm{A} \in \mathbb{R}$ si $a = -\infty$ .

Exemple

La fonction

x \mapsto x^2(1 - x^2)

est positive au voisinage de 0 et négative au voisinage de

+\infty

et

-\infty

.

1. Limite d'une fonction

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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2. Propriétés des limites

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3. Théorèmes d'existence de limite

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4. Continuité ponctuelle

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5. Continuité sur un intervalle

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6. Continuité uniforme

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7. Limite et continuité des fonctions à valeurs complexes

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