Soit a∈R. Dans tout ce chapitre, on dira qu'une fonction f de domaine de définition Df est définie au voisinage dea s'il existe un réel h>0 tel que l'on soit dans l'un des trois cas suivants :
(Df∩[a−h,a[)∖{a}=[a−h,a[ i.e. f est définie dans un voisinage à gauche de a et éventuellement non définie en a ;
(Df∩[a,a+h])∖{a}=]a,a+h] i.e. f est définie dans un voisinage à droite de a et éventuellement non définie en a ;
(Df∩[a−h,a+h])∖{a}=[a−h,a+h]∖{a} i.e. f est définie dans un voisinage de a et éventuellement non définie en a.
Exemple
x↦x−11 est définie au voisinage de 1.
x↦−2−x est définie au voisinage de −2.
Encadré
On dira de plus que f est :
définie au voisinage de+∞ s'il existe A∈R tel que [A,+∞[⊂Df ;
définie au voisinage de−∞ s'il existe A∈R tel que ]−∞,A]⊂Df.
Exemple
x↦x3−x−11 est définie au voisinage de +∞ et −∞.
Encadré
Enfin, on dira qu'une propriété portant sur f est vraie au voisinage dea∈R si cette propriété est vraie sur l'intersection de Df avec un intervalle du type
[a−h,a+h] avec h>0 si a∈R ;
[A,+∞[ avec A∈R si a=+∞ ;
]−∞,A] avec A∈R si a=−∞.
Exemple
La fonction x↦x2(1−x2) est positive au voisinage de 0 et négative au voisinage de +∞ et −∞.
