Primitives et intégrales

Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ sur $I$, et $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$. Posons $H=\lambda F+\mu G$. La fonction $H$ est dérivable sur $I$ comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, et pour tout $x\in I$ :$$H^{\prime }(x)=\lambda F^{\prime }(x)+\mu G^{\prime }(x)=\lambda f(x)+\mu g(x)$$Donc $H$ est une primitive de $\lambda f+\mu g$ sur $I$.

Soit $x\in \mathbb{R}$. On cherche une primitive de $x\mapsto f(x+a)$ et de $x\mapsto f(\lambda x)$ à l'aide de $F$.

Primitive de $x\mapsto f(x+a)$. Posons $G(x)=F(x+a)$. La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de $F$ (dérivable) et de $x\mapsto x+a$ (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x+a)\cdot 1=f(x+a)$$Donc $G:x\mapsto F(x+a)$ est une primitive de $x\mapsto f(x+a)$ sur $\mathbb{R}$.

Primitive de $x\mapsto f(\lambda x)$. Posons $H(x)=\frac{1}{\lambda }F(\lambda x)$. La fonction $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de $F$ (dérivable) et de $x\mapsto \lambda x$ (dérivable). Par la règle de dérivation des fonctions composées :$$H^{\prime }(x)=\frac{1}{\lambda }\cdot F^{\prime }(\lambda x)\cdot \lambda =F^{\prime }(\lambda x)=f(\lambda x)$$Donc $H:x\mapsto \frac{1}{\lambda }F(\lambda x)$ est une primitive de $x\mapsto f(\lambda x)$ sur $\mathbb{R}$.$$\boxed{x\mapsto F(x+a)\text{ est une primitive de }x\mapsto f(x+a),x\mapsto \frac{1}{\lambda }F(\lambda x)\text{ est une primitive de }x\mapsto f(\lambda x)}$$

Soit $x\in I$. Pour $h\ne 0$ assez petit pour que $x+h\in I$, on écrit par la relation de Chasles (admise pour l'intégrale) :$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt$$Puisque $f$ est continue en $x$, pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $|t-x|<\delta \Rightarrow |f(t)-f(x)|<\epsilon$. Pour $|h|<\delta$, tous les $t$ entre $x$ et $x+h$ vérifient $|t-x|\le |h|<\delta$, donc $|f(t)-f(x)|<\epsilon$. On en déduit :$$\left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right|=\left|\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}(f(t)-f(x))dt\right|\le \frac{|h|}{|h|}\epsilon =\epsilon$$Où l'on a utilisé l'inégalité $\left|{\int }_x^{x+h}(f(t)-f(x))dt\right|\le |h|\cdot \epsilon$ (majoration par la longueur de l'intervalle fois le maximum de $|f(t)-f(x)|$). Cela prouve que $F$ est dérivable en $x$ et que $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Donc $F^{\prime }=f$ sur $I$, ce qui signifie que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

L'unicité découle du fait que $F$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$ : si $G$ est une primitive de $f$ s'annulant en $a$, alors par la Proposition 1.2, $G=F+C$ avec $G(a)=F(a)+C=0+C=C=0$.

D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $G:x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)dt$ est une primitive de $f$ sur $I$, s'annulant en $a$.

Par la Proposition 1.2, toute primitive de $f$ sur $I$ est de la forme $G+C$ pour une certaine constante $C\in \mathbb{R}$. En particulier, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, il existe $C\in \mathbb{R}$ tel que $F=G+C$.

On évalue en $a$ : $F(a)=G(a)+C=0+C$, donc $C=F(a)$. Ainsi $F(x)=G(x)+F(a)$ pour tout $x\in I$, et en particulier :$${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)=F(b)-F(a)$$

Soit $\psi :x\mapsto {\int }_{e^{-x}}^{e^x}\sqrt{1+{\ln }^2(t)}dt$.

Dérivabilité. La fonction $g:t\mapsto \sqrt{1+{\ln }^2(t)}$ est continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ (car $\ln$ est continue sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ et $t\mapsto \sqrt{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$). D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $G:x\mapsto {\int }_1^{x}g(t)dt$ est dérivable sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ et $G^{\prime }=g$.

On peut écrire $\psi (x)=G(e^x)-G(e^{-x})$. Les fonctions $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto e^{-x}$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, donc les composées $x\mapsto G(e^x)$ et $x\mapsto G(e^{-x})$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ par la règle de dérivation des fonctions composées. Ainsi $\psi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Calcul de la dérivée. Par la règle de dérivation des fonctions composées et la linéarité de la dérivation :$${\psi }^{\prime }(x)=G^{\prime }(e^x)\cdot e^x-G^{\prime }(e^{-x})\cdot (-e^{-x})$$$$=g(e^x)\cdot e^x+g(e^{-x})\cdot e^{-x}$$$$=e^x\sqrt{1+{\ln }^2(e^x)}+e^{-x}\sqrt{1+{\ln }^2(e^{-x})}$$Or $\ln (e^x)=x$ et $\ln (e^{-x})=-x$, donc ${\ln }^2(e^x)={\ln }^2(e^{-x})=x^2$. On obtient :$${\psi }^{\prime }(x)=e^x\sqrt{1+x^2}+e^{-x}\sqrt{1+x^2}=(e^x+e^{-x})\sqrt{1+x^2}$$$$\boxed{{\psi }^{\prime }(x)=2\cosh (x)\sqrt{1+x^2}}$$

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. On cherche $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$.

D'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1), la fonction $F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F^{\prime }=f$. En particulier, $F(0)={\int }_0^{0}f(t)dt=0$.

On reconnaît alors le taux d'accroissement de $F$ en $0$ :$$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$$Par définition de la dérivée, cette quantité tend vers $F^{\prime }(0)$ quand $x\to 0$. Or $F^{\prime }(0)=f(0)$.

Donc :$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(0)$$

Soit $f$ une fonction continue et $T$-périodique sur $\mathbb{R}$. Montrons que pour tout $a\in \mathbb{R}$, ${\int }_a^{a+T}f(t)dt={\int }_0^{T}f(t)dt$.

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$, qui existe d'après le Théorème fondamental de l'analyse (Théorème 1.1). D'après le Corollaire 1.1 :$${\int }_a^{a+T}f(t)dt=F(a+T)-F(a)$$Définissons la fonction $G:a\mapsto F(a+T)-F(a)$. Cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ (comme différence de composées de fonctions dérivables) et :$$G^{\prime }(a)=F^{\prime }(a+T)-F^{\prime }(a)=f(a+T)-f(a)=0$$car $f$ est $T$-périodique. Donc $G$ est constante sur $\mathbb{R}$ (une fonction dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante). En particulier, $G(a)=G(0)$ pour tout $a\in \mathbb{R}$, c'est-à-dire :$$F(a+T)-F(a)=F(T)-F(0)={\int }_0^{T}f(t)dt$$On conclut que pour tout $a\in \mathbb{R}$ :$${\int }_a^{a+T}f(t)dt={\int }_0^{T}f(t)dt$$