The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Définition d'une série entière et rayon de convergence

Définition—Série entière

On appelle série entière toute série de fonctions de la variable complexe ou réelle de la forme

\sum a_{n} z^{n}

où

(a_{n}) \in C^{N}

Remarque

On s'autorise un abus de notation en confondant

z^{n}

et la fonction

z \mapsto z^{n}

Lemme—Lemme d'Abel

Soient

(a_{n}) \in C^{N}

r \in R_{+}^{*}

. Si la suite

(a_{n} r^{n})

est bornée, alors pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < r

, la série

\sum a_{n} z^{n}

converge absolument.

Définition—Rayon de convergence

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière. On appelle rayon de convergence de cette série entière la borne supérieure

sup {r \in R_{+}, (a_{n} r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e} \in R_{+} \cup {+ \infty}

Remarque

Si la suite

(a_{n})

est bornée, le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} z^{n}

est supérieur ou égal à 1.

Proposition

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Soit

z \in C

.

• Si

∣ z ∣ < R

, alors

\sum a_{n} z^{n}

converge absolument.

• Si

∣ z ∣ > R

, alors

\sum a_{n} z^{n}

diverge grossièrement.

Remarque

∣ z ∣ = R

, on ne peut rien dire.

Corollaire

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Soit

z \in C

.

• Si

\sum a_{n} z^{n}

converge, alors

R \geq ∣ z ∣

.

• Si

\sum a_{n} z^{n}

diverge, alors

R \leq ∣ z ∣

Remarque

Si la suite

(a_{n})

ne converge pas vers 0, la série

\sum a_{n}

diverge. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} z^{n}

est inférieur ou égal à 1.

Exemple

Considérons la série entière

\sum cos (n) z^{n}

. Notons

R

son rayon de convergence.

• La suite de terme général

cos (n)

est bornée donc

R \geq 1

.

• La suite

(cos (n))

ne converge pas vers 0. Donc

R \leq 1

.

Ainsi

R = 1

Encadré—Règle de d'Alembert

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive telle que

n \to + \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

.

• Si

ℓ < 1

, alors la série

\sum u_{n}

converge absolument.

• Si

ℓ > 1

, alors la série

\sum u_{n}

diverge grossièrement.

Remarque. Si

ℓ = 1

, on ne peut rien dire.

Attention

La suite

(\frac{u _{n + 1}}{u _{n}})

peut ne pas avoir de limite.

Proposition

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

telle que

(a_{n})

ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

Si

n \to + \infty lim \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

, alors

R = \frac{1}{ℓ}

Remarque

R = 0

ℓ = + \infty

R = + \infty

ℓ = 0

Exemple

• La série entière

\sum z^{n}

a pour rayon de convergence 1 et pour somme

\frac{1}{1 - z}

.

• La série entière

\sum \frac{z ^{n}}{n !}

a un rayon de convergence infini et a pour somme

e^{z}

Application

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum (n 2 n) z^{n}

Correction bientôt disponible

Attention

On ne peut pas toujours utiliser la règle de d'Alembert pour calculer le rayon de convergence d'une série de cette manière. Par exemple, la suite

(\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣})

peut ne pas avoir de limite ou la suite

(a_{n})

peut s'annuler une infinité de fois.

Exemples

Considérons la série entière

\sum a_{n} z^{n}

avec

a_{n} = 2^{n}

n

est pair et

a_{n} = 3^{n}

n

est impair. On note

R

son rayon de convergence.

La suite de terme général

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

n'admet pas de limite puisqu'elle prend alternativement les valeurs

\frac{3}{2}

\frac{2}{3}

.

Néanmoins la suite de terme général

u_{n} = \frac{a _{n}}{9 ^{n}}

est bornée puisque

u_{2 n} = \frac{4 ^{n}}{9 ^{n}} \leq 1

u_{2 n + 1} = 3

. Ainsi

R \geq \frac{1}{9}

. Mais si

r > \frac{1}{9}

, la suite de terme général

v_{n} = a_{n} r^{n}

n'est pas bornée puisque la suite extraite de terme général

v_{2 n + 1} = 3 \cdot (9 r)^{n}

diverge vers

+ \infty

. Ainsi le rayon de convergence vaut

\frac{1}{9}

Définition—Disque ouvert/intervalle ouvert de convergence

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

.

