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Nombres réels | The Maths Tailor

Nombres réels

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Cours— 3 sections

1Approximations d'un réel

1. Approximations d'un réel

1.1. Ensembles de nombres

Encadré —Notation 1.1

On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.
On note $\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels i.e. l'ensemble des nombres de la forme $\frac{p}{q}$ avec $(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ . Un nombre réel non rationnel est dit irrationnel.
On note $\mathbb{D}$ l'ensemble des nombres décimaux i.e. l'ensemble des nombres de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $(a, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ .
On note $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers relatifs.
On note $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels.

Remarque

On a

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Exemple

\sqrt{2}

est irrationnel.

1.2. Partie entière

Le théorème suivant découle de la construction des entiers.

Théorème —Propriété fondamentale des entiers

Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de

\mathbb{Z}

admet un plus grand élément (resp. un plus petit élément).

Démonstration bientôt disponible

Ce théorème légitime la définition suivante.

Définition —Partie entière d'un réel

Soit

x \in \mathbb{R}

. On appelle partie entière de

x

, notée

\lfloor x \rfloor

, le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

x

Proposition —Caractérisation de la partie entière

Soit

(x, k) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Z}

k = \lfloor x \rfloor \iff x-1 < k \le x \iff k \le x < k+1

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Il pourra être utile dans les exercices de remarquer que si

n

p

sont des entiers

n < p \iff n \le p-1 \iff n+1 \le p

Remarque

On appelle partie fractionnaire de

x

le réel noté

\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

. On a donc

\{x\} \in [0, 1[

Proposition —Propriétés de la partie entière

[(i)] La partie entière est une application croissante.
[(ii)] $\forall x \in \mathbb{R}, x = \lfloor x \rfloor \iff x \in \mathbb{Z}$ .
[(iii)] $\forall (x, n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Z}, \lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ .

Démonstration bientôt disponible

Attention

En général,

\lfloor x+y \rfloor \neq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor

\lfloor nx \rfloor \neq n\lfloor x \rfloor

même si

n

est entier.

Attention

La partie entière est croissante i.e.

\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, x \le y \implies \lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor

Mais la partie entière n'est pas strictement croissante. Par exemple,

0 < \frac{1}{2}

mais

\lfloor 0 \rfloor = \lfloor \frac{1}{2} \rfloor

Remarque —Graphe de la partie entière

La partie entière est croissante.
La partie entière est constante par morceaux.
La partie entière présente des discontinuité en les entiers relatifs.
La partie entière est continue en tout réel non entier.
La partie entière est continue à gauche et non à droite en tout entier.

Remarque

Pour

x \in \mathbb{R}

, le plus petit entier relatif supérieur ou égal à

x

se note

\lceil x \rceil

. Si

k \in \mathbb{Z}

, alors

k = \lceil x \rceil \iff x \le k < x+1 \iff k-1 < x \le k

On a en fait

\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor

1.3. Approximations décimales

Définition

Soient

x \in \mathbb{R}

n \in \mathbb{N}

. On pose

\mathbb{D}_n = \{ \frac{a}{10^n}, a \in \mathbb{Z} \}

On appelle valeur décimale approchée de $x$ à $10^{-n}$ près par défaut l'unique décimal $\alpha_n \in \mathbb{D}_n$ tel que $\alpha_n \le x < \alpha_n + 10^{-n}$ .
On appelle valeur décimale approchée de $x$ à $10^{-n}$ près par excès l'unique décimal $\beta_n \in \mathbb{D}_n$ tel que $\beta_n - 10^{-n} < x \le \beta_n$ .

Exemple

3,1415

est une valeur décimale approchée de

\pi

10^{-4}

près par défaut.

3,1416

est une valeur décimale approchée de

\pi

10^{-4}

près par excès.

