Primitives et intégrales | The Maths Tailor

Primitives et intégrales

Cours Exercices

Cours

1Primitives

2Propriétés de l'intégrale

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3Méthodes de calcul

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Méthodes18p.1/2

ClassiqueDécomposition en éléments simples

Technique pour décomposer une fraction rationnelle en somme de fractions plus simples, facilitant l'intégration.

TunnelChangement de variable

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ClassiqueIntégration par parties

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ClassiquePrimitive trigonométrique

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PavlovReconnaître les primitives usuelles

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ClassiquePrimitive de fraction rationnelle

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ClassiqueFonctions du type x↦e^(ax)·cos(bx) ou x↦e^(ax)·sin(bx)

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TunnelFonctions du type x↦1/(x²+ax+b)

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TunnelFonctions du type x↦(αx+β)/(x²+ax+b)

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PavlovExploiter la parité/symétrie de l'intégrande

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1 / 2

Exercices

Eléments simples de 1/ (t^{2} - 3 t + 2)

On decompose des fractions rationnelles en elements simples pour en calculer des primitives.

Determiner deux reels $α$ et $β$ tels que, pour $t$ reel distinct de $1$ et $2$ , on ait $\frac{1}{t ^{2} - 3 t + 2} = \frac{α}{t - 1} + \frac{β}{t - 2}$ .
En deduire, sur des intervalles a preciser, une primitive $F$ de la fonction $f : t \mapsto \frac{1}{t ^{2} - 3 t + 2}$ .
Adapter la methode aux fractions $g : t \mapsto \frac{t}{t ^{2} - 3 t + 2}$ et $h : t \mapsto \frac{1}{t ^{2} - 5 t + 6}$ .

Indication

Douze intégrales de fractions rat.

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 2} .$
$\int_{- 1/2}^{1/2} \frac{d x}{1 - x ^{2}} .$
$\int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 3} d x .$
$\int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 3} d x .$
$\int_{0}^{3} \frac{x ^{4} + 6 x ^{3} - 5 x ^{2} + 3 x - 7}{( x - 4 ) ^{3}} d x .$
$\int_{- 2}^{0} \frac{d x}{x ^{3} - 7 x + 6} .$
$\int_{- 1}^{1} \frac{2 x ^{4} + 3 x ^{3} + 5 x ^{2} + 17 x + 30}{x ^{3} + 8} d x .$
$\int_{2}^{3} \frac{4 x ^{2}}{x ^{4} - 1} d x .$
$\int_{- 1}^{0} \frac{x ^{3} + 2 x + 1}{x ^{3} - 3 x + 2} d x .$
$\int_{1}^{2} \frac{2 x ^{8} + 5 x ^{6} - 12 x ^{5} + 30 x ^{4} + 36 x ^{2} + 24}{x ^{4} ( x ^{2} + 2 ) ^{3}} d x .$
$\int_{0}^{a} \frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 7}{x ^{4} + 5 x ^{2} + 4} d x$ pour $a \in R$ . Y a-t-il une limite quand $a \to + \infty$ ?
$\int_{0}^{2} \frac{d x}{x ^{4} + 1} .$

Indication

Douze primitives par reconnaiss.

Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

$t \mapsto t e^{- 3 t^{2}}$
$t \mapsto \frac{1}{t ( l n t ) ^{4}}$
$t \mapsto \frac{1}{t a n h t}$
$t \mapsto \frac{t ^{2}}{1 + t ^{3}}$
$t \mapsto \frac{s i n ( 2 t )}{1 + s i n ^{2} t}$
$t \mapsto tan^{2} t$
$t \mapsto \frac{1}{c o s ^{2} ( t ) t a n t}$
$t \mapsto \frac{1}{t + t}$
$t \mapsto \frac{l n ( l n t )}{t}$
$t \mapsto e^{e^{t} + t}$
$t \mapsto \frac{1}{t + t ( l n t ) ^{2}}$
$t \mapsto \frac{1}{c o s h ^{2} t}$

Indication

Cinq primitives (IPP et ch. var.)

Calculer les primitives suivantes.

$\int x arctan^{2} (x) d x$
$\int e^{x} sin^{2} (x) d x$
$\int cos (ln x) d x$ en posant $u = ln x$
$\int \frac{x d x}{1 + x}$ en posant $u = 1 + x$ .
$\int \frac{d x}{c o s h x}$

Indication

Limites d'intégrales (3 cas)

Calculer les limites suivantes. On ne cherchera pas à calculer les intégrales.

$lim_{x \to 0} \int_{- x}^{x} sin (t^{2}) d t$ .
$lim_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{l n t}$ .
$lim_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{s i n t}{t} d t$ .

Indication

Primitives sans racines réelles

Calculer une primitive des fonctions suivantes.

$t \mapsto \frac{1}{1 + t + t ^{2}}$
$t \mapsto \frac{2 - 5 t}{1 + t ^{2}}$
$t \mapsto \frac{3 t + 2}{2 t ^{2} - 4 t + 3}$

Indication