Réduction algébrique

Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$. Le polynôme $X^2-X=X(X-1)$ annule $p$ donc $$E=\ker (p^2-p)=\text{Ker }p\oplus \ker (p-{\text{Id}}_E)$$

Soit $s$ une symétrie d'un espace vectoriel $E$. Le polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1)$ annule $s$ donc $$E=\ker (s^2-{\text{Id}}_E)=\ker (s-{\text{Id}}_E)\oplus \ker (s+{\text{Id}}_E)$$

On souhaite déterminer les solutions à valeurs complexes de l'équation différentielle $(\mathcal{E}):y^{\prime \prime \prime }-y=0$. On montre aisément par récurrence que toute solution de $(\mathcal{E})$ appartient à $E={\mathcal{C}}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})$. De plus, en notant $D:y\in E\mapsto y^{\prime }$, l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ est $\ker (D^3-{\text{Id}}_E)$. Puisque $X^3-1=(X-1)(X-j)(X-j^2)$, le lemme des noyaux permet d'affirmer que $$\ker (D^3-{\text{Id}}_E)=\ker (D-{\text{Id}}_E)\oplus \ker (D-j{\text{Id}}_E)\oplus \ker (D-j^2{\text{Id}}_E)$$ $$=\text{vect}(x\mapsto e^x)\oplus \text{vect}(x\mapsto e^{jx})\oplus \text{vect}(x\mapsto e^{j^{2}x})$$Les solutions de $(\mathcal{E})$ sont donc les fonctions $$x\mapsto \lambda e^x+\mu e^{jx}+\nu e^{j^{2}x}\text{ ouˋ }(\lambda ,\mu ,\nu )\in {\mathbb{C}}^3$$

On souhaite déterminer les suites $u\in E={\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ vérifiant $$(\mathcal{R}):\forall n\in \mathbb{N},u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n$$En notant $S:(u_n)\in E\mapsto (u_{n+1})$, l'ensemble des suites vérifiant $(\mathcal{D})$ est $\ker (S^3-2S^2-S+2{\text{Id}}_E)$. Puisque $$X^3-2X^2-X+2=(X-1)(X+1)(X-2)$$le lemme des noyaux permet d'affirmer que $$\ker (S^3-2S^2-S+2{\text{Id}}_E)=\ker (S-{\text{Id}}_E)\oplus \ker (S+{\text{Id}}_E)\oplus \ker (S-2{\text{Id}}_E)$$ $$=\text{vect}((1{)}_{n\in \mathbb{N}})\oplus \text{vect}(((-1{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}})\oplus \text{vect}((2^n{)}_{n\in \mathbb{N}})$$Les suites réelles $u$ vérifiant $(\mathcal{R})$ sont donc les suites de terme général $$\lambda +\mu (-1{)}^n+\nu 2^n\text{ ouˋ }(\lambda ,\mu ,\nu )\in {\mathbb{R}}^3$$