• On appelle disque ouvert de convergence le disque

D (0, R) = {z \in C, ∣ z ∣ < R}

.

• On appelle intervalle ouvert de convergence l'intervalle

] - R, R [

Remarque

R = + \infty

, le disque ouvert de convergence est

C

tandis que l'intervalle ouvert de convergence est

R

Encadré—Convergence au bord du disque ouvert de convergence

On ne peut rien dire quant à la convergence d'une série entière au bord du disque ouvert de convergence. Par exemple, la série

\sum \frac{z ^{n}}{n}

a pour rayon de convergence 1 (critère de d'Alembert). La série harmonique

\sum \frac{1}{n}

diverge tandis que la série harmonique alternée

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge. On peut en fait montrer que si

∣ z ∣ = 1

, la série

\sum \frac{z ^{n}}{n}

converge si et seulement si

z \neq = 1

1.2. Comparaison de séries entières

Proposition

Soient

\sum a_{n} z^{n}

\sum b_{n} z^{n}

deux séries entières de rayons de convergence respectifs

R_{a}

R_{b}

.

• Si

∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣

à partir d'un certain rang, alors

R_{a} \geq R_{b}

.

• Si

a_{n} n \to + \infty = O (b_{n})

, alors

R_{a} \geq R_{b}

.

• Si

∣ a_{n} ∣ n \to + \infty \sim ∣ b_{n} ∣

, alors

R_{a} = R_{b}

1.3. Opérations sur les séries entières

Proposition—Somme de deux séries entières

Soient

\sum a_{n} z^{n}

\sum b_{n} z^{n}

deux séries entières de rayons de convergence respectifs

R_{a}

R_{b}

.

Alors le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}

vérifie

R \geq min (R_{a}, R_{b})

.

De plus, pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < min (R_{a}, R_{b})

n = 0 \sum + \infty (a_{n} + b_{n}) z^{n} = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n} + n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}

1. Généralités

1.1. Définition d'une série entière et rayon de convergence

Définition—Série entière

On appelle série entière toute série de fonctions de la variable complexe ou réelle de la forme

\sum a_{n} z^{n}

où

(a_{n}) \in C^{N}

Remarque

On s'autorise un abus de notation en confondant

z^{n}

et la fonction

z \mapsto z^{n}

Lemme—Lemme d'Abel

Soient

(a_{n}) \in C^{N}

r \in R_{+}^{*}

. Si la suite

(a_{n} r^{n})

est bornée, alors pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < r

, la série

\sum a_{n} z^{n}

converge absolument.

Définition—Rayon de convergence

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière. On appelle rayon de convergence de cette série entière la borne supérieure

sup {r \in R_{+}, (a_{n} r^{n}) est born \overset{e}{ˊ} e} \in R_{+} \cup {+ \infty}

Remarque

Si la suite

(a_{n})

est bornée, le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} z^{n}

est supérieur ou égal à 1.

Proposition

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Soit

z \in C

.

• Si

∣ z ∣ < R

, alors

\sum a_{n} z^{n}

converge absolument.

• Si

∣ z ∣ > R

, alors

\sum a_{n} z^{n}

diverge grossièrement.

Remarque

∣ z ∣ = R

, on ne peut rien dire.

Corollaire

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Soit

z \in C

.

• Si

\sum a_{n} z^{n}

converge, alors

R \geq ∣ z ∣

.

• Si

\sum a_{n} z^{n}

diverge, alors

R \leq ∣ z ∣

Remarque

Si la suite

(a_{n})

ne converge pas vers 0, la série

\sum a_{n}

diverge. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} z^{n}

est inférieur ou égal à 1.

Exemple

Considérons la série entière

\sum cos (n) z^{n}

. Notons

R

son rayon de convergence.

• La suite de terme général

cos (n)

est bornée donc

R \geq 1

.

• La suite

(cos (n))

ne converge pas vers 0. Donc

R \leq 1

.

Ainsi

R = 1

Encadré—Règle de d'Alembert

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive telle que

n \to + \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

.

• Si

ℓ < 1

, alors la série

\sum u_{n}

converge absolument.

• Si

ℓ > 1

, alors la série

\sum u_{n}

diverge grossièrement.

Remarque. Si

ℓ = 1

, on ne peut rien dire.

