On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes ou matrice à coefficients dans K de taille n×p toute famille d'éléments de K indexée sur [[1,n]]×[[1,p]] i.e. toute famille d'éléments de K du type (ai,j)1≤i≤n1≤j≤p.
Remarque
Une matrice de taille n×p est généralement représentée sous forme d'un tableau à n lignes et p colonnes. L'élément ai,j est placé sur la i-ème ligne et sur la j-ème colonne.
Définition—Ensembles de matrices
On note Mn,p(K) l'ensemble des matrices à coefficients dans K de taille n×p.
Lorsque n=p, cet ensemble est plus simplement noté Mn(K). On parle alors de matrices carrées de taille n.
Lorsque p=1, on parle de matrices colonnes de taille n.
Lorsque n=1, on parle de matrices lignes de taille p.
Remarque
Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas n=p, p=1 et n=1.
1.2. Structure de K-espace vectoriel
Proposition—Structure de K-espace vectoriel de Mn,p(K)
Mn,p(K) est un K-espace vectoriel.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Le vecteur nul de Mn,p(K) est la matrice nulle i.e. le tableau à n lignes et p colonnes rempli de zéros.
Définition—Base canonique de Mn,p(K)
Pour (i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]], on note Ei,j la matrice de Mn,p(K) dont tous les coefficients sont nuls à l'exception de celui de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui vaut 1.
La famille (Ei,j)1≤i≤n1≤j≤p est une base de Mn,p(K) appelée base canonique de Mn,p(K).
La dimension de Mn,p(K) est donc np.
1.3. Produit matriciel
Définition—Produit matriciel
Soient A=(ai,j)1≤i≤n1≤j≤p∈Mn,p(K) et B=(bi,j)1≤i≤p1≤j≤q∈Mp,q(K). On définit le produit AB comme la matrice C=(ci,j)1≤i≤n1≤j≤q∈Mn,q(K) telle que :
∀(i,j)∈[[1,n]]×[[1,q]],ci,j=k=1∑pai,kbk,j
Attention
On ne multiplie que des matrices de taille compatible, c'est-à-dire que l'on multiplie une matrice à p colonnes par une matrice à p lignes.
Attention
Le produit matriciel n'est pas commutatif. En effet, si le produit AB est bien défini, le produit BA ne l'est généralement pas pour des raisons de non compatibilité de taille. Quand bien même il serait défini, on n'a généralement pas BA=AB.
Soit (Ei,j)1≤i,j≤n la base canonique de Mn(K). Montrer que pour tout (i,j,k,l)∈Mn(K)4, Ei,jEk,l=δj,kEi,l.
Correction bientôt disponible
1.4. Transposition
Définition—Transposée
Soit A=(ai,j)1≤i≤n1≤j≤p∈Mn,p(K). On appelle transposée de A la matrice (aj,i)1≤i≤p1≤j≤n∈Mp,n(K), notée A⊤.
Remarque
Concrètement, l'opération de transposition échange les lignes et les colonnes des matrices.
Remarque
La transposée d'une matrice carrée est une matrice carrée de même taille.
Remarque
Dans certains ouvrages, la transposée d'une matrice A est également notée tA.
Proposition—Propriétés de la transposition
• La transposition est linéaire :
∀(λ,μ)∈K2,∀(A,B)∈Mn,p(K)2,(λA+μB)⊤=λA⊤+μB⊤
• La transposition est involutive :
∀A∈Mn,p(K),(A⊤)⊤=A
• Transposée d'un produit :
∀(A,B)∈Mn,p(K)×Mp,q(K),(AB)⊤=B⊤A⊤
Démonstration bientôt disponible
1.5. Matrices définies par blocs
Encadré—Matrices définies par blocs
Soient A∈Mn,q(K), B∈Mp,q(K), C∈Mn,r(K) et D∈Mp,r(K). On peut définir une matrice M∈Mn+p,q+r(K) à l'aide de ces quatre matrices de la façon suivante :
M=(ABCD)
Encadré—Produit de matrices définies par blocs
Le produit de deux matrices définies par blocs s'effectue de la manière suivante :
(ABCD)(EFGH)=(AE+CFBE+DFAG+CHBG+DH)
Attention
Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible : • le nombre de colonnes de A et B doit être le nombre de lignes de E et G; • le nombre de colonnes de C et D doit être le nombre de lignes de F et H.
Remarque
La transposée de la matrice (ABCD) est la matrice (A⊤C⊤B⊤D⊤).
2Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice3L'anneau Mn(K)4Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires5Noyau, image et rang d'une matrice6Changements de bases, équivalence et similitude7Systèmes linéaires
MCCalculer la puissance d'une matrice
Pour calculer une puissance d'une matrice A, on peut :
calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence;
écrire A sous la forme A=N+M, où N et M sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme;
trouver un polynôme P tel que P(A)=0, puis effectuer la division euclidienne de Xn par P : si Xn=P(X)Q(X)+R(X), alors An=R(A).
