Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction dérivable sur I dont la dérivée vaut f.
Exemple
Une primitive de tan sur ]−2π,2π[ est t↦−ln(cost).
Remarque
Une primitive est toujours dérivable donc continue.
Proposition—Linéarité
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et F et G deux primitives respectivement de f et g sur I. Soit (λ,μ)∈R2. Alors λF+μG est une primitive de λf+μg.
Application
Soit f une fonction continue sur R de primitive F sur R. Soient a∈R et λ∈R∗. Déterminer à l'aide de F une primitive de x↦f(x+a) et de x↦f(λx).
Proposition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F+C où C est une constante.
Attention
Il est important de considérer une fonction continue sur un intervalle. Les fonctions f1:{R∗→Rx↦ln∣x∣ et f2:⎩⎨⎧R∗→Rx↦{ln∣x∣−1ln∣x∣+1si x<0si x>0 admettent toutes deux pour dérivée la fonction inverse mais elles ne diffèrent pas d'une constante (f2−f1=−1 sur R−∗ et f2−f1=1 sur R+∗). En effet, R∗ n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles (d'où les deux constantes différentes).
Application
Déterminer des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x) par passage en complexes.
Théorème—Théorème fondamental de l'analyse
Soient f une fonction continue sur I et a∈I. Alors F:x↦∫axf(t)dt est dérivable sur I et F′=f. \nAutrement dit, F est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a.
Attention
Il ressort des deux résultats précédents qu'une fonction continue sur un intervalle admet toujours une infinité de primitives sur cet intervalle. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases du type «Soit F la primitive de f» mais plutôt «Soit F une primitive de f».
Corollaire—Calcul d'intégrale
Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Pour (a,b)∈I2
∫abf(t)dt=F(b)−F(a) \nLa quantité F(b)−F(a) se note souvent [F(t)]t=at=b.
Remarque
On a en particulier ∫abCdt=C(b−a).
Application—Banal
Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction ψ définie par
x⟼∫e−xex1+ln2(t)dt
Application
Soit f une fonction continue sur R. Déterminer x→0limx1∫0xf(t)dt.
Application
Montrer que si f est une fonction continue et T-périodique sur R, alors pour tout a∈R
∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt
1.2. Primitives usuelles
Remarque
La connaissance des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.
Encadré—Primitives usuelles
• Soit α∈R∖Z. Une primitive de x↦xα sur R+∗ est x↦α+1xα+1.
• Soit n∈N. Une primitive de x↦xn sur R est x↦n+1xn+1.
• Soit n∈Z−∖{−1}. Une primitive de x↦xn sur R+∗ et sur R−∗ est x↦n+1xn+1.
• Une primitive de x↦x1 sur R+∗ est x↦lnx et une primitive de x1 sur R−∗ est x↦ln(−x).
• Soit a∈C∗. Une primitive de x↦eax sur R est x↦aeax.
• Une primitive de x↦lnx sur R+∗ est x↦xlnx−x.
• Une primitive de x↦sinx sur R est x↦−cosx.
• Une primitive de x↦cosx sur R est x↦sinx.
• Soit k∈Z. Une primitive de x↦tanx sur ]−2π+kπ,2π+kπ[ est x↦−ln∣cosx∣.
• Une primitive de x↦1−x21 sur ]−1,1[ est x↦arcsinx.
• Une primitive de x↦−1−x21 sur ]−1,1[ est x↦arccosx.
• Une primitive de x↦1+x21 sur ]−1,1[ est x↦arctanx.
Soient F et G deux primitives de f et g sur I, et (λ,μ)∈R2. Posons H=λF+μG. La fonction H est dérivable sur I comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, et pour tout x∈I :
H′(x)=λF′(x)+μG′(x)=λf(x)+μg(x) \nDonc H est une primitive de λf+μg sur I.
Correction
Soit x∈R. On cherche une primitive de x↦f(x+a) et de x↦f(λx) à l'aide de F.
