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Primitives et intégrales | The Maths Tailor

Primitives et intégrales

Cours Exercices

Cours

1Primitives

2Propriétés de l'intégrale

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3Méthodes de calcul

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Méthodes15p.1/2

PavlovReconnaître les primitives usuelles

Mémoriser et reconnaître instantanément les primitives des fonctions élémentaires : $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (si $n \neq = - 1$ ), $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ .

ClassiquePrimitive de fraction rationnelle

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ClassiqueDécomposition en éléments simples

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ClassiquePrimitive trigonométrique

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ClassiqueFonctions du type

x \mapsto e^{a x} cos (b x)

ou

x \mapsto e^{a x} sin (b x)

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TunnelFonctions du type

x \mapsto (α x + β) / (x^{2} + a x + b)

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PavlovExploiter la parité/symétrie de l'intégrande

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ClassiqueEncadrer ou majorer une intégrale sans la calculer

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PavlovDivision euclidienne avant décomposition en éléments simples

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PavlovLinéariser un polynôme trigonométrique pour l'intégrer

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Exercices

Primitives simples (lot 1)

Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :

f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

g (x) = \frac{e ^{3 x}}{1 + e ^{3 x}}

h (x) = \frac{ln x}{x}

k (x) = cos (x) sin^{2} (x)

l (x) = \frac{1}{x ln x}

m (x) = 3 x 1 + x^{2}

Indication

Primitives simples (lot 2)

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :

1.

f (x) = (3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x + 3)^{3}

,

I = R

2.

f (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{3} - 3 x + 2 ) ^{3}}

,

I =] - \infty, - 2 [

3.

f (x) = \frac{( x - 1 )}{x ( x - 2 )}

,

I =] - \infty, 0 [

4.

f (x) = \frac{1}{x ln ( x ^{2} )}

,

I =] 1, + \infty [

Indication

Primitives par décomposition (5)

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :

$\frac{x + 1}{2 - x ^{2}}$
Indice Q1
$\frac{x}{( x - 1 ) ( 3 - x )}$
Indice Q2
$\frac{x + 1}{x ^{2} + 1}$
Indice Q3
$\frac{1}{x + 1 + x ^{2}}$
Indice Q4
$\frac{x ^{2} - 1}{x}$
Indice Q5

Indication

Douze intégrales de fractions rat.

Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 2} .$
$\int_{- 1/2}^{1/2} \frac{d x}{1 - x ^{2}} .$
$\int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x - 3} d x .$
$\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x ^{4} + 16} .$
$\int_{0}^{3} \frac{x ^{4} + 6 x ^{3} - 5 x ^{2} + 3 x - 7}{( x - 4 ) ^{3}} d x .$
$\int_{- 2}^{0} \frac{d x}{x ^{3} - 7 x + 6} .$
$\int_{- 1}^{1} \frac{2 x ^{4} + 3 x ^{3} + 5 x ^{2} + 17 x + 30}{x ^{3} + 8} d x .$
$\int_{2}^{3} \frac{4 x ^{2}}{x ^{4} - 1} d x .$
$\int_{- 1}^{0} \frac{x ^{3} + 2 x + 1}{x ^{3} - 3 x + 2} d x .$
$\int_{1}^{2} \frac{2 x ^{8} + 5 x ^{6} - 12 x ^{5} + 30 x ^{4} + 36 x ^{2} + 24}{x ^{4} ( x ^{2} + 2 ) ^{3}} d x .$
$\int_{0}^{a} \frac{- 2 x ^{2} + 6 x + 7}{x ^{4} + 5 x ^{2} + 4} d x$ pour $a \in R$ . Y a-t-il une limite quand $a \to + \infty$ ?
$\int_{0}^{2} \frac{d x}{x ^{4} + 1} .$

Indication

Cinq primitives (IPP et ch. var.)

Calculer les primitives suivantes.

$\int x arctan^{2} (x) d x$
$\int e^{x} sin^{2} (x) d x$
$\int cos (ln x) d x$ en posant $u = ln x$
$\int \frac{x d x}{1 + x}$ en posant $u = 1 + x$ .
$\int \frac{d x}{cosh x}$

Indication

Primitives sans racines réelles

Calculer une primitive des fonctions suivantes.

$t \mapsto \frac{1}{1 + t + t ^{2}}$
$t \mapsto \frac{2 - 5 t}{1 + t ^{2}}$
$t \mapsto \frac{3 t + 2}{2 t ^{2} - 4 t + 3}$

Indication

Limites d'intégrales (3 cas)

Calculer les limites suivantes. On ne cherchera pas à calculer les intégrales.

$x \to 0 lim \int_{- x}^{x} sin (t^{2}) d t$ .
$x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{ln t}$ .
$x \to + \infty lim \int_{x}^{2 x} \frac{sin t}{t} d t$ .

Indication