2Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice
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3L'anneau Mn(K)
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4Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires
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5Noyau, image et rang d'une matrice
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6Changements de bases, équivalence et similitude
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7Systèmes linéaires
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Méthodes24p.1/3
ClassiqueCalculer la puissance d'une matrice
Pour calculer une puissance d'une matrice A, on peut :
calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence;
écrire A sous la forme A=N+M, où N et M sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme;
trouver un polynôme P tel que P(A)=0, puis effectuer la division euclidienne de Xn par P : si Xn=P(X)Q(X)+R(X), alors An=R(A).
ClassiqueRang de matrices par blocs — opérations élémentaires
Soit A=1000−110000−10001−1. Calculer An pour tout n∈Z.
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Puissances
Calculer les puissances des matrices A, B, C et D suivantes :
100210321
(a0ba)
(cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ))
(12−14)
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An pour Jordan 3×3
Calculer An pour A=100110011 de deux manières différentes.
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Puissances d'une matrice 2×2
On considère la matrice A=(−13−24).
Calculer A2−3A+2I. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
Pour n≥2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2−3X+2.
En déduire l'expression de la matrice An.
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Avec polynôme annulateur
Soit A une matrice de Mp(R) telle queA3−A2−4A+4Ip=0p.Établir que, pour tout entier naturel n, An appartient à vect(Ip,A,A2) et exprimer An en fonction de Ip, A et A2.
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Un calcul de puissances
Soient a et b, deux nombres complexes. Calculer les puissances de la matriceM=a+b0a0b0a0a+b.
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Navale
Soient a∈R∗ et M=0a1a21a0a1a2a0. Calculer de deux façons Mn pour tout n∈N.
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A=I+B, B nilpotente : An
On considère la matrice A=100110111 et on pose B=A−I. Calculer Bn pour n∈N et en déduire l'expression de An.
