Soit (an) une suite de complexes non nuls (au moins à partir d'un certain rang). On suppose que ∣an∣∣an+1∣n→+∞ℓ∈R+∪{+∞}.
• Si ℓ<1, alors ∑an converge absolument.
• Si ℓ>1, alors ∑an diverge grossièrement.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
La série n∈N∑nnn! converge.
Remarque
On ne peut a priori pas conclure si n→+∞lim∣an∣∣an+1∣=1 ou si la suite de terme général ∣an∣∣an+1∣ n'admet pas de limite.
Exemple
Posons an=1 et bn=(n+1)21 pour n∈N. Alorsn→+∞lim∣an∣∣an+1∣=n→+∞lim∣bn∣∣bn+1∣=1mais n∈N∑an diverge tandis que n∈N∑bn converge.
Attention
Il s'agit bien de limites dans l'énoncé de la règle de d'Alembert. Le fait d'avoir ∣an∣∣an+1∣<1 ou ∣an∣∣an+1∣>1 ne permet pas de conclure. En prenant an=n1 pour tout n∈N∗, on a ∣an∣∣an+1∣<1 pour tout n∈N∗ mais la série n∈N∗∑an diverge.
Exemple—Série exponentielle
Pour tout z∈C, la série exponentielle n∈N∑n!zn converge absolument.