Remarque

On peut exprimer

\alpha_n

\beta_n

. En fait,

\alpha_n = \frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}

\beta_n = \frac{\lceil 10^n x \rceil}{10^n}

x \in \mathbb{D}

, alors

\alpha_n = \beta_n = x

.
Sinon,

\beta_n = \alpha_n + 10^{-n}

Remarque

\alpha_n

est le nombre décimal dont les décimales (chiffres après la virgule) sont les

n

premières décimales de

x

1.4. Densité dans $\mathbb{R}$

Définition —Densité

Soit

\mathcal{A}

une partie de

\mathbb{R}

. On dit que

\mathcal{A}

est dense dans

\mathbb{R}

si tout intervalle ouvert non vide de

\mathbb{R}

contient au moins un élément de

\mathcal{A}

Proposition —Caractérisation «epsilonesque» de la densité

Soit

\mathcal{A}

une partie de

\mathbb{R}

\mathcal{A}

est dense dans

\mathbb{R}

si et seulement si

\forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon > 0, ]x-\varepsilon, x+\varepsilon[ \cap \mathcal{A} \neq \emptyset

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Caractérisation séquentielle de la densité

Soit

\mathcal{A}

une partie de

\mathbb{R}

\mathcal{A}

est dense dans

\mathbb{R}

si et seulement si pour tout

x \in \mathbb{R}

, il existe une suite

(x_n)

d'éléments de

\mathcal{A}

de limite

x

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Densité de

\mathbb{D}

\mathbb{Q}

\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

dans

\mathbb{R}

\mathbb{D}

\mathbb{Q}

\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

sont denses dans

\mathbb{R}

Démonstration bientôt disponible

2Relation d'ordre sur

\mathbb{R}

3Intervalles de

\mathbb{R}

Démontrer l'irrationalité

Méthodes principales : (1) Par l'absurde : supposer

x = \frac{p}{q}

irréductible et aboutir à une contradiction. (2) Exprimer un irrationnel connu en fonction du nombre étudié. (3) Utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Résolution d'équations fonctionnelles

Somme nulle de termes positifs

Démontrer des inégalités sur les nombres réels

Équations et inéquations avec valeurs absolues

Récurrence pour propriétés sur ensembles de nombres

Formules et propriétés de la partie entière

Exercices lies— 18

1Exercice 1

Montrer que

\sqrt{2}

n'est pas un nombre rationnel.

2Exercice 2

Soit

f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}

telle que

\forall x, y \in \mathbb{Q}, f(x + y) = f(x) + f(y).

(a) On suppose $f$ constante égale $C$ quelle est la valeur de $C$ ?
(b) On revient au cas général. Calculer $f(0)$ .
(c) Montrer que $\forall x \in \mathbb{Q}, f(-x) = -f(x)$ .
(d) Établir que $\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{Q}, f(nx) = nf(x)$ et généraliser cette propriété à $n \in \mathbb{Z}$ .
(e) On pose $a = f(1)$ . Montrer que $\forall x \in \mathbb{Q}, f(x) = ax$ .

3Exercice 3

Montrer que

\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{41}{81}\sqrt[3]{\dfrac{5}{3}}\right)^{1/3} + \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{41}{81}\sqrt[3]{\dfrac{5}{3}}\right)^{1/3}

est un rationnel. On conseille d'effectuer les calculs par ordinateur.

4Exercice 4

(Irrationalité de

e^r

pour

r \in \mathbb{Q}^*

)

(a) Pour $a, b \in \mathbb{N}^*$ , montrer que la fonction polynomiale $P_n(x) = \dfrac{1}{n!}x^n(bx - a)^n$ et ses dérivées successives prennent en $x = 0$ des valeurs entières.
(b) Établir la même propriété en $x = a/b$ .
(c) On pose $r = a/b$ et pour $n \in \mathbb{N}^*$ $I_n = \int_0^r P_n(t)e^t \, dt.$ Montrer que $I_n \to 0$ .
(d) En supposant $e^r = p/q$ avec $p, q \in \mathbb{N}^*$ , montrer que $qI_n \in \mathbb{Z}$ . Conclure.