Attention

La suite

(\frac{u _{n + 1}}{u _{n}})

peut ne pas avoir de limite.

Proposition

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

telle que

(a_{n})

ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

Si

n \to + \infty lim \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

, alors

R = \frac{1}{ℓ}

Remarque

R = 0

ℓ = + \infty

R = + \infty

ℓ = 0

Exemple

• La série entière

\sum z^{n}

a pour rayon de convergence 1 et pour somme

\frac{1}{1 - z}

.

• La série entière

\sum \frac{z ^{n}}{n !}

a un rayon de convergence infini et a pour somme

e^{z}

Application

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum (n 2 n) z^{n}

Correction bientôt disponible

Attention

On ne peut pas toujours utiliser la règle de d'Alembert pour calculer le rayon de convergence d'une série de cette manière. Par exemple, la suite

(\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣})

peut ne pas avoir de limite ou la suite

(a_{n})

peut s'annuler une infinité de fois.

Exemples

Considérons la série entière

\sum a_{n} z^{n}

avec

a_{n} = 2^{n}

n

est pair et

a_{n} = 3^{n}

n

est impair. On note

R

son rayon de convergence.

La suite de terme général

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

n'admet pas de limite puisqu'elle prend alternativement les valeurs

\frac{3}{2}

\frac{2}{3}

.

Néanmoins la suite de terme général

u_{n} = \frac{a _{n}}{9 ^{n}}

est bornée puisque

u_{2 n} = \frac{4 ^{n}}{9 ^{n}} \leq 1

u_{2 n + 1} = 3

. Ainsi

R \geq \frac{1}{9}

. Mais si

r > \frac{1}{9}

, la suite de terme général

v_{n} = a_{n} r^{n}

n'est pas bornée puisque la suite extraite de terme général

v_{2 n + 1} = 3 \cdot (9 r)^{n}

diverge vers

+ \infty

. Ainsi le rayon de convergence vaut

\frac{1}{9}

Définition—Disque ouvert/intervalle ouvert de convergence

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

.

• On appelle disque ouvert de convergence le disque

D (0, R) = {z \in C, ∣ z ∣ < R}

.

• On appelle intervalle ouvert de convergence l'intervalle

] - R, R [

Remarque

R = + \infty

, le disque ouvert de convergence est

C

tandis que l'intervalle ouvert de convergence est

R

Encadré—Convergence au bord du disque ouvert de convergence

On ne peut rien dire quant à la convergence d'une série entière au bord du disque ouvert de convergence. Par exemple, la série

\sum \frac{z ^{n}}{n}

a pour rayon de convergence 1 (critère de d'Alembert). La série harmonique

\sum \frac{1}{n}

diverge tandis que la série harmonique alternée

\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

converge. On peut en fait montrer que si

∣ z ∣ = 1

, la série

\sum \frac{z ^{n}}{n}

converge si et seulement si

z \neq = 1

1.2. Comparaison de séries entières

Proposition

Soient

\sum a_{n} z^{n}

\sum b_{n} z^{n}

deux séries entières de rayons de convergence respectifs

R_{a}

R_{b}

.

• Si

∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣

à partir d'un certain rang, alors

R_{a} \geq R_{b}

.

• Si

a_{n} n \to + \infty = O (b_{n})

, alors

R_{a} \geq R_{b}

.

• Si

∣ a_{n} ∣ n \to + \infty \sim ∣ b_{n} ∣

, alors

R_{a} = R_{b}

1.3. Opérations sur les séries entières

Proposition—Somme de deux séries entières

Soient

\sum a_{n} z^{n}

\sum b_{n} z^{n}

deux séries entières de rayons de convergence respectifs

R_{a}

R_{b}

.

Alors le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}

vérifie

R \geq min (R_{a}, R_{b})

.

De plus, pour tout

z \in C

tel que

∣ z ∣ < min (R_{a}, R_{b})

n = 0 \sum + \infty (a_{n} + b_{n}) z^{n} = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n} + n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}

Séries entières

1. Généralités

1.1. Définition d'une série entière et rayon de convergence

1.2. Comparaison de séries entières

1.3. Opérations sur les séries entières

1. Généralités

1.1. Définition d'une série entière et rayon de convergence

1.2. Comparaison de séries entières

1.3. Opérations sur les séries entières