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Primitives et intégrales | The Maths Tailor

Primitives et intégrales

Cours complet →

Cours— 3 sections

1Primitives

1. Primitives

1.1. Définition

Définition —Primitive

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction dérivable sur

I

dont la dérivée vaut

f

Exemple

Une primitive de

\tan

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[

est

t \mapsto -\ln(\cos t)

Remarque

Une primitive est toujours dérivable donc continue.

Proposition —Linéarité

Soient

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

F

G

deux primitives respectivement de

f

g

sur

I

. Soit

(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2

. Alors

\lambda F + \mu G

est une primitive de

\lambda f + \mu g

Démonstration bientôt disponible

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

de primitive

F

sur

\mathbb{R}

. Soient

a \in \mathbb{R}

\lambda \in \mathbb{R}^*

. Déterminer à l'aide de

F

une primitive de

x \mapsto f(x + a)

et de

x \mapsto f(\lambda x)

Correction bientôt disponible

Proposition

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

I

. Si

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors les primitives de

f

sont les fonctions de la forme

F + C

où

C

est une constante.

Démonstration bientôt disponible

Attention

Il est important de considérer une fonction continue sur un intervalle. Les fonctions

f_1 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \ln |x| \end{cases}

f_2 : \begin{cases} \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \begin{cases} \ln |x| - 1 & \text{si } x < 0 \\ \ln |x| + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \end{cases}

admettent toutes deux pour dérivée la fonction inverse mais elles ne diffèrent pas d'une constante (

f_2 - f_1 = -1

sur

\mathbb{R}_-^*

f_2 - f_1 = 1

sur

\mathbb{R}_+^*

). En effet,

\mathbb{R}^*

n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles (d'où les deux constantes différentes).

Application

Déterminer des primitives de

x \mapsto e^x \cos(2x)

x \mapsto e^x \sin(2x)

par passage en complexes.

Correction bientôt disponible

Théorème —Théorème fondamental de l'analyse

Soient

f

une fonction continue sur

I

a \in I

. Alors

F : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t) dt

est dérivable sur

I

F' = f

.
\nAutrement dit,

F

est l'unique primitive de

f

sur

I

s'annulant en

a

Démonstration bientôt disponible

Attention

Il ressort des deux résultats précédents qu'une fonction continue sur un intervalle admet toujours une infinité de primitives sur cet intervalle. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases du type «Soit

F

la primitive de

f

» mais plutôt «Soit

F

une primitive de

f

».

Corollaire —Calcul d'intégrale

Soit

f

une fonction continue sur

I

F

une primitive de

f

sur

I

. Pour

(a, b) \in I^2

\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)

\nLa quantité

F(b) - F(a)

se note souvent

[F(t)]_{t=a}^{t=b}

Démonstration bientôt disponible

Remarque

On a en particulier

\displaystyle\int_a^b C \, dt = C(b - a)

Application —Banal

Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction

\psi

définie par

x \longmapsto \int_{e^{-x}}^{e^x} \sqrt{1 + \ln^2(t)} dt

Correction bientôt disponible

Application

Soit

f

une fonction continue sur

\mathbb{R}

. Déterminer

\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \int_0^x f(t) dt

Correction bientôt disponible

Application

Montrer que si

f

est une fonction continue et

T

-périodique sur

\mathbb{R}

, alors pour tout

a \in \mathbb{R}

\int_a^{a+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt

Correction bientôt disponible

1.2. Primitives usuelles

Remarque

La connaissance des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.

Encadré —Primitives usuelles

• Soit

\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto x^\alpha

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{N}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Soit

n \in \mathbb{Z}^- \setminus \{-1\}

. Une primitive de

x \mapsto x^n

sur

\mathbb{R}_+^*

et sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto \ln x

et une primitive de

\dfrac{1}{x}

sur

\mathbb{R}_-^*

est

x \mapsto \ln(-x)

.

• Soit

a \in \mathbb{C}^*

. Une primitive de

x \mapsto e^{ax}

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \dfrac{e^{ax}}{a}

.

• Une primitive de

x \mapsto \ln x

sur

\mathbb{R}_+^*

est

x \mapsto x \ln x - x

.

• Une primitive de

x \mapsto \sin x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto -\cos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \cos x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \sin x

.

• Soit

k \in \mathbb{Z}

. Une primitive de

x \mapsto \tan x

sur

\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[

est

x \mapsto -\ln |\cos x|

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arcsin x

.

• Une primitive de

x \mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arccos x

.

• Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}

sur

]-1, 1[

est

x \mapsto \arctan x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{sh } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{ch } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{ch } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \text{sh } x

.

