Primitives et intégrales

Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ sur $I$, et $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. Posons $H = \lambda F + \mu G$. La fonction $H$ est dérivable sur $I$ comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, et pour tout $x \in I$ :

$$H'(x) = \lambda F'(x) + \mu G'(x) = \lambda f(x) + \mu g(x)$$
\nDonc $H$ est une primitive de $\lambda f + \mu g$ sur $I$.

Soit $x \in \mathbb{R}$. On cherche une primitive de $x \mapsto f(x + a)$ et de $x \mapsto f(\lambda x)$ à l'aide de $F$.

Primitive de $x \mapsto f(x + a)$. Posons $G(x) = F(x + a)$. La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de $F$ (dérivable) et de $x \mapsto x + a$ (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :

$$G'(x) = F'(x + a) \cdot 1 = f(x + a)$$

Donc $G : x \mapsto F(x + a)$ est une primitive de $x \mapsto f(x + a)$ sur $\mathbb{R}$.

Primitive de $x \mapsto f(\lambda x)$. Posons $H(x) = \dfrac{1}{\lambda} F(\lambda x)$. La fonction $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de $F$ (dérivable) et de $x \mapsto \lambda x$ (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :

$$H'(x) = \dfrac{1}{\lambda} \cdot F'(\lambda x) \cdot \lambda = F'(\lambda x) = f(\lambda x)$$

Donc $H : x \mapsto \dfrac{1}{\lambda} F(\lambda x)$ est une primitive de $x \mapsto f(\lambda x)$ sur $\mathbb{R}$.

$$\boxed{x \mapsto F(x+a) \text{ est une primitive de } x \mapsto f(x+a), \quad x \mapsto \dfrac{1}{\lambda}F(\lambda x) \text{ est une primitive de } x \mapsto f(\lambda x)}$$

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$. Posons $\varphi = G - F$. Alors pour tout $x \in I$ :

$$\varphi'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$
\nDonc $\varphi$ est dérivable sur $I$ et de dérivée nulle. Or $I$ est un intervalle, donc une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante (résultat du théorème des accroissements finis). Il existe donc $C \in \mathbb{R}$ tel que $\varphi(x) = C$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire $G = F + C$.
\nRéciproquement, si $C \in \mathbb{R}$, alors $(F + C)' = F' = f$, donc $F + C$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.

On souhaite calculer des primitives de $x \mapsto e^x \cos(2x)$ et $x \mapsto e^x \sin(2x)$ par passage aux complexes.

Posons $\alpha = 1 + 2i \in \mathbb{C}^*$. On observe que :

$$e^{\alpha x} = e^{(1+2i)x} = e^x e^{2ix} = e^x (\cos(2x) + i\sin(2x))$$

Donc $e^x \cos(2x) = \operatorname{Re}(e^{\alpha x})$ et $e^x \sin(2x) = \operatorname{Im}(e^{\alpha x})$.

D'après le tableau des primitives usuelles (encadré de la section 1.2), une primitive de $x \mapsto e^{\alpha x}$ sur $\mathbb{R}$ est $x \mapsto \dfrac{e^{\alpha x}}{\alpha}$. Calculons $\dfrac{1}{\alpha}$ :

$$\dfrac{1}{\alpha} = \dfrac{1}{1+2i} = \dfrac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)} = \dfrac{1-2i}{5} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$$

Donc :

$$\dfrac{e^{\alpha x}}{\alpha} = \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i\right) e^x(\cos(2x) + i\sin(2x))$$

$$= e^x \left(\dfrac{\cos(2x)}{5} + \dfrac{2\sin(2x)}{5}\right) + i\, e^x \left(\dfrac{\sin(2x)}{5} - \dfrac{2\cos(2x)}{5}\right)$$

La Proposition 1.1 (linéarité) assure que la partie réelle et la partie imaginaire d'une primitive de $x \mapsto e^{\alpha x}$ sont respectivement des primitives de $x \mapsto e^x \cos(2x)$ et $x \mapsto e^x \sin(2x)$. Ainsi :

- Une primitive de $x \mapsto e^x \cos(2x)$ est $x \mapsto \dfrac{e^x}{5}(\cos(2x) + 2\sin(2x))$.
- Une primitive de $x \mapsto e^x \sin(2x)$ est $x \mapsto \dfrac{e^x}{5}(\sin(2x) - 2\cos(2x))$.

