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Cours Exercices

Cours

1Comparaison à une série géométrique

2Comparaison série-intégrale

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3Sommation des relations de comparaison

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Méthodes6

ClassiqueDemontrer qu'une serie a termes de signe constant converge

Pour demontrer qu'une serie $n \sum u_{n}$ converge, ou la suite $(u_{n})$ est une suite de reels qui garde un signe constant, on peut

trouver une suite $(v_{n})$ dont la convergence de la serie $n \sum v_{n}$ est connue (par exemple, $v_{n} = \frac{1}{n ^{α}}$ avec $α > 1$ ou $v_{n} = a^{n}$ avec $0 < a < 1$ ) telle que $u_{n} \sim_{+ \infty} v_{n}$ . Pour obtenir un tel equivalent, on pourra notamment utiliser des developpements limites.
trouver une suite $(v_{n})$ dont la convergence de la serie $n \sum v_{n}$ est connue telle que $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ .
demontrer que les sommes partielles sont majorees.
utiliser le critere de d'Alembert, particulierement approprie si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles.

ClassiqueDemontrer qu'une serie a termes de signe constant diverge

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PavlovEtudier une suite a l'aide des series

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ClassiqueDemontrer qu'une serie a terme quelconque converge ou diverge

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ClassiqueEncadrer une somme partielle ou un reste par comparaison série-intégrale

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ClassiqueCalculer la valeur exacte de la somme d'une série

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Exercices

CCINP (ou CCP) MP 2021

Étude d'une suite

(u_{n})

définie par une intégrale.

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ , il existe un unique $u_{n} \in] 0, 1]$ tel que $\int_{u_{n}}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t = n$ . On pourra considérer la fonction $x \mapsto \int_{x}^{1} \frac{e ^{t}}{t} d t$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ et sa limite.
On pose $v_{n} = n + ln u_{n}$ . Montrer que $(v_{n})$ converge et exprimer sa limite sous forme d'une intégrale.
Quelle est la nature de la série $\sum u_{n}$ ?

Indication

Série e^{a n^{2}} (1 - a / n)^{n^{3}}

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = e^{a n^{2}} (1 - \frac{a}{n})^{n^{3}}

.

Indication

Banque Mines-Ponts MP 2021

Soit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

une suite réelle telle que

a_{1} = 1

et

\forall n \geq 2, a_{n} = 2 a_{⌊ n /2 ⌋}

.
Montrer que

(a_{n})

est définie, puis que la série

n \in N^{*} \sum \frac{1}{a _{n}^{2}}

converge et calculer sa somme.

Indication

Mines-Télécom MP 2024

Soit

α > 0

. Posons

u_{n} = arctan (n + α) - arctan (n)

. Déterminer la nature de la série

\sum u_{n}

. On utilisera l'inégalité des accroissements finis.

Indication

Lien entre u_{n} et n u_{n}^{2}

Soit

(u_{n})_{n \in N}

une suite réelle décroissante et positive. On pose

v_{n} = n u_{n}^{2}

. Montrer que

\sum u_{n}

converge si, et seulement si,

\sum v_{n}

converge.

Indication

Preuve de la formule de Stirling

Soit

f : [1; + \infty [\to R

une fonction de classe

C^{1}

dont la dérivée est décroissante et de limite nulle.

Soit $k \in N^{*}$ . Établir $0 \leq \int_{k}^{k + 1} f (t) d t - \frac{1}{2} (f (k) + f (k + 1)) \leq \frac{1}{8} (f^{'} (k) - f^{'} (k + 1)) .$
En déduire que $S_{n} = \int_{1}^{n} f (t) d t - (\frac{1}{2} f (1) + f (2) + \dots + f (n - 1) + \frac{1}{2} f (n))$ admet une limite finie lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
Application : On considère la fonction $f : x \mapsto - ln (x)$ . Établir la convergence de la suite de terme général $σ_{n} = ln (n!) - (n + \frac{1}{2}) ln (n) + n$ .

Indication

Somme \sum 1/ (1^{2} + \dots + n^{2})

Convergence puis calcul de

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + n ^{2}}

.

Indication

Équivalent de a_{n + 1} = 1 - e^{- a_{n}}

Soit

(a_{n})

une suite de premier terme

a_{0} = 1

telle que

a_{n + 1} = 1 - e^{- a_{n}}

pour tout

n \in N

.

Étudier la convergence et la limite de la suite $(a_{n})$ .
Étudier la convergence de la série $\sum a_{n}^{2}$ . On pourra considérer $a_{n} - a_{n + 1}$ .
Déterminer un équivalent de $a_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .

Indication