Probabilités

On peut établir un lien entre union et quantificateur existentiel ainsi qu'entre intersection et quantificateur universel.

• Union : $x\in \bigcup _{i\in I}{A}_i⟺\exists i\in I,x\in A_i$
• Intersection : $x\in \bigcap _{i\in I}{A}_i⟺\forall i\in I,x\in A_i$

Par exemple, si $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ désigne une suite d'ensembles, on a :$$x\in \bigcap _{n\in \mathbb{N}}\bigcup _{k\ge n}{A}_k⟺\forall n\in \mathbb{N},\exists k\ge n,x\in A_k$$On comprend alors que $x\in \bigcap _{n\in \mathbb{N}}\bigcup _{k\ge n}{A}_k$ si et seulement si $x$ appartient à une infinité d'ensembles $A_n$. De même :$$x\in \bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bigcap _{k\ge n}{A}_k⟺\exists n\in \mathbb{N},\forall k\ge n,x\in A_k$$On comprend alors que $x\in \bigcup _{n\in \mathbb{N}}\bigcap _{k\ge n}{A}_k$ si et seulement si $x$ n'appartient qu'à un nombre fini d'ensembles $\overline{A_n}$.