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Thème : Algebre

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1. Matrices à coefficients dans $\mathbb{K}$

1.1. Définition

Définition—Matrice

On appelle matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ à $n$ lignes et $p$ colonnes ou matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ de taille $n \times p$ toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

indexée sur

\llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket

i.e. toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

du type

(a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}

Remarque

Une matrice de taille

n \times p

est généralement représentée sous forme d'un tableau à

n

lignes et

p

colonnes. L'élément

a_{i,j}

est placé sur la

i

-ème ligne et sur la

j

-ème colonne.

Définition—Ensembles de matrices

On note

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

l'ensemble des matrices à coefficients dans

\mathbb{K}

de taille

n \times p

.

Lorsque

n = p

, cet ensemble est plus simplement noté

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. On parle alors de matrices carrées de taille $n$ .

Lorsque

p = 1

, on parle de matrices colonnes de taille $n$ .

Lorsque

n = 1

, on parle de matrices lignes de taille $p$ .

Remarque

Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas

n = p

p = 1

n = 1

1.2. Structure de $\mathbb{K}$ -espace vectoriel

Proposition—Structure de

\mathbb{K}

-espace vectoriel de

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

1.3. Produit matriciel

Définition—Produit matriciel

Soient

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

B = (b_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

. On définit le produit

AB

comme la matrice

C = (c_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

telle que :

\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, q \rrbracket, \quad c_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,j}

1.4. Transposition

Définition—Transposée

Soit

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

. On appelle transposée de $A$ la matrice

(a_{j,i})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq n}} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})

, notée

A^\top

1.5. Matrices définies par blocs

Encadré—Matrices définies par blocs

Soient

A \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

C \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})

D \in \mathcal{M}_{p,r}(\mathbb{K})

. On peut définir une matrice

M \in \mathcal{M}_{n+p,q+r}(\mathbb{K})

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = \begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix}

2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice

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3. L'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

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4. Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires

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5. Noyau, image et rang d'une matrice

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6. Changements de bases, équivalence et similitude

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7. Systèmes linéaires

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1. Matrices à coefficients dans $\mathbb{K}$

1.1. Définition

Définition—Matrice

On appelle matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ à $n$ lignes et $p$ colonnes ou matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ de taille $n \times p$ toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

indexée sur

\llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket

i.e. toute famille d'éléments de

\mathbb{K}

du type

(a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}

Remarque

Une matrice de taille

n \times p

est généralement représentée sous forme d'un tableau à

n

lignes et

p

colonnes. L'élément

a_{i,j}

est placé sur la

i

-ème ligne et sur la

j

-ème colonne.

Définition—Ensembles de matrices

On note

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

l'ensemble des matrices à coefficients dans

\mathbb{K}

de taille

n \times p

.

Lorsque

n = p

, cet ensemble est plus simplement noté

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. On parle alors de matrices carrées de taille $n$ .

Lorsque

p = 1

, on parle de matrices colonnes de taille $n$ .

Lorsque

n = 1

, on parle de matrices lignes de taille $p$ .

Remarque

Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas

n = p

p = 1

n = 1

1.2. Structure de $\mathbb{K}$ -espace vectoriel

Proposition—Structure de

\mathbb{K}

-espace vectoriel de

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

est un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

1.3. Produit matriciel

Définition—Produit matriciel

Soient

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

B = (b_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

. On définit le produit

AB

comme la matrice

C = (c_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq q}} \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

telle que :

\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, q \rrbracket, \quad c_{i,j} = \sum_{k=1}^{p} a_{i,k} b_{k,j}

1.4. Transposition

Définition—Transposée

Soit

A = (a_{i,j})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})

. On appelle transposée de $A$ la matrice

(a_{j,i})_{\substack{1 \leq i \leq p \\ 1 \leq j \leq n}} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})

, notée

A^\top

1.5. Matrices définies par blocs

Encadré—Matrices définies par blocs

Soient

A \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

C \in \mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})

D \in \mathcal{M}_{p,r}(\mathbb{K})

. On peut définir une matrice

M \in \mathcal{M}_{n+p,q+r}(\mathbb{K})

à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :

M = \begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix}

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1. Matrices à coefficients dans K\mathbb{K}K

1.1. Définition

1.2. Structure de K\mathbb{K}K-espace vectoriel

1.3. Produit matriciel

1.4. Transposition

1.5. Matrices définies par blocs

1. Matrices à coefficients dans K\mathbb{K}K

1.1. Définition

1.2. Structure de K\mathbb{K}K-espace vectoriel

1.3. Produit matriciel

1.4. Transposition

1.5. Matrices définies par blocs

1. Matrices à coefficients dans $\mathbb{K}$

1.2. Structure de $\mathbb{K}$ -espace vectoriel

1. Matrices à coefficients dans $\mathbb{K}$

1.2. Structure de $\mathbb{K}$ -espace vectoriel