Limite et continuité de fonctions

Écrire $f(x) = f(n) + [f(x) - f(n)]$ avec $n = \lfloor x \rfloor$, puis téléscoper $f(n) = f(0) + \sum_{k=0}^{n-1}[f(k+1)-f(k)]$ ; l'hypothèse $f(x+1)-f(x) \to 0$ permet de contrôler chaque terme de la somme pour $k$ grand, et la borne sur $[0,1]$ gère les petits $k$ (Limites : théorie et définition de la convergence : définition formelle de la limite).

Pour chaque limite, identifier la forme indéterminée et la technique adaptée : taux classiques en 0 ($\sin x/x$, $(e^x-1)/x$, $\ln(1+x)/x$), quantité conjuguée pour les différences de racines, et règle $t\ln t \to 0$ en $0^+$ pour la limite logarithmique (Limites classiques et formes indéterminées et Méthode 00292).

Pour chaque calcul, passer à l'exponentielle si l'exposant est variable (Limites et puissances en x : réflexe du ln), puis factoriser pour faire apparaître les taux classiques $\lim (e^t-1)/t=1$, $\lim \ln(1+u)/u=1$, $\lim \sin t/t=1$ selon le cas (Limites : utiliser des taux connus en 0).

Pour a) factoriser $e^{x^2+x} - e^{2x} = e^{2x}(e^{x^2-x}-1)$ et développer $(x^2-x)$ au voisinage de 1 ; pour d) et e) passer à l'exponentielle et faire apparaître $\ln(1+u)/u \to 1$ (Limites et puissances en x : réflexe du ln et Limites : utiliser des taux connus en 0).

Pour chaque limite, identifier la technique adaptée : factoriser et simplifier pour lever les indéterminations en un point fini, factoriser par le terme dominant en $+\infty$, quantité conjuguée pour les différences, et encadrement pour les fonctions oscillantes divisées par $x$ (Techniques de limites : terme dominant, encadrements, quantité conjuguée).

Factoriser par le terme dominant au numérateur et dénominateur pour les limites en $+\infty$ ; pour les formes $0/0$ en 0, utiliser la quantité conjuguée ou les taux classiques ; pour les imbrications de racines, factoriser la plus grande puissance (Techniques de limites : terme dominant, encadrements, quantité conjuguée).