Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction dérivable sur I dont la dérivée vaut f.
Exemple
Une primitive de tan sur ]−2π,2π[ est t↦−ln(cost).
Remarque
Une primitive est toujours dérivable donc continue.
Proposition—Linéarité
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et F et G deux primitives respectivement de f et g sur I. Soit (λ,μ)∈R2. Alors λF+μG est une primitive de λf+μg.
Démonstration
Soient F et G deux primitives de f et g sur I, et (λ,μ)∈R2. Posons H=λF+μG. La fonction H est dérivable sur I comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, et pour tout x∈I :
H′(x)=λF′(x)+μG′(x)=λf(x)+μg(x) \nDonc H est une primitive de λf+μg sur I.
Application
Soit f une fonction continue sur R de primitive F sur R. Soient a∈R et λ∈R∗. Déterminer à l'aide de F une primitive de x↦f(x+a) et de x↦f(λx).
Correction
Soit x∈R. On cherche une primitive de x↦f(x+a) et de x↦f(λx) à l'aide de F.
Primitive de x↦f(x+a). Posons G(x)=F(x+a). La fonction G est dérivable sur R comme composée de F (dérivable) et de x↦x+a (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :
G′(x)=F′(x+a)⋅1=f(x+a)
Donc G:x↦F(x+a) est une primitive de x↦f(x+a) sur R.
Primitive de x↦f(λx). Posons H(x)=λ1F(λx). La fonction H est dérivable sur R comme composée de F (dérivable) et de x↦λx (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :
H′(x)=λ1⋅F′(λx)⋅λ=F′(λx)=f(λx)
Donc H:x↦λ1F(λx) est une primitive de x↦f(λx) sur R.
x↦F(x+a) est une primitive de x↦f(x+a),x↦λ1F(λx) est une primitive de x↦f(λx)
Proposition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sont les fonctions de la forme F+C où C est une constante.
Démonstration
Soit F une primitive de f sur I et G une autre primitive de f sur I. Posons φ=G−F. Alors pour tout x∈I :
φ′(x)=G′(x)−F′(x)=f(x)−f(x)=0 \nDonc φ est dérivable sur I et de dérivée nulle. Or I est un intervalle, donc une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante (résultat du théorème des accroissements finis). Il existe donc C∈R tel que φ(x)=C pour tout x∈I, c'est-à-dire G=F+C. \nRéciproquement, si C∈R, alors (F+C)′=F′=f, donc F+C est bien une primitive de f sur I.
Attention
Il est important de considérer une fonction continue sur un intervalle. Les fonctions f1:{R∗→Rx↦ln∣x∣ et f2:⎩⎨⎧R∗→Rx↦{ln∣x∣−1ln∣x∣+1si x<0si x>0 admettent toutes deux pour dérivée la fonction inverse mais elles ne diffèrent pas d'une constante (f2−f1=−1 sur R−∗ et f2−f1=1 sur R+∗). En effet, R∗ n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles (d'où les deux constantes différentes).
Application
Déterminer des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x) par passage en complexes.
Correction
On souhaite calculer des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x) par passage aux complexes.
Posons α=1+2i∈C∗. On observe que :
eαx=e(1+2i)x=exe2ix=ex(cos(2x)+isin(2x))
Donc excos(2x)=Re(eαx) et exsin(2x)=Im(eαx).
D'après le tableau des primitives usuelles (encadré de la section 1.2), une primitive de x↦eαx sur R est x↦αeαx. Calculons α1 :
La Proposition 1.1 (linéarité) assure que la partie réelle et la partie imaginaire d'une primitive de x↦eαx sont respectivement des primitives de x↦excos(2x) et x↦exsin(2x). Ainsi :
- Une primitive de x↦excos(2x) est x↦5ex(cos(2x)+2sin(2x)). - Une primitive de x↦exsin(2x) est x↦5ex(sin(2x)−2cos(2x)).
Théorème—Théorème fondamental de l'analyse
Soient f une fonction continue sur I et a∈I. Alors F:x↦∫axf(t)dt est dérivable sur I et F′=f. \nAutrement dit, F est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a.
