On note Q l'ensemble des nombres rationnels i.e. l'ensemble des nombres de la forme qp avec (p,q)∈Z×N∗.
Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel.
On note D l'ensemble des nombres décimaux i.e. l'ensemble des nombres de la forme
10na avec (a,n)∈Z×N.
On note Z l'ensemble des entiers relatifs.
On note N l'ensemble des entiers naturels.
Remarque
On a N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
Exemple
2 est irrationnel.
1.2. Partie entière
Le théorème suivant découle de la construction des entiers.
Théorème—Propriété fondamentale des entiers
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de Z admet un plus grand élément (resp. un plus petit élément).
Démonstration bientôt disponible
Ce théorème légitime la définition suivante.
Définition—Partie entière d'un réel
Soit x∈R. On appelle partie entière de x, notée ⌊x⌋, le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
1.3. Approximations décimales
Définition
Soient x∈R et n∈N. On pose Dn={10na,a∈Z}.
On appelle valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut l'unique décimal αn∈Dn tel que αn≤x<αn+10−n.
On appelle valeur décimale approchée de x à 10−n près par excès l'unique décimal βn∈Dn tel que βn−10−n<x≤βn.
1.4. Densité dans R
Définition—Densité
Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un élément de A.
2. Relation d'ordre sur $\mathbb{R}$
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
Il pourra être utile dans les exercices de remarquer que si n et p sont des entiers n<p⟺n≤p−1⟺n+1≤p
Remarque
On appelle partie fractionnaire de x le réel noté {x}=x−⌊x⌋. On a donc {x}∈[0,1[.
Proposition—Propriétés de la partie entière
[(i)] La partie entière est une application croissante.
[(ii)] ∀x∈R,x=⌊x⌋⟺x∈Z.
[(iii)] ∀(x,n)∈R×Z,⌊x+n⌋=⌊x⌋+n.
Démonstration bientôt disponible
Attention
En général, ⌊x+y⌋=⌊x⌋+⌊y⌋ et ⌊nx⌋=n⌊x⌋ même si n est entier.
Attention
La partie entière est croissante i.e. ∀(x,y)∈R2,x≤y⟹⌊x⌋≤⌊y⌋ Mais la partie entière n'est pas strictement croissante. Par exemple, 0<21 mais ⌊0⌋=⌊21⌋.
Remarque—Graphe de la partie entière
La partie entière est croissante.
La partie entière est constante par morceaux.
La partie entière présente des discontinuité en les entiers relatifs.
La partie entière est continue en tout réel non entier.
La partie entière est continue à gauche et non à droite en tout entier.
Remarque
Pour x∈R, le plus petit entier relatif supérieur ou égal à x se note ⌈x⌉. Si k∈Z, alors k=⌈x⌉⟺x≤k<x+1⟺k−1<x≤k On a en fait ⌈x⌉=−⌊−x⌋.
Exemple
3,1415 est une valeur décimale approchée de π à 10−4 près par défaut. 3,1416 est une valeur décimale approchée de π à 10−4 près par excès.
Remarque
On peut exprimer αn et βn. En fait, αn=10n⌊10nx⌋ βn=10n⌈10nx⌉ Si x∈D, alors αn=βn=x. Sinon, βn=αn+10−n.
Remarque
αn est le nombre décimal dont les décimales (chiffres après la virgule) sont les n premières décimales de x.
Proposition—Caractérisation «epsilonesque» de la densité
Soit A une partie de R. A est dense dans R si et seulement si ∀x∈R,∀ε>0,]x−ε,x+ε[∩A=∅
Démonstration bientôt disponible
Proposition—Caractérisation séquentielle de la densité
Soit A une partie de R. A est dense dans R si et seulement si pour tout x∈R, il existe une suite (xn) d'éléments de A de limite x.
