The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Primitives

1.1. Définition

Définition—Primitive

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur

I

dont la dérivée vaut

f

Exemple

Une primitive de

\tan

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[

est

t \mapsto -\ln(\cos t)

Remarque

Une primitive est toujours dérivable donc continue.

Proposition—Linéarité

Soient

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

F

G

deux primitives respectivement de

f

g

sur

I

. Soit

(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2

. Alors

\lambda F + \mu G

est une primitive de

\lambda f + \mu g

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

de primitive

F

sur

\mathbb{R}

. Soient

a \in \mathbb{R}

\lambda \in \mathbb{R}^*

. Déterminer à l'aide de

F

une primitive de

x \mapsto f(x + a)

et de

x \mapsto f(\lambda x)

Proposition

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. Si

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors les primitives de

f

sont les fonctions de la forme

F + C

où

C

est une constante.

Attention

Il est important de considérer une fonction continue sur un intervalle. Les fonctions

f_1 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \ln |x| \end{cases}

f_2 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \begin{cases} \ln |x| - 1 & \text{si } x < 0 \\ \ln |x| + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \end{cases}

admettent toutes deux pour dérivée la fonction inverse mais elles ne diffèrent pas d'une constante (

f_2 - f_1 = -1

sur

\mathbb{R}_-^*

f_2 - f_1 = 1

sur

\mathbb{R}_+^*

). En effet,

\mathbb{R}^*

n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles (d'où les deux constantes différentes).

Application

Déterminer des primitives de

x \mapsto e^x \cos(2x)

x \mapsto e^x \sin(2x)

par passage en complexes.

Théorème—Théorème fondamental de l'analyse

Soient

f

une fonction continue sur

I

a \in I

. Alors

F : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t) dt

est dérivable sur

I

F' = f

.
\nAutrement dit,

F

est l'unique primitive de

f

sur

I

s'annulant en

a

Attention

Il ressort des deux résultats précédents qu'une fonction continue sur un intervalle admet toujours une infinité de primitives sur cet intervalle. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases du type «Soit

F

la primitive de

f

» mais plutôt «Soit

F

une primitive de

f

».

Corollaire—Calcul d'intégrale

Soit

f

une fonction continue sur

I

F

une primitive de

f

sur

I

. Pour

(a, b) \in I^2

\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)

\nLa quantité

F(b) - F(a)

se note souvent

[F(t)]_{t=a}^{t=b}

Remarque

On a en particulier

\displaystyle\int_a^b C \, dt = C(b - a)

Application—Banal

Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction

\psi

définie par

x \longmapsto \int_{e^{-x}}^{e^x} \sqrt{1 + \ln^2(t)} dt

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

. Déterminer

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt

Application

Montrer que si

f

est une fonction continue et

T

-périodique sur

\mathbb{R}

, alors pour tout

a \in \mathbb{R}

\int_a^{a+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt

1.2. Primitives usuelles

Remarque

La connaissance des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.

Encadré—Primitives usuelles

• Soit

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto x^\alpha

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{N}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{Z}^- \setminus \{-1\}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}_+^*

et sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \ln x

et une primitive de

\dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \ln(-x)

.

• Soit

a \in \mathbb{C}^*

. Une primitive de

x \mapsto e^{ax}

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{e^{ax}}{a}

.

• Une primitive de

x \mapsto \ln x

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto x \ln x - x

.

• Une primitive de

x \mapsto \sin x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto -\cos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \cos x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \sin x

.

• Soit

k \in \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto \tan x

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[

est

x \mapsto -\ln |\cos x|

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arcsin x

.

• Une primitive de

x \mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arccos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arctan x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{sh } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{ch } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{ch } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{sh } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{th } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \ln(\text{ch } x)

1. Primitives

1.1. Définition

Définition—Primitive

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur

I

dont la dérivée vaut

f

Exemple

Une primitive de

\tan

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[

est

t \mapsto -\ln(\cos t)

Remarque

Une primitive est toujours dérivable donc continue.

Proposition—Linéarité

Soient

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

F

G

deux primitives respectivement de

f

g

sur

I

. Soit

(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2

. Alors

\lambda F + \mu G

est une primitive de

\lambda f + \mu g

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

de primitive

F

sur

\mathbb{R}

. Soient

a \in \mathbb{R}

\lambda \in \mathbb{R}^*

. Déterminer à l'aide de

F

une primitive de

x \mapsto f(x + a)

et de

x \mapsto f(\lambda x)

Proposition

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. Si

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors les primitives de

f

sont les fonctions de la forme

F + C

où

C

est une constante.

Attention

Il est important de considérer une fonction continue sur un intervalle. Les fonctions

f_1 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \ln |x| \end{cases}

f_2 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \begin{cases} \ln |x| - 1 & \text{si } x < 0 \\ \ln |x| + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \end{cases}

admettent toutes deux pour dérivée la fonction inverse mais elles ne diffèrent pas d'une constante (

f_2 - f_1 = -1

sur

\mathbb{R}_-^*

f_2 - f_1 = 1

sur

\mathbb{R}_+^*

). En effet,

\mathbb{R}^*

n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles (d'où les deux constantes différentes).

Application

Déterminer des primitives de

x \mapsto e^x \cos(2x)

x \mapsto e^x \sin(2x)

par passage en complexes.

Théorème—Théorème fondamental de l'analyse

Soient

f

une fonction continue sur

I

a \in I

. Alors

F : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t) dt

est dérivable sur

I

F' = f

.
\nAutrement dit,

F

est l'unique primitive de

f

sur

I

s'annulant en

a

Attention

F

la primitive de

f

» mais plutôt «Soit

F

une primitive de

f

».

Corollaire—Calcul d'intégrale

Soit

f

une fonction continue sur

I

F

une primitive de

f

sur

I

. Pour

(a, b) \in I^2

\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)

\nLa quantité

F(b) - F(a)

se note souvent

[F(t)]_{t=a}^{t=b}

Remarque

On a en particulier

\displaystyle\int_a^b C \, dt = C(b - a)

Application—Banal

Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction

\psi

définie par

x \longmapsto \int_{e^{-x}}^{e^x} \sqrt{1 + \ln^2(t)} dt

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

. Déterminer

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt

Application

Montrer que si

f

est une fonction continue et

T

-périodique sur

\mathbb{R}

, alors pour tout

a \in \mathbb{R}

\int_a^{a+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt

1.2. Primitives usuelles

Remarque

La connaissance des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.

Encadré—Primitives usuelles

• Soit

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto x^\alpha

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{N}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{Z}^- \setminus \{-1\}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}_+^*

et sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \ln x

et une primitive de

\dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \ln(-x)

.

• Soit

a \in \mathbb{C}^*

. Une primitive de

x \mapsto e^{ax}

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{e^{ax}}{a}

.

• Une primitive de

x \mapsto \ln x

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto x \ln x - x

.

• Une primitive de

x \mapsto \sin x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto -\cos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \cos x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \sin x

.

• Soit

k \in \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto \tan x

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[

est

x \mapsto -\ln |\cos x|

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arcsin x

.

• Une primitive de

x \mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arccos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arctan x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{sh } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{ch } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{ch } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{sh } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{th } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \ln(\text{ch } x)

Primitives et intégrales

1. Primitives

1.1. Définition

1.2. Primitives usuelles

1. Primitives

1.1. Définition

1.2. Primitives usuelles