Primitive de x↦f(x+a). Posons G(x)=F(x+a). La fonction G est dérivable sur R comme composée de F (dérivable) et de x↦x+a (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :
G′(x)=F′(x+a)⋅1=f(x+a)
Donc G:x↦F(x+a) est une primitive de x↦f(x+a) sur R.
Primitive de x↦f(λx). Posons H(x)=λ1F(λx). La fonction H est dérivable sur R comme composée de F (dérivable) et de x↦λx (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :
H′(x)=λ1⋅F′(λx)⋅λ=F′(λx)=f(λx)
Donc H:x↦λ1F(λx) est une primitive de x↦f(λx) sur R.
x↦F(x+a) est une primitive de x↦f(x+a),x↦λ1F(λx) est une primitive de x↦f(λx)
Démonstration
Soit F une primitive de f sur I et G une autre primitive de f sur I. Posons φ=G−F. Alors pour tout x∈I :
φ′(x)=G′(x)−F′(x)=f(x)−f(x)=0 \nDonc φ est dérivable sur I et de dérivée nulle. Or I est un intervalle, donc une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante (résultat du théorème des accroissements finis). Il existe donc C∈R tel que φ(x)=C pour tout x∈I, c'est-à-dire G=F+C. \nRéciproquement, si C∈R, alors (F+C)′=F′=f, donc F+C est bien une primitive de f sur I.
Correction
On souhaite calculer des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x) par passage aux complexes.
Posons α=1+2i∈C∗. On observe que :
eαx=e(1+2i)x=exe2ix=ex(cos(2x)+isin(2x))
Donc excos(2x)=Re(eαx) et exsin(2x)=Im(eαx).
D'après le tableau des primitives usuelles (encadré de la section 1.2), une primitive de x↦eαx sur R est x↦αeαx. Calculons α1 :
La Proposition 1.1 (linéarité) assure que la partie réelle et la partie imaginaire d'une primitive de x↦eαx sont respectivement des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x). Ainsi :
- Une primitive de x↦excos(2x) est x↦5ex(cos(2x)+2sin(2x)). - Une primitive de x↦exsin(2x) est x↦5ex(sin(2x)−2cos(2x)).
Démonstration
Soit x∈I. Pour h=0 assez petit pour que x+h∈I, on écrit par la relation de Chasles (admise pour l'intégrale) :
hF(x+h)−F(x)=h1∫xx+hf(t)dt \nPuisque f est continue en x, pour tout ε>0, il existe δ>0 tel que ∣t−x∣<δ⇒∣f(t)−f(x)∣<ε. Pour ∣h∣<δ, tous les t entre x et x+h vérifient ∣t−x∣≤∣h∣<δ, donc ∣f(t)−f(x)∣<ε. On en déduit :
hF(x+h)−F(x)−f(x)=h1∫xx+h(f(t)−f(x))dt≤∣h∣∣h∣ε=ε \nOù l'on a utilisé l'inégalité ∫xx+h(f(t)−f(x))dt≤∣h∣⋅ε (majoration par la longueur de l'intervalle fois le maximum de ∣f(t)−f(x)∣). Cela prouve que F est dérivable en x et que F′(x)=f(x). \nDonc F′=f sur I, ce qui signifie que F est une primitive de f sur I. \nL'unicité découle du fait que F est l'unique primitive de f s'annulant en a : si G est une primitive de f s'annulant en a, alors par la Proposition 1.2, G=F+C avec G(a)=F(a)+C=0+C=C=0.
Démonstration
D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction G:x↦∫axf(t)dt est une primitive de f sur I, s'annulant en a. \nPar la Proposition 1.2, toute primitive de f sur I est de la forme G+C pour une certaine constante C∈R. En particulier, si F est une primitive de f sur I, il existe C∈R tel que F=G+C. \nOn évalue en a : F(a)=G(a)+C=0+C, donc C=F(a). Ainsi F(x)=G(x)+F(a) pour tout x∈I, et en particulier :
∫abf(t)dt=G(b)=F(b)−F(a)
Correction
Soit ψ:x↦∫e−xex1+ln2(t)dt.
