Soient T une tribu sur un ensemble Ω et Ω′ une partie de Ω. Vérifier que T′={A∩Ω′∣A∈T} définit une tribu sur Ω′.
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Tribu image réciproque
Soient f:Ω→Ω′ une application et T′ une tribu sur Ω′. Vérifier queT={f−1(A′)∣A′∈T′}définit une tribu sur Ω.
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Tribu engendrée par une partie
Soit (Ti)i∈I une famille de tribus sur un même ensemble Ω. Montrer que T=i∈I⋂Ti est une tribu sur Ω.
Soit S une partie de P(Ω) et (Ti)i∈I la famille de toutes les tribus de Ω contenant les éléments de S. Vérifier que T=i∈I⋂Ti est une tribu contenant les éléments de S et que c'est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) vérifiant cette propriété.
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Tribu engendrée par une partition
Soit Ω un ensemble infini et (An)n∈N une famille de parties de Ω vérifiant n=m⇒An∩Am=∅ et n∈N⋃An=Ω. On poseA={n∈T⋃An∣T∈℘(N)}.
Montrer que A est une tribu de Ω.
On suppose l'ensemble Ω dénombrable. Montrer que toute tribu infinie sur Ω est de la forme ci-dessus pour une certaine famille (An)n∈N.
Existe-t-il des tribus dénombrables ?
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Tribu dénombrable-codénombrable
Dans ce sujet dénombrable signifie « au plus dénombrable ». Soit Ω un ensemble. On introduitT={A⊂Ω∣A ou A est deˊnombrable}.
Vérifier que T est une tribu sur Ω.
Justifier que T est la plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant les singletons {ω} pour ω parcourant Ω.
Vérifier que si Ω est dénombrable alors T=℘(Ω).
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Tribu des ensembles saturés
Soit une application f:Ω→Ω′ et l'ensembleT={A⊂Ω∣A=f−1(f(A))}.Vérifier que T est une tribu sur Ω.