• Une primitive de

x \mapsto \text{th } x

sur

\mathbb{R}

est

x \mapsto \ln(\text{ch } x)

Remarque

Une primitive de

x \mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

sur

]-1, 1[

est également

x \mapsto -\arcsin x

. En effet, les fonctions

\arccos

-\arcsin

diffèrent d'une constante, à savoir

\arccos = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin

Remarque

x \mapsto \ln |x|

est une primitive de

\dfrac{1}{x}

aussi bien sur

\mathbb{R}_+^*

que sur

\mathbb{R}_-^*

.
\nDans le même ordre d'idée, si

u

est une fonction de classe

\mathcal{C}^1

ne s'annulant pas sur un intervalle

I

, une primitive de

\dfrac{u'}{u}

sur

I

est

x \mapsto \ln |u(x)|

Méthode —Calcul d'une primitive de

x \mapsto e^{ax} \cos(bx)

et de

x \mapsto e^{ax} \sin(bx)

Pour calculer une primitive de

x \mapsto e^{ax} \cos(bx)

x \mapsto e^{ax} \sin(bx)

, on utilise le fait que ces fonctions sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de

x \mapsto e^{\alpha x}

avec

\alpha = a + ib

.
\nUne primitive de

x \mapsto e^{\alpha x}

est

x \mapsto \dfrac{e^{\alpha x}}{\alpha}

. La partie réelle et la partie imaginaire de

x \mapsto \dfrac{e^{\alpha x}}{\alpha}

sont donc respectivement des primitives de

x \mapsto e^{ax} \cos(bx)

et de

x \mapsto e^{ax} \sin(bx)

Remarque

Soit

a \in \mathbb{R}^*

. Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + a^2}

est

x \mapsto \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}

.
\nSoit

a \in \mathbb{R}_+^*

. Une primitive de

x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}

est

x \mapsto \arcsin \dfrac{x}{a}

2Propriétés de l'intégrale

3Méthodes de calcul

TunnelApplications de la formule du changement de variables

Théorème : Soit

\varphi

une fonction de classe

\mathcal{C}^1

sur

I

. Alors si

f

est continue sur

\varphi(I)

, pour tous

a,b \in I

, on a

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \, dx = \int_a^b f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt.

Dans la pratique, on pose

x=\varphi(t)

dx=\varphi'(t) \, dt

.
Il faut penser à transformer :

les bornes de l'intégrale
l'expression de la fonction
l'élément différentiel $dt$ .

On peut utiliser la formule dans les deux sens, c'est-à-dire choisir une nouvelle variable fonction de l'ancienne, ou bien exprimer la variable initiale comme une fonction d'une nouvelle variable, dont on précisera l'intervalle de définition.

MCFonctions du type x↦P(x)·e^(ax)

RéflexeFonctions trigonométriques

Reconnaître les primitives usuelles

Primitive de fraction rationnelle

Décomposition en éléments simples

Changement de variable

Intégration par parties

Primitive trigonométrique

Utiliser le changement de variable $t = \tan(\frac{x}{2})$ pour une intégrale

Exercices lies— 23

1Exercice 1

Pour

p

q

entiers naturels, on pose :

I_{p,q} = \int_a^b (t - a)^p(b - t)^q \, dt.

(a) Former une relation de récurrence liant $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$ .
(b) Donner une expression de $I_{p,q}$ à l'aide de factoriels.

2Exercice 2

3Exercice 3

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

(a) $\dfrac{\cos x}{1+\cos^2 x}$
(b) $\dfrac{\sin x}{1+\sin^2 x}$
(c) $\dfrac{1}{\cos^4 x}$
(d) $\dfrac{1}{\cos^3 x}$

4Exercice 4

Déterminer une primitive sur

\mathbb{R}

de la fonction

x \mapsto \dfrac{1}{3 + \cos x}.

5Exercice 5

En exploitant le changement de variable

u = \tan t

, calculer pour tout

x \in \mathbb{R}

l'intégrale

\int_0^x \dfrac{dt}{3 + \cos^2 t}.

6Exercice 6

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

(a) $\dfrac{\tanh x}{1+\cosh x}$
(b) $\dfrac{\cosh x}{1+\cosh^2 x}$
(c) $\dfrac{\cosh x}{\sinh x+\cosh x}$
(d) $\dfrac{1}{\cosh^3 x}$

7Exercice 7

Calculer

\int_0^1 \dfrac{dx}{\cosh x}.

8Exercice 8

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

(a) $\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}$
(b) $\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$
(c) $\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$

9Exercice 9

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

(a) $\dfrac{x+1}{\sqrt{2-x^2}}$
(b) $\dfrac{x}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}$
(c) $\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$
(d) $\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$
(e) $\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$

10Exercice 10

Sur

]-1/2 ; +\infty[

, déterminer

\int \dfrac{dx}{(2x + 1)\sqrt{x^2 + x + 1}}.