RéflexeÉcrire la matrice d'une application linéaireMCDémontrer qu'une matrice est inversibleTunnelDéterminer la matrice d'une projectionRéflexeTrace du commutateurRéflexeRang 1 : décomposition colonne × ligneRéflexeProjecteur : rang = traceRéflexeTriangulaire avec 1 sur diagonale : $A = I + N$RéflexeMatrice $2 \\times 2$ : Cayley-Hamilton immédiatRéflexeReconnaître la matrice $J$ (tous coefficients = 1)
1 / 3
Exercices lies— 29
1Exercice 1
Pour A∈Mn(K), on note σ(A) la somme des termes de A. On pose J=1⋮1⋯⋯1⋮1. Vérifier J⋅A⋅J=σ(A)⋅J.
10Exercice 10
On considère la matrice A=100110111 et on pose B=A−I. Calculer Bn pour n∈N et en déduire l'expression de An.
11Exercice 11
Calculer An pour A=100110011 de deux manières différentes.
12Exercice 12
On considère la matrice A=(−13−24).
13Exercice 13
Soit A=(acbd)∈M2(K). Observer que A2−(a+d)A+(ad−bc)I=0. À quelle condition A est-elle inversible ? Déterminer alors A−1.
14Exercice 14
Soit A=(1−δi,j)∈Mn(R).
15Exercice 15
Montrer que la matrice A=0111101111011110 est inversible et calculer son inverse.
17Exercice 17
Soit E l'ensemble des matrices de M2(K) de la forme A=(a+b−bba−b) avec (a,b)∈K2.
24Exercice 24
Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans la base $e$ est $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
On pose $e'_1 = e_1 + e_3$, $e'_2 = e_1 + e_2$, $e'_3 = e_1 + e_2 + e_3$.
25Exercice 25
Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ est $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
On pose $\varepsilon_1 = e_1 + e_3$, $\varepsilon_2 = e_1 + e_2$, $\varepsilon_3 = e_1 + e_2 + e_3$.
33Exercice 33
Soit $A$ une matrice carrée de rang $1$. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $A^2 = \lambda A$.
34Exercice 34
Soit $H \in M_n(\mathbb{C})$ une matrice de rang $1$.
39Exercice 39
Soit $A, B \in M_n(\mathbb{K})$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & A \\ A & B \end{pmatrix}$.
40Exercice 40
Existe-t-il des matrices $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ vérifiant $AB - BA = I_n$ ?
41Exercice 41
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$.
Montrer $f^2 = \operatorname{tr}(f)f$.
À quelle condition un endomorphisme de rang $1$ est-il un projecteur ?
43Exercice 43
Soient $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $H$ une partie non vide et finie de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ stable par multiplication. On pose $q = |H|$ et $P = \frac{1}{q}\sum_{M \in H} M$.
44Exercice 44
Sous-groupes finis de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ et trace.
46Exercice 46
Soit $f$ un endomorphisme non nul de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $f^3 + f = 0$.
47Exercice 47
Soit $\omega$ une racine primitive $n$-ième de $1$. On pose $F_\omega(P) = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n-1} P(\omega^k)X^k$ pour tout $P \in \mathbb{C}_{n-1}[X]$.
Montrer que $F_\omega$ est un automorphisme et exprimer son inverse.
48Exercice 48
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n \geq 2$. Étude des endomorphismes dont la représentation matricielle est invariante par changement de base.
49Exercice 49
Soit $f$ un élément non nul de $\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ vérifiant $f^3 + f = 0$.
Montrer que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f$ et trouver une base dans laquelle $f$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.
50Exercice 50
Soient $u, v : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définies par $u(P) = P(X+1)$ et $v(P) = P(X-1)$.
51Exercice 51
Quels sont les $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ tels que $f(\mathbb{Z}^n) = \mathbb{Z}^n$ ?
52Exercice 52
À quelle condition existe-t-il des matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(AB - BA)^2 = I_n$ ?
53Exercice 53
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale (incluse) valent $1$.
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n > 1$.
Montrer que $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.
Montrer que $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de $\mathcal{L}(E)$ constituée de projecteurs.
57Exercice 57
Soient $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $H$ une partie non vide et finie de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{K})$ stable par multiplication. Soient $q = |H|$ et $P = \dfrac{1}{q}\sum_{M \in H} M$.
58Exercice 58
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$.
Cours
1Matrices à coefficients dans K
2Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice
3L'anneau Mn(K)
4Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires
5Noyau, image et rang d'une matrice
6Changements de bases, équivalence et similitude
7Systèmes linéaires
Méthodes21p.1/3
MCCalculer la puissance d'une matrice
Pour calculer une puissance d'une matrice A, on peut :
calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence;
écrire A sous la forme A=N+M, où N et M sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme;
trouver un polynôme P tel que P(A)=0, puis effectuer la division euclidienne de Xn par P : si Xn=P(X)Q(X)+R(X), alors An=R(A).
RéflexeÉcrire la matrice d'une application linéaire
