Limite et continuité de fonctions

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, soit $f$ une fonction. On pose : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto xe^{3x}$.
1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $f^{(n)} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 3^n xe^{3x} + n3^{n-1}e^{3x}$.
2. (a) Étudier les variations de $f$.
(b) Montrer que $f(-\frac{1}{3}) > -\frac{1}{3}$.
On pose $u_0 \in \mathbb{R}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
3. Que peut-on dire de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ lorsque $u_0 = 0$ ? On justifiera la réponse.
4. Montrer que si la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $l \in \mathbb{R}$, alors $l = 0$.
5. On suppose dans cette question que $u_0 \in ]0,+\infty[$.
(a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in ]0,+\infty[$.
(b) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
(c) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq u_0$.
(d) Montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
6. On suppose dans cette question que $u_0 \in [-\frac{1}{3},0[$.
(a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [-\frac{1}{3},0[$.
(b) Montrer que, pour tout $x \in [-\frac{1}{3},0[$, $f(x) - x \geq 0$.
(c) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
(d) Montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
7. On suppose dans cette question que $u_0 \in ]-\infty,-\frac{1}{3}[$.
(a) Montrer que $u_1 \in [-\frac{1}{3},0[$.
(b) En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

1) On note $\phi$ la fonction $x \mapsto \ln(x+4) - x$ sur $\mathbb{R}^+$.
a) Étudier les variations de $\phi$.
b) En déduire que $\phi$ s'annule une et une seule fois sur $\mathbb{R}^+$ en un réel noté $\alpha$.
c) Montrer — sans calculatrice ! — que : $\alpha \leq 4$.
2) On note à présent $f$ la fonction $x \mapsto \ln(x+4)$ sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $f(x) \geq 0$. On dit que l'intervalle $\mathbb{R}^+$ est stable par $f$.
3) On note enfin $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.
a) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée par $\alpha$.
b) Étudier les variations de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
c) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et préciser sa limite.

Calculer les limites suivantes si elles existent.
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$.
3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}$.
4. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$.
5. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+9}-3}$.
6. $\lim_{x \to 0^+} \ln(|x \ln x|)$.
7. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(3x+1)}{2x}$.
8. $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-2}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-1}}$.

Soit $f$ une fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) $f$ a une limite finie en $+\infty$

2) la suite $(f(n))_n$ converge.

Vrai ou faux ?

Soient $a \in \mathbb{R}$ et $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ croissante qui admet une limite finie $b$ en $+\infty$. Soit $g$ définie sur $[a, +\infty[$ par $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

On suppose $g$ croissante.

Alors $f$ est constante. Vrai ou faux ?

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que

$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{+*2}, |f(x) - f(y)| \leq \frac{1}{x + y}$,

alors $f$ est constante, vrai ou faux ?

Étudier les limites suivantes :

1. $\frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2}$ en 1

2. $\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ en 1

3. $\frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}$ en $+\infty$

4. $\sqrt{x^2+2x}-x$ en $+\infty$

5. $x^5 e^{-x^2}$ en $+\infty$

6. $\frac{x+\cos x}{x+\sin x}$ en $+\infty$

7. $\frac{x\ln x+7}{x^2+4}$ en $+\infty$

8. $\frac{4\sin^2 x + 3\cos(5x)}{x}$ en $+\infty$.

Étudier les limites suivantes :

1. $\frac{e^{3x} + 2x + 7}{e^x + e^{-x}}$ en $+\infty$

2. $\frac{\sqrt{1+x} - \left(1 + \frac{x}{2}\right)}{x^2}$ en 0

3. $\frac{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}$ en $+\infty$

4. $\frac{\sqrt{2x^2 + 5x + 9} - 3}{x}$ en 0

5. $\sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x}$ en $+\infty$

Étudier la limite en 0 de la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{|x|}{x}$.

Étudier les limites à droite en 0 des fonctions suivantes :$f : x \mapsto \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$, $g : x \mapsto x\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$, $h : x \mapsto x^2\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$.

Étudier la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x) = \frac{E(x)}{x}$.

Soit $a > 0$ et $a \neq 1$, étude de la limite en 0 de $x \mapsto \frac{a^x - 1}{\sin(x)}$.

Limite à droite en 0 de $x \mapsto x \ln(\sin x)$.

Limite en 0 de $x \mapsto (1 + \tan(2x))^{1/x}$.

Calculer :a) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}$, avec $a > 0$ et $b > 0$ ;

b) $\lim_{x \to +\infty} x^2(e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x+1}})$ ;

c) $\lim_{x \to \pi/2} (\pi - 2x)\tan x$ ;

d) $\lim_{x \to 0} (\sin x + \cos x)^{1/x}$ ;

e) $\lim_{x \to a} (2 - \frac{x}{a})^{\tan \frac{\pi x}{2a}}$

a) $\lim_{x \to 1} \frac{e^{x^2+x} - e^{2x}}{\cos(\frac{\pi}{2}x)}$

b) $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} \text{th} x \cdot \text{sh} x$

c) $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\ln(1 + x)}{\ln x}\right)^{x \ln x}$

Montrer que l'équation $x^3 - 6x - 6 = 0$ a une unique solution réelle qu'on ne cherchera pas à expliciter.