Dérivabilité. La fonction g:t↦1+ln2(t) est continue sur R+∗ (car ln est continue sur R+∗ et t↦1+t2 est continue sur R). D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction G:x↦∫1xg(t)dt est dérivable sur R+∗ et G′=g.
On peut écrire ψ(x)=G(ex)−G(e−x). Les fonctions x↦ex et x↦e−x sont dérivables sur R et à valeurs dans R+∗, donc les composées x↦G(ex) et x↦G(e−x) sont dérivables sur R par la règle de dérivation des fonctions composées. Ainsi ψ est dérivable sur R.
Calcul de la dérivée. Par la règle de dérivation des fonctions composées et la linéarité de la dérivation :
ψ′(x)=G′(ex)⋅ex−G′(e−x)⋅(−e−x)
=g(ex)⋅ex+g(e−x)⋅e−x
=ex1+ln2(ex)+e−x1+ln2(e−x)
Or ln(ex)=x et ln(e−x)=−x, donc ln2(ex)=ln2(e−x)=x2. On obtient :
ψ′(x)=ex1+x2+e−x1+x2=(ex+e−x)1+x2
ψ′(x)=2cosh(x)1+x2
Correction
Soit f une fonction continue sur R. On cherche x→0limx1∫0xf(t)dt.
D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction F:x↦∫0xf(t)dt est dérivable sur R et F′=f. En particulier, F(0)=∫00f(t)dt=0.
On reconnaît alors le taux d'accroissement de F en 0 :
x1∫0xf(t)dt=x−0F(x)−F(0)
Par définition de la dérivée, cette quantité tend vers F′(0) quand x→0. Or F′(0)=f(0).
Donc :
x→0limx1∫0xf(t)dt=f(0)
Correction
Soit f une fonction continue et T-périodique sur R. Montrons que pour tout a∈R, ∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt.
Soit F une primitive de f sur R, qui existe d'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1). D'après le Corollaire 1.1 :
∫aa+Tf(t)dt=F(a+T)−F(a)
Définissons la fonction G:a↦F(a+T)−F(a). Cette fonction est dérivable sur R (comme différence de composées de fonctions dérivables) et :
G′(a)=F′(a+T)−F′(a)=f(a+T)−f(a)=0
car f est T-périodique. Donc G est constante sur R (une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante). En particulier, G(a)=G(0) pour tout a∈R, c'est-à-dire :
F(a+T)−F(a)=F(T)−F(0)=∫0Tf(t)dt
On conclut que pour tout a∈R :
∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt
Remarques
Une primitive de x↦−1−x21 sur ]−1,1[ est également x↦−arcsinx. En effet, les fonctions arccos et −arcsin diffèrent d'une constante, à savoir arccos=2π−arcsin.
x↦ln∣x∣ est une primitive de x1 aussi bien sur R+∗ que sur R−∗. \nDans le même ordre d'idée, si u est une fonction de classe C1 ne s'annulant pas sur un intervalle I, une primitive de uu′ sur I est x↦ln∣u(x)∣.
Méthode—Calcul d'une primitive de x↦eaxcos(bx) et de x↦eaxsin(bx)
Pour calculer une primitive de x↦eaxcos(bx) ou x↦eaxsin(bx), on utilise le fait que ces fonctions sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de x↦eαx avec α=a+ib. \nUne primitive de x↦eαx est x↦αeαx. La partie réelle et la partie imaginaire de x↦αeαx sont donc respectivement des primitives de x↦eaxcos(bx) et de x↦eaxsin(bx).
Remarque
Soit a∈R∗. Une primitive de x↦x2+a21 est x↦a1arctanax. \nSoit a∈R+∗. Une primitive de x↦a2−x21 est x↦arcsinax.