Démonstration
Soit x∈I. Pour h=0 assez petit pour que x+h∈I, on écrit par la relation de Chasles (admise pour l'intégrale) :
hF(x+h)−F(x)=h1∫xx+hf(t)dt \nPuisque f est continue en x, pour tout ε>0, il existe δ>0 tel que ∣t−x∣<δ⇒∣f(t)−f(x)∣<ε. Pour ∣h∣<δ, tous les t entre x et x+h vérifient ∣t−x∣≤∣h∣<δ, donc ∣f(t)−f(x)∣<ε. On en déduit :
hF(x+h)−F(x)−f(x)=h1∫xx+h(f(t)−f(x))dt≤∣h∣∣h∣ε=ε \nOù l'on a utilisé l'inégalité ∫xx+h(f(t)−f(x))dt≤∣h∣⋅ε (majoration par la longueur de l'intervalle fois le maximum de ∣f(t)−f(x)∣). Cela prouve que F est dérivable en x et que F′(x)=f(x). \nDonc F′=f sur I, ce qui signifie que F est une primitive de f sur I. \nL'unicité découle du fait que F est l'unique primitive de f s'annulant en a : si G est une primitive de f s'annulant en a, alors par la Proposition 1.2, G=F+C avec G(a)=F(a)+C=0+C=C=0.
Attention
Il ressort des deux résultats précédents qu'une fonction continue sur un intervalle admet toujours une infinité de primitives sur cet intervalle. On prendra donc garde à ne jamais écrire des phrases du type «Soit F la primitive de f» mais plutôt «Soit F une primitive de f».
Corollaire—Calcul d'intégrale
Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Pour (a,b)∈I2
∫abf(t)dt=F(b)−F(a) \nLa quantité F(b)−F(a) se note souvent [F(t)]t=at=b.
Démonstration
D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction G:x↦∫axf(t)dt est une primitive de f sur I, s'annulant en a. \nPar la Proposition 1.2, toute primitive de f sur I est de la forme G+C pour une certaine constante C∈R. En particulier, si F est une primitive de f sur I, il existe C∈R tel que F=G+C. \nOn évalue en a : F(a)=G(a)+C=0+C, donc C=F(a). Ainsi F(x)=G(x)+F(a) pour tout x∈I, et en particulier :
∫abf(t)dt=G(b)=F(b)−F(a)
Remarque
On a en particulier ∫abCdt=C(b−a).
Application—Banal
Établir la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction ψ définie par
x⟼∫e−xex1+ln2(t)dt
Correction
Soit ψ:x↦∫e−xex1+ln2(t)dt.
Dérivabilité. La fonction g:t↦1+ln2(t) est continue sur R+∗ (car ln est continue sur R+∗ et t↦1+t2 est continue sur R). D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction G:x↦∫1xg(t)dt est dérivable sur R+∗ et G′=g.
On peut écrire ψ(x)=G(ex)−G(e−x). Les fonctions x↦ex et x↦e−x sont dérivables sur R et à valeurs dans R+∗, donc les composées x↦G(ex) et x↦G(e−x) sont dérivables sur R par la règle de dérivation des fonctions composées. Ainsi ψ est dérivable sur R.
Calcul de la dérivée. Par la règle de dérivation des fonctions composées et la linéarité de la dérivation :
ψ′(x)=G′(ex)⋅ex−G′(e−x)⋅(−e−x)
=g(ex)⋅ex+g(e−x)⋅e−x
=ex1+ln2(ex)+e−x1+ln2(e−x)
Or ln(ex)=x et ln(e−x)=−x, donc ln2(ex)=ln2(e−x)=x2. On obtient :
ψ′(x)=ex1+x2+e−x1+x2=(ex+e−x)1+x2
ψ′(x)=2cosh(x)1+x2
Application
Soit f une fonction continue sur R. Déterminer x→0limx1∫0xf(t)dt.
Correction
Soit f une fonction continue sur R. On cherche x→0limx1∫0xf(t)dt.
D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction F:x↦∫0xf(t)dt est dérivable sur R et F′=f. En particulier, F(0)=∫00f(t)dt=0.
On reconnaît alors le taux d'accroissement de F en 0 :
x1∫0xf(t)dt=x−0F(x)−F(0)
Par définition de la dérivée, cette quantité tend vers F′(0) quand x→0. Or F′(0)=f(0).
Donc :
x→0limx1∫0xf(t)dt=f(0)
Application
Montrer que si f est une fonction continue et T-périodique sur R, alors pour tout a∈R
∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt
Correction
Soit f une fonction continue et T-périodique sur R. Montrons que pour tout a∈R, ∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt.