Soit $x \in I$. Pour $h \neq 0$ assez petit pour que $x + h \in I$, on écrit par la relation de Chasles (admise pour l'intégrale) :

$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt$$
\nPuisque $f$ est continue en $x$, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|t - x| < \delta \Rightarrow |f(t) - f(x)| < \varepsilon$. Pour $|h| < \delta$, tous les $t$ entre $x$ et $x+h$ vérifient $|t - x| \leq |h| < \delta$, donc $|f(t) - f(x)| < \varepsilon$. On en déduit :

$$\left|\frac{F(x+h) - F(x)}{h} - f(x)\right| = \left|\frac{1}{h} \int_x^{x+h} (f(t) - f(x))\, dt\right| \leq \frac{|h|}{|h|} \varepsilon = \varepsilon$$
\nOù l'on a utilisé l'inégalité $\left|\int_x^{x+h} (f(t)-f(x))\, dt\right| \leq |h| \cdot \varepsilon$ (majoration par la longueur de l'intervalle fois le maximum de $|f(t)-f(x)|$). Cela prouve que $F$ est dérivable en $x$ et que $F'(x) = f(x)$.
\nDonc $F'= f$ sur $I$, ce qui signifie que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\nL'unicité découle du fait que $F$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$ : si $G$ est une primitive de $f$ s'annulant en $a$, alors par la Proposition 1.2, $G = F + C$ avec $G(a) = F(a) + C = 0 + C = C = 0$.

D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $G : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ est une primitive de $f$ sur $I$, s'annulant en $a$.
\nPar la Proposition 1.2, toute primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $G + C$ pour une certaine constante $C \in \mathbb{R}$. En particulier, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que $F = G + C$.
\nOn évalue en $a$ : $F(a) = G(a) + C = 0 + C$, donc $C = F(a)$. Ainsi $F(x) = G(x) + F(a)$ pour tout $x \in I$, et en particulier :

$$\int_a^b f(t)\, dt = G(b) = F(b) - F(a)$$

Soit $\psi : x \mapsto \displaystyle\int_{e^{-x}}^{e^x} \sqrt{1 + \ln^2(t)}\, dt$.

Dérivabilité. La fonction $g : t \mapsto \sqrt{1 + \ln^2(t)}$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$ (car $\ln$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$ et $t \mapsto \sqrt{1 + t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$). D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $G : x \mapsto \displaystyle\int_1^x g(t)\, dt$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $G' = g$.

On peut écrire $\psi(x) = G(e^x) - G(e^{-x})$. Les fonctions $x \mapsto e^x$ et $x \mapsto e^{-x}$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$, donc les composées $x \mapsto G(e^x)$ et $x \mapsto G(e^{-x})$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ par la règle de dérivation des fonctions composées. Ainsi $\psi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Calcul de la dérivée. Par la règle de dérivation des fonctions composées et la linéarité de la dérivation :

$$\psi'(x) = G'(e^x) \cdot e^x - G'(e^{-x}) \cdot (-e^{-x})$$

$$= g(e^x) \cdot e^x + g(e^{-x}) \cdot e^{-x}$$

$$= e^x \sqrt{1 + \ln^2(e^x)} + e^{-x} \sqrt{1 + \ln^2(e^{-x})}$$

Or $\ln(e^x) = x$ et $\ln(e^{-x}) = -x$, donc $\ln^2(e^x) = \ln^2(e^{-x}) = x^2$. On obtient :

$$\psi'(x) = e^x \sqrt{1 + x^2} + e^{-x} \sqrt{1 + x^2} = (e^x + e^{-x})\sqrt{1 + x^2}$$

$$\boxed{\psi'(x) = 2\cosh(x)\sqrt{1 + x^2}}$$

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. On cherche $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t)\, dt$.

D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $F : x \mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\, dt$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F' = f$. En particulier, $F(0) = \displaystyle\int_0^0 f(t)\, dt = 0$.

On reconnaît alors le taux d'accroissement de $F$ en $0$ :

$$\dfrac{1}{x} \int_0^x f(t)\, dt = \dfrac{F(x) - F(0)}{x - 0}$$

Par définition de la dérivée, cette quantité tend vers $F'(0)$ quand $x \to 0$. Or $F'(0) = f(0)$.

Donc :

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t)\, dt = f(0)$$

Soit $f$ une fonction continue et $T$-périodique sur $\mathbb{R}$. Montrons que pour tout $a \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\int_a^{a+T} f(t)\, dt = \int_0^T f(t)\, dt$.

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, qui existe d'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1). D'après le Corollaire 1.1 :

$$\int_a^{a+T} f(t)\, dt = F(a+T) - F(a)$$

Définissons la fonction $G : a \mapsto F(a + T) - F(a)$. Cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ (comme différence de composées de fonctions dérivables) et :

$$G'(a) = F'(a + T) - F'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$$

car $f$ est $T$-périodique. Donc $G$ est constante sur $\mathbb{R}$ (une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante). En particulier, $G(a) = G(0)$ pour tout $a \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire :

$$F(a + T) - F(a) = F(T) - F(0) = \int_0^T f(t)\, dt$$

On conclut que pour tout $a \in \mathbb{R}$ :

$$\int_a^{a+T} f(t)\, dt = \int_0^T f(t)\, dt$$