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Séries entières | The Maths Tailor

Séries entières

Cours Exercices

Cours

1Généralités

2Régularité de la somme

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3Fonctions développables en série entière et développements usuels

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Méthodes11p.1/2

TunnelCalculer le rayon de convergence d'une série entière

Pour calculer le rayon de convergence d'une série entière, on peut

utiliser la règle de d'Alembert (uniquement pour des exemples concrets); si la série entière est de la forme $n \sum a_{n} z^{n}$ , on pose $u_{n} = a_{n} z^{n}$ et on étudie la limite de $∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣$ . La série va converger si cette limite est inférieure stricte à 1, diverger si la limite est supérieure stricte à 1.
trouver un encadrement ou un équivalent du terme général et revenir à la définition du rayon de convergence : si $(a_{n} z^{n})$ est bornée si et seulement si $∣ z ∣ < R$ , alors $R$ est le rayon de convergence de la série $n \sum a_{n} z^{n}$ .

ClassiqueCalculer le terme général d'une suite récurrente à l'aide d'une série entière

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ClassiqueRayon d'une série entière transformée

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ClassiqueRésoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières

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ClassiqueLimite au bord par le théorème d'Abel

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ClassiqueÉquivalent de la somme au bord

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TunnelDémontrer qu'une fonction est développable en série entière

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TunnelRésoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières

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TunnelDéterminer un développement en série entière

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ClassiqueDéterminer la somme d'une série entière

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1 / 2

Exercices

Rayon d'une récurrence a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} x^{n}

où

(a_{n})

est la suite déterminée par

a_{0} = α, a_{1} = β et \forall n \in N, a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}

avec

(α, β) \in R^{2}

.

Indication

Rayon de convergence de π^{n^{2} + 2 n} x^{2 n}

Quel est le rayon de convergence de

\sum π^{n^{2} + 2 n} x^{2 n}

?

Indication

Rayon de convergence de \sum cos (n α) / n x^{n}

Soit

α \in R

. Quel est le rayon de convergence de

n \geq 1 \sum \frac{cos ( n α )}{n} x^{n}

?

Indication

Rayon, séries des diviseurs de n

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

n \geq 1 \sum d (n) z^{n} et n \geq 1 \sum s (n) z^{n}

où

d (n)

et

s (n)

désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à

1

de l'entier

n

et la somme de ceux-ci.

Indication

Rayon nul d'une série en 1/ sin (nπ α)

Soit

α

un réel irrationnel fixé. On note

R_{α}

le rayon de convergence de la série entière

n \geq 1 \sum \frac{x ^{n}}{sin ( nπ α )}

.

Démontrer que $R_{α} \leq 1$ .
On considère la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ définie par $u_{1} = 2$ et $\forall n \geq 1, u_{n + 1} = (u_{n})^{u_{n}}$ . Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$ , $\frac{u _{n}}{u _{n + 1}} \leq \frac{1}{( n + 1 ) ^{n}}$ . En déduire que la série de terme général $1/ u_{n}$ converge. Dans la suite, on pose $α = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{n}}$ et on admet que $α$ est irrationnel.
Démontrer qu'il existe une constante $C$ strictement positive telle que, pour tout entier $n \geq 1$ : $π u_{n} k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{k}} \leq \frac{C}{u _{n}^{u_{n} - 1}}$ .
Démontrer que $R_{α} = 0$ .
Question subsidiaire : démontrer que $α$ est effectivement irrationnel.

Indication

Rayon via n ∣ a_{n} ∣ \to ℓ

On suppose que

n ∣ a_{n} ∣ \to ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

. Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n} z^{n}

.

Indication

Rayon de convergence de n! et (n 2 n)

Déterminer le rayon de convergence de :

$n \geq 0 \sum n! z^{n}$
$n \geq 0 \sum (n 2 n) z^{n}$
$n \geq 0 \sum \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}} z^{n}$
$n \geq 0 \sum (n + 1 n + 1 - n n) z^{n}$

Indication

Série des décimales de 3

On note

a_{n}

la

n

-ième décimale de

3

. Quel est l'intervalle de définition de

n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

?

Indication