Soit F une primitive de f sur R, qui existe d'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1). D'après le Corollaire 1.1 :
∫aa+Tf(t)dt=F(a+T)−F(a)
Définissons la fonction G:a↦F(a+T)−F(a). Cette fonction est dérivable sur R (comme différence de composées de fonctions dérivables) et :
G′(a)=F′(a+T)−F′(a)=f(a+T)−f(a)=0
car f est T-périodique. Donc G est constante sur R (une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante). En particulier, G(a)=G(0) pour tout a∈R, c'est-à-dire :
F(a+T)−F(a)=F(T)−F(0)=∫0Tf(t)dt
On conclut que pour tout a∈R :
∫aa+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt
1.2. Primitives usuelles
Remarque
La connaissance des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.
Encadré—Primitives usuelles
• Soit α∈R∖Z. Une primitive de x↦xα sur R+∗ est x↦α+1xα+1.
• Soit n∈N. Une primitive de x↦xn sur R est x↦n+1xn+1.
• Soit n∈Z−∖{−1}. Une primitive de x↦xn sur R+∗ et sur R−∗ est x↦n+1xn+1.
• Une primitive de x↦x1 sur R+∗ est x↦lnx et une primitive de x1 sur R−∗ est x↦ln(−x).
• Soit a∈C∗. Une primitive de x↦eax sur R est x↦aeax.
• Une primitive de x↦lnx sur R+∗ est x↦xlnx−x.
• Une primitive de x↦sinx sur R est x↦−cosx.
• Une primitive de x↦cosx sur R est x↦sinx.
• Soit k∈Z. Une primitive de x↦tanx sur ]−2π+kπ,2π+kπ[ est x↦−ln∣cosx∣.
• Une primitive de x↦1−x21 sur ]−1,1[ est x↦arcsinx.
• Une primitive de x↦−1−x21 sur ]−1,1[ est x↦arccosx.
• Une primitive de x↦1+x21 sur ]−1,1[ est x↦arctanx.
• Une primitive de x↦sh x sur R est x↦ch x.
• Une primitive de x↦ch x sur R est x↦sh x.
• Une primitive de x↦th x sur R est x↦ln(ch x).
Remarque
Une primitive de x↦−1−x21 sur ]−1,1[ est également x↦−arcsinx. En effet, les fonctions arccos et −arcsin diffèrent d'une constante, à savoir arccos=2π−arcsin.
Remarque
x↦ln∣x∣ est une primitive de x1 aussi bien sur R+∗ que sur R−∗. \nDans le même ordre d'idée, si u est une fonction de classe C1 ne s'annulant pas sur un intervalle I, une primitive de uu′ sur I est x↦ln∣u(x)∣.
Méthode—Calcul d'une primitive de x↦eaxcos(bx) et de x↦eaxsin(bx)
Pour calculer une primitive de x↦eaxcos(bx) ou x↦eaxsin(bx), on utilise le fait que ces fonctions sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de x↦eαx avec α=a+ib. \nUne primitive de x↦eαx est x↦αeαx. La partie réelle et la partie imaginaire de x↦αeαx sont donc respectivement des primitives de x↦eaxcos(bx) et de x↦eaxsin(bx).
Remarque
Soit a∈R∗. Une primitive de x↦x2+a21 est x↦a1arctanax. \nSoit a∈R+∗. Une primitive de x↦a2−x21 est x↦arcsinax.
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Méthodes18
ClassiqueDécomposition en éléments simples
Technique pour décomposer une fraction rationnelle en somme de fractions plus simples, facilitant l'intégration.
On decompose des fractions rationnelles en elements simples pour en calculer des primitives.
Determiner deux reels α et β tels que, pour t reel distinct de 1 et 2, on ait t2−3t+21=t−1α+t−2β.
En deduire, sur des intervalles a preciser, une primitive F de la fonction f:t↦t2−3t+21.
Adapter la methode aux fractions g:t↦t2−3t+2t et h:t↦t2−5t+61.
IndicationMasquer
Appliquer la Décomposition en éléments simples (decomposition en elements simples) : factoriser t2−3t+2=(t−1)(t−2), puis ecrire 1/((t−1)(t−2))=α/(t−1)+β/(t−2) et trouver α,β par evaluation en t=1 et t=2.
2Douze intégrales de fractions rat.
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
∫01x2+2dx.
∫−1/21/21−x2dx.
∫23x2+x−32x+1dx.
