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Réduction algébrique | The Maths Tailor

Réduction algébrique

Cours Exercices

Cours

1Polynômes d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

2Polynômes annulateurs

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3Application à la réduction

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Méthodes10

TunnelDécomposer via le lemme des noyaux

Lorsqu'un polynôme annulateur $P$ de $u$ (ou de $A$ ) se factorise en facteurs premiers entre eux deux à deux $P = P_{1} \dots P_{r}$ , le lemme des noyaux donne $E = i = 1 ⨁ r ker P_{i} (u)$ . C'est la méthode standard pour décomposer $E$ en somme directe de sous-espaces stables par $u$ : projecteurs et symétries (facteurs de degré 1), mais aussi équations différentielles ou récurrences linéaires vues comme noyaux d'opérateurs polynomiaux. Le point clé est de vérifier que les facteurs sont bien premiers entre eux deux à deux (souvent via une relation de Bézout explicite ou l'absence de racine commune).

ClassiqueCalculer les puissances d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur

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ClassiqueDéterminer le polynôme minimal d'une matrice

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ClassiqueReconnaître un vecteur cyclique / une matrice compagnon

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PavlovÉtudier la diagonalisabilité d'une matrice A à l'aide d'un polynôme annulateur

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ClassiqueExploiter l'existence d'un polynôme annulateur pour en déduire des informations sur le déterminant, la trace d'une matrice

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TunnelDécomposer via les sous-espaces caractéristiques (décomposition de Dunford)

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ClassiqueCodiagonaliser des endomorphismes qui commutent

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ClassiqueExploiter un commutateur linéaire pour trigonaliser simultanément

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TunnelTrouver une droite ou un plan stable via un facteur irréductible réel

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Exercices

Sous-espaces stables pour u³=Id

Soit

E

un

C

-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L (E)

tel que

u^{3} = Id

.
Décrire les sous-espaces stables de

u

.
Même question avec

E

un

R

-espace vectoriel.

Indication

Supplémentarité de Ker f et Im f

Soit

E

un espace vectoriel sur

K

et

a

un élément non nul de

K

. Soit

f \in L (E)

tel que

f^{3} - 3 a f^{2} + a^{2} f = 0

. Est-il vrai que

ker f

et

Im f

sont supplémentaires ?

Indication

Lemme des noyaux, Im Q(u)=Ker R(u)

Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension finie et

P \in K

[X] annulateur de u.
On suppose qu'on peut écrire P = QR avec Q et R premiers entre eux.
Établir

Im (Q)

(u) =

ker (R)

(u).

Indication

Caractéristique par blocs stables

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E.
On note χ le polynôme caractéristique de u.

Soit V et W deux sous-espaces vectoriels de E stables par u et tels que
E = V $\oplus$ W. On note χ' et χ'' les polynômes caractéristiques des
endomorphismes induits par u sur V et W.
Montrer χ = χ'χ''.
On considère la décomposition en facteurs irréductibles
χ =
Y
i
P $α$ i
i .
Montrer que pour tout i, dim Ker P $α$ i
i (u) = $α$ i deg Pi.
Montrer le polynôme minimal de u est égal à χ si, et seulement si, pour tout
k $\leq α$ i, dim Ker P k
i (u) = k deg Pi.

Indication

Stabilité et lemme des noyaux

Soient

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel de dimension finie et

P \in K [X]

un polynôme unitaire annulateur de

u

. La décomposition de

P

en facteurs irréductibles unitaires s'écrit

P = i = 1 \prod r P_{i}^{α_{i}}

. Pour

i \in [[1, r]]

, on pose

N_{i} = Ker P_{i}^{α_{i}} (u)

. Soit

F

un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u

. Montrer que

F = i = 1 ⨁ r (F \cap N_{i})

.

Indication

E = Ker f \oplus Im f via P(f)

Soient

E

un

K

-espace vectoriel,

f \in L (E)

et

P \in K [X]

tel que

P (f) = 0

,

P (0) = 0

et

P^{'} (0) \neq = 0

. Montrer que

E = Ker f \oplus Im f

.

Indication