The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Définitions

Remarque

\mathbb{K}

désigne le corps

\mathbb{R}

\mathbb{C}

Définition—Série

Soit

(u_n)_{n \geq n_0}

une suite numérique (i.e. à valeurs dans

\mathbb{K}

). On appelle série de terme général $u_n$ la suite

(S_n)_{n \geq n_0}

où

\forall n \geq n_0, \quad S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k

\nCette série est notée

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

ou plus simplement

\sum u_n

s'il n'y a pas ambiguïté sur le premier terme.
\nPour

n \geq n_0

S_n

est appelée somme partielle de rang $n$ de cette série.

Remarque

Une série est donc un cas particulier de suite.

Exemple

On appelle série arithmétique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite arithmétique.
\nPar exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} n

est une série arithmétique. Sa somme partielle de rang

n

est

\dfrac{n(n + 1)}{2}

Exemple

On appelle série géométrique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite géométrique. Par exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} 2^n

est une série géométrique. Sa somme partielle de rang

n

est

2^n - 1

Exemple

On appelle série harmonique la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n}

Exemple

On appelle série télescopique toute série dont le terme général est de la forme

u_n = v_n - v_{n-1}

. La somme partielle de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n

est

v_n - v_0

Remarque

La suite des sommes partielles de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est croissante (resp. décroissante) si et seulement si la suite

(u_n)_{n \geq n_0+1}

est positive (resp. négative).

1.2. Nature et somme d'une série

Définition—Convergence et divergence

On dit qu'une série converge (resp. diverge) si la suite de ses sommes partielles converge (resp. diverge).

Remarque

La convergence d'une série ne dépend pas du premier rang i.e. les séries

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

\displaystyle\sum_{n \geq n_1} u_n

sont de même nature.

1.3. Opérations sur les séries

Remarque

La proposition suivante n'est qu'une conséquence de la linéarité de la limite.

Proposition—Linéarité de la somme

Soient

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} v_n

deux séries numériques convergentes et

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

. Alors la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} (\lambda u_n + \mu v_n)

converge et

\sum_{n=n_0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda \sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n

1.4. Divergence grossière

Proposition

Soit

\sum u_n

une série convergente. Alors la suite

(u_n)

converge vers

0

1.5. Séries usuelles

Proposition—Série géométrique

Soit

q \in \mathbb{C}

. La série géométrique

\sum q^n

converge si et seulement si

|q| < 1

.
\nDans ce cas,

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{1}{1 - q}

1.6. Reste d'une série convergente

Définition—Reste d'une série convergente

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série convergente. Pour tout

n \geq n_0

, la série

\displaystyle\sum_{k \geq n+1} u_k

est convergente et on appelle sa somme le reste de rang $n$ de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

. Autrement dit, le reste de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est

\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k

1. Généralités

1.1. Définitions

Remarque

\mathbb{K}

désigne le corps

\mathbb{R}

\mathbb{C}

Définition—Série

Soit

(u_n)_{n \geq n_0}

une suite numérique (i.e. à valeurs dans

\mathbb{K}

). On appelle série de terme général $u_n$ la suite

(S_n)_{n \geq n_0}

où

\forall n \geq n_0, \quad S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k

\nCette série est notée

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

ou plus simplement

\sum u_n

s'il n'y a pas ambiguïté sur le premