Matrices | The Maths Tailor

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1. Matrices à coefficients dans $\mathbb{K}$

1.1. Définition

Définition—Matrice

On appelle matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ à $n$ lignes et $p$ colonnes ou matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ de taille $n \times p$ toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

indexée sur

\llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket

i.e. toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

du type

(a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}

.

Remarque

Une matrice de taille

n \times p

est généralement représentée sous forme d'un tableau à

n

lignes et

p

colonnes. L'élément

a_{i,j}

est placé sur la

i

-ème ligne et sur la

j

-ème colonne.

Définition—Ensembles de matrices

On note

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

l'ensemble des matrices à coefficients dans

\mathbb{K}

de taille

n \times p

.

Lorsque

n = p

, cet ensemble est plus simplement noté

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. On parle alors de matrices carrées de taille $n$ .

Lorsque

p = 1

, on parle de matrices colonnes de taille $n$ .

Lorsque

n = 1

, on parle de matrices lignes de taille $p$ .

Remarque

Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas

n = p

,

p = 1

et

n = 1

.

1.2. Structure de $\mathbb{K}$ -espace vectoriel

Proposition—Structure de

\mathbb{K}

-espace vectoriel de

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

1.3. Produit matriciel

Définition—Produit matriciel

Soient

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

et

B = (b_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

. On définit le produit

AB

comme la matrice

C = (c_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

telle que :

\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, q \rrbracket, \quad c_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,j}

1.4. Transposition

Définition—Transposée

Soit

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

. On appelle transposée de $A$ la matrice

(a_{j,i})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq n}} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})

, notée

A^\top

.

1.5. Matrices définies par blocs

Encadré—Matrices définies par blocs

Soient

A \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

,

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

,

C \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})

et

D \in \mathcal{M}_{p,r}(\mathbb{K})

. On peut définir une matrice

M \in \mathcal{M}_{n+p,q+r}(\mathbb{K})

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = \begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix}

2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice

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3. L'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

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4. Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires

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5. Noyau, image et rang d'une matrice

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6. Changements de bases, équivalence et similitude

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7. Systèmes linéaires

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Proposition—Propriétés du produit matriciel

• Le produit matriciel est bilinéaire :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (A, B) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})^2, \forall C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}), \quad (\lambda A + \mu B)C = \lambda AC + \mu BC

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \forall (B, C) \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})^2, \quad A(\lambda B + \mu C) = \lambda AB + \mu AC

• Le produit matriciel est associatif :

\forall A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \forall B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}), \forall C \in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{K}), \quad A(BC) = (AB)C

Démonstration

Bilinéarité — linéarité à gauche. Soient

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

,

(A, B) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})^2

et

C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

. Notons

A = (a_{i,k})

,

B = (b_{i,k})

,

C = (c_{k,j})

. Par la Définition 1.4, le coefficient

(i,j)

de

(\lambda A + \mu B)C

est :

\sum_{k=1}^{p} (\lambda a_{i,k} + \mu b_{i,k}) c_{k,j} = \lambda \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} c_{k,j} + \mu \sum_{k=1}^{p} b_{i,k} c_{k,j}

ce qui est le coefficient

(i,j)

de

\lambda AC + \mu BC

. Donc

(\lambda A + \mu B)C = \lambda AC + \mu BC

.

La linéarité à droite se démontre de façon analogue.

Associativité. Soient

A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

,

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

et

C \in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{K})

. Le coefficient

(i,j)

de

A(BC)

est, par la Définition 1.4 :

\sum_{k=1}^{p} a_{i,k} (BC)_{k,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} \left( \sum_{l=1}^{q} b_{k,l} c_{l,j} \right) = \sum_{k=1}^{p} \sum_{l=1}^{q} a_{i,k} b_{k,l} c_{l,j}

Le coefficient

(i,j)

de

(AB)C

est :

\sum_{l=1}^{q} (AB)_{i,l} c_{l,j} = \sum_{l=1}^{q} \left( \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,l} \right) c_{l,j} = \sum_{l=1}^{q} \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,l} c_{l,j}

Les deux sommes doubles sont égales (permutation de l'ordre de sommation dans une somme finie). Donc

A(BC) = (AB)C

.