5Exercice 5

Soit

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

une application telle que :

\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(x + y) = f(x) + f(y);

\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2, f(xy) = f(x)f(y);

\exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0.

(a) Calculer $f(0)$ , $f(1)$ et $f(-1)$ .
(b) Déterminer $f(x)$ pour $x \in \mathbb{Z}$ puis pour $x \in \mathbb{Q}$ .
(c) Démontrer que $\forall x \geq 0, f(x) \geq 0$ . En déduire que $f$ est croissante.
(d) Conclure que $f = \operatorname{Id}_{\mathbb{R}}$ .

6Exercice 6

Soient

n \in \mathbb{N}^*

x_1, \ldots, x_n

des réels. On suppose

\sum_{k=1}^n x_k = \sum_{k=1}^n x_k^2 = n.

Montrer que les réels

x_1, \ldots, x_n

sont tous égaux à

1

7Exercice 7

Soient

x, y \in [0 ; 1]

. Montrer

x^2 + y^2 - xy \leq 1.

8Exercice 8

Montrer

\forall u, v \geq 0, \quad 1 + \sqrt{uv} \leq \sqrt{1 + u}\sqrt{1 + v}.

9Exercice 9

Déterminer tous les couples

(\alpha, \beta) \in (\mathbb{R}_+^*)^2

pour lesquels il existe

M \in \mathbb{R}

tel que

\forall x, y > 0, \quad x^\alpha y^\beta \leq M(x + y).

10Exercice 10

Soient

(x_1, \ldots, x_n)

(y_1, \ldots, y_n)

deux suites réelles monotones. Comparer

\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\right)\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n y_k\right) \quad \text{et} \quad \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k y_k.

11Exercice 11

Soient

x

y

deux réels de l'intervalle

[0 ; 1]

. Montrer

\min\{xy, (1-x)(1-y)\} \leq \dfrac{1}{4}.

12Exercice 12

Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue

x

réelle :

(a) $\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}$
(b) $\dfrac{2x-1}{x+2} \leq 1$
(c) $3 + \sqrt{x-1} < x$
(d) $|2x-1| + |x-3| \geq 7$

13Exercice 13

Soient

n \geq 2

a_1, \ldots, a_n

des réels et

b_1, \ldots, b_n

des réels strictement positifs.
Montrer

\min\left\{\dfrac{a_1}{b_1}, \ldots, \dfrac{a_n}{b_n}\right\} \leq \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{b_1 + \cdots + b_n} \leq \max\left\{\dfrac{a_1}{b_1}, \ldots, \dfrac{a_n}{b_n}\right\}.

14Exercice 14

Montrer

\forall x, y \in \mathbb{R}, \quad \lfloor x\rfloor + \lfloor x + y\rfloor + \lfloor y\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor + \lfloor 2y\rfloor.

15Exercice 15

Montrer que

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \dfrac{k}{n}\right\rfloor = \lfloor nx\rfloor.

16Exercice 16

Soit

a \leq b \in \mathbb{R}

. Établir

\text{Card}([a ; b] \cap \mathbb{Z}) = \lfloor b\rfloor + \lfloor 1 - a\rfloor.

17Exercice 17

Soit

n \in \mathbb{N}^*

(a) Montrer qu'il existe $(a_n, b_n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tel que $(2 + \sqrt{3})^n = a_n + b_n\sqrt{3} \quad \text{et} \quad 3b_n^2 = a_n^2 - 1.$
(b) Montrer que la partie entière de $(2 + \sqrt{3})^n$ est un entier impair.

18Exercice 18

Montrer que

\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}

est un nombre irrationnel.

Cours

1Approximations d'un réel

2Relation d'ordre sur

\mathbb{R}

3Intervalles de

\mathbb{R}

Méthodes7

Démontrer l'irrationalité

Méthodes principales : (1) Par l'absurde : supposer

x = \frac{p}{q}

irréductible et aboutir à une contradiction. (2) Exprimer un irrationnel connu en fonction du nombre étudié. (3) Utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Résolution d'équations fonctionnelles