∫02x4+16xdx.
∫03(x−4)3x4+6x3−5x2+3x−7dx.
∫−20x3−7x+6dx.
∫−11x3+82x4+3x3+5x2+17x+30dx.
∫23x4−14x2dx.
∫−10x3−3x+2x3+2x+1dx.
∫12x4(x2+2)32x8+5x6−12x5+30x4+36x2+24dx.
∫0ax4+5x2+4−2x2+6x+7dx pour a∈R. Y a-t-il une limite quand a→+∞ ?
∫02x4+1dx.
IndicationMasquer
Appliquer la Fonctions du type x↦1/(x²+ax+b) (fraction 1/(x2+ax+b)) : pour chaque integrale, identifier si le denominateur a des racines reelles (DES) ou non (forme canonique + arctan), puis appliquer le cas correspondant.
3Douze primitives par reconnaiss.
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
t↦te−3t2
t↦t(lnt)41
t↦tanht1
t↦1+t3t2
t↦1+sin2tsin(2t)
t↦tan2t
t↦cos2(t)tant1
t↦t+t1
t↦tln(lnt)
t↦eet+t
t↦t+t(lnt)21
t↦cosh2t1
IndicationMasquer
Appliquer la Changement de variable (changement de variable u=g(x), du=g′(x)dx) : pour chaque sous-question, reconnaitre la forme g′(x)φ(g(x)) et poser u=g(x) appropriee. La cle est d'identifier le facteur g′(x) au numerateur ou devant la fonction composee.
4Cinq primitives (IPP et ch. var.)
Calculer les primitives suivantes.
∫xarctan2(x)dx
∫exsin2(x)dx
∫cos(lnx)dx en posant u=lnx
∫1+xxdx en posant u=1+x.
∫coshxdx
IndicationMasquer
Utiliser plusieurs techniques selon la sous-question : la Intégration par parties (IPP successives pour ∫xarctan2xdx), la Fonctions du type x↦e^(ax)·cos(bx) ou x↦e^(ax)·sin(bx) (exponentielle complexe pour ∫exsin2xdx), la Changement de variable (changement de variable pour ∫cos(lnx)dx et ∫x/1+xdx), et reconnaître 1/coshx pour SQ5.
5Limites d'intégrales (3 cas)
Calculer les limites suivantes. On ne cherchera pas à calculer les intégrales.
limx→0∫−xxsin(t2)dt.
limx→+∞∫x2xlntdt.
limx→+∞∫x2xtsintdt.
IndicationMasquer
Appliquer la Encadrer ou majorer une intégrale sans la calculer (encadrer/majorer une integrale sans la calculer) : pour chaque limite, utiliser la technique appropriee — parite pour SQ1 (integrale sur [−x,x] d'une fonction impaire), equivalents de 1/lnt et sint/t sur [x,2x] pour SQ2 et SQ3, et IPP pour creer un 1/t2 sur SQ3 (Intégration par parties).
6Primitives sans racines réelles
Calculer une primitive des fonctions suivantes.
t↦1+t+t21
t↦1+t22−5t
t↦2t2−4t+33t+2
IndicationMasquer
Appliquer la Fonctions du type x↦1/(x²+ax+b) et la Fonctions du type x↦(αx+β)/(x²+ax+b) : pour chaque primitive, determiner si le denominateur admet des racines reelles (DES) ou non (forme canonique + arctan) et traiter le numerateur en faisant apparaitre la derivee du denominateur.
7Changements de variables
Calculer :
I=∫0π/41+tan2(t)dt en posant u=tan(t);
J=∫01x+1dx en posant u=x;
K=∫0ln(2)ex−1dx en posant u=ex−1;
L=∫01u2+u+1du en posant x=u2+u+1−u;
M=∫0π/4cos(x)dx en posant u=sin(x);
N=∫π/4π/3sin(x)dx en posant u=cos(x);
O=∫0π/2cos2(x)sin3(x)dx en posant u=cos(x);
P=∫0π/41+cos2(x)sin(2x)dx en posant u=cos(2x);
Q=∫011+x1−xdx en posant x=cos(2u);
R=∫01x+1x+x1/4dx en posant u=x1/4.
IndicationMasquer
Appliquer la Applications de la formule du changement de variables (applications du changement de variables) : pour chaque integrale, effectuer le changement de variable indique en transformant systematiquement les bornes, l'expression de la fonction et l'element differentiel.