Application

Soit

(E_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}

la base canonique de

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. Montrer que pour tout

(i, j, k, l) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^4

,

E_{i,j} E_{k,l} = \delta_{j,k} E_{i,l}

.

Correction

Soient

(i, j, k, l) \in \llbracket 1, n \rrbracket^4

. On calcule le produit

E_{i,j} E_{k,l}

en utilisant la Définition 1.4 du produit matriciel.

Par la Définition 1.3, le coefficient

(a, b)

de

E_{i,j}

vaut

\delta_{a,i} \delta_{b,j}

, et le coefficient

(c, d)

de

E_{k,l}

vaut

\delta_{c,k} \delta_{d,l}

.

Le coefficient

(a, b)

du produit

E_{i,j} E_{k,l}

est, par la Définition 1.4 :

\sum_{m=1}^{n} (E_{i,j})_{a,m} (E_{k,l})_{m,b} = \sum_{m=1}^{n} \delta_{a,i} \delta_{m,j} \delta_{m,k} \delta_{b,l}

Dans cette somme, le terme non nul existe seulement si

m = j

et

m = k

simultanément, c'est-à-dire si

j = k

. On distingue deux cas :

Cas 1 : $j \neq k$ . Alors

\delta_{m,j} \delta_{m,k} = 0

pour tout

m

, donc la somme vaut

0

. Le produit

E_{i,j} E_{k,l} = 0 = \delta_{j,k} \cdot 0

.

Cas 2 : $j = k$ . La somme se réduit au terme

m = j = k

:

\delta_{a,i} \delta_{j,j} \delta_{j,k} \delta_{b,l} = \delta_{a,i} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \delta_{b,l} = \delta_{a,i} \delta_{b,l}

Or le coefficient

(a, b)

de

E_{i,l}

est

\delta_{a,i} \delta_{b,l}

(par la Définition 1.3). Donc

E_{i,j} E_{k,l} = E_{i,l}

.

En résumé, pour tous

(i,j,k,l) \in \llbracket 1,n \rrbracket^4

:

E_{i,j} E_{k,l} = \delta_{j,k} E_{i,l}

Proposition—Propriétés de la transposition

• La transposition est linéaire :

\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \forall (A, B) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})^2, \quad (\lambda A + \mu B)^\top = \lambda A^\top + \mu B^\top

• La transposition est involutive :

\forall A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \quad (A^\top)^\top = A

• Transposée d'un produit :

\forall (A, B) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \times \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}), \quad (AB)^\top = B^\top A^\top

Démonstration

Soient

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\\\ 1 \leq j \leq p}}

et

B = (b_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\\\ 1 \leq j \leq p}}

deux matrices de

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

, et

\lambda, \mu \in \mathbb{K}

.

Linéarité. Par la Définition 1.5, le coefficient

(i,j)

de

(\lambda A + \mu B)^\top

est le coefficient

(j,i)

de

\lambda A + \mu B

, soit

\lambda a_{j,i} + \mu b_{j,i}

. C'est aussi le coefficient

(i,j)

de

\lambda A^\top + \mu B^\top

. Donc

(\lambda A + \mu B)^\top = \lambda A^\top + \mu B^\top

.

Involutivité. Le coefficient

(i,j)

de

(A^\top)^\top

est le coefficient

(j,i)

de

A^\top

, c'est-à-dire le coefficient

(i,j)

de

A

. Donc

(A^\top)^\top = A

.

Transposée d'un produit. Soient

A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

et

j \neq k

. Par la Définition 1.4 et la Définition 1.5, le coefficient

(i,j)

de

(AB)^\top

est le coefficient

(j,i)

de

AB

, soit

\sum_{k=1}^{p} a_{j,k} b_{k,i}

. D'autre part, le coefficient

(i,j)

de

B^\top A^\top

est

\sum_{k=1}^{p} (B^\top)_{i,k} (A^\top)_{k,j} = \sum_{k=1}^{p} b_{k,i} a_{j,k}

. Ces deux expressions sont égales. Donc

(AB)^\top = B^\top A^\top

.