11Exercice 11

Problème : autour du nombre e. Pour

n \in \mathbb{N}

on pose

I_n = \int_0^1 x^n e^{1-x} dx

u_n = n! e - I_n

.
(1) Soit

n \in \mathbb{N}^*

.
(a) Démontrer que

\frac{1}{n+1} \leq I_n \leq \frac{e}{n+1}

.
(b) En utilisant une intégration par parties, démontrer que

I_n = n I_{n-1} - 1

.
(c) En déduire une expression de

u_n

en fonction de

u_{n-1}

n

.
(2) En déduire que tous les termes de la suite

(u_n)_{n\in\mathbb{N}}

sont entiers.
(3) En déduire que, pour

n \in \mathbb{N}

n! e \notin \mathbb{Z}

.
(4) En déduire que

e

est irrationnel, c'est-à-dire que

e \notin \mathbb{Q}

.
(5) Démontrer que la somme

s_n = \frac{1}{0!} + \cdots + \frac{1}{n!}

est égale à

\frac{u_n}{n!}

.
(6) En déduire la valeur de

\lim_{n\to+\infty} s_n

12Exercice 12

Calculer les intégrales suivantes : a)

\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx

. b)

\int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sqrt{2+\cos t}} dt

13Exercice 13

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'intégrations par parties.
1.

\int_1^e \ln x \, dx

.
2.

\int_0^1 x \sin x \, dx

.
3.

\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin x \, dx

.
4.

\int_1^2 \cos(\ln t) \, dt

14Exercice 14

Soient

n \in \mathbb{N}

x \in \mathbb{R}

. On note

I_n(x) = \int_0^x e^{-t} t^n \, dt

.
1. Calculer

I_{n+1}(x)

en fonction de

I_n(x)

.
2. En déduire que

\lim_{x \to +\infty} I_n(x) = n!

15Exercice 15

Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :

f(x) = \frac{x}{1 + x^2}

g(x) = \frac{e^{3x}}{1 + e^{3x}}

h(x) = \frac{\ln x}{x}

k(x) = \cos(x) \sin^2(x)

l(x) = \frac{1}{x \ln x}

m(x) = 3x\sqrt{1 + x^2}

16Exercice 16

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :

1.

f(x) = (3x - 1)(3x^2 - 2x + 3)^3

I = \mathbb{R}

f(x) = \frac{1 - x^2}{(x^3 - 3x + 2)^3}

I = ]-\infty, -2[

f(x) = \frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}}

I = ]-\infty, 0[

f(x) = \frac{1}{x \ln(x^2)}

I = ]1, +\infty[

17Exercice 17

Donner une primitive des fonctions suivantes :

1.

x \mapsto \frac{1}{x^2 + 4}

x \mapsto \frac{1}{x^2 + 4x + 5}

x \mapsto \frac{1}{1 - x^2}

18Exercice 18

Déterminer une primitive de la fonction

\frac{1}{\cos^4 x}

sur l'intervalle

]-\pi/2, \pi/2[

19Exercice 19

Calculer les intégrales suivantes :

1.

\int_0^{\pi/4} \frac{\sin^3(t)}{1 + \cos^2 t} dt

\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x}

\int_0^{\pi/3} (1 + \cos(x)) \tan(x)dx

20Exercice 20

(1) Déterminer deux réels

\alpha

\beta

tels que, pour

t

réel distinct de 1 et 2, on ait

\frac{1}{t^2-3t+2} = \frac{\alpha}{t-1} + \frac{\beta}{t-2}

.
(2) En déduire, sur des intervalles à préciser, une primitive

F

de la fonction

f : t \mapsto \frac{1}{t^2-3t+2}

.
(3) Adapter aux fractions

g : t \mapsto \frac{t}{t^2-3t+2}

h : t \mapsto \frac{1}{t^2-5t+6}

21Exercice 21

Calculer une primitive des fonctions suivantes : a) $x \mapsto \sin x \cos x$. b) $x \mapsto xe^{-2x^2}$. c) $x \mapsto \frac{x}{x^2+1}$. d) $x \mapsto \frac{1}{x(\ln x)^3}$. e) $x \mapsto e^{x+e^x}$. f) $x \mapsto \frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}$.

22Exercice 22

Soit $x \in ]-\pi, \pi[\setminus\{0\}$. On pose $t = \tan(x/2)$. Démontrer les formules suivantes : $\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}$, $\tan(x) = \frac{2t}{1 - t^2}.$

23Exercice 23

Calculer la primitive de la fonction $ f(x) = \frac{1}{1 + \cos x} $, c'est-à-dire trouver une fonction $ F(x) $ telle que $ F'(x) = \frac{1}{1 + \cos x} $, en utilisant le changement de variable $ t = \tan \frac{x}{2} $.

Cours

1Primitives

2Propriétés de l'intégrale

3Méthodes de calcul

Méthodes10

TunnelApplications de la formule du changement de variables

Théorème : Soit

\varphi

une fonction de classe

\mathcal{C}^1

sur

I

. Alors si

f

est continue sur

\varphi(I)

, pour tous

a,b \in I

, on a

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \, dx = \int_a^b f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt.

Dans la pratique, on pose

x=\varphi(t)

dx=\varphi'(t) \, dt

.
Il faut penser à transformer :

les bornes de l'intégrale
l'expression de la fonction
l'élément différentiel $dt$ .

MCFonctions du type x↦P(x)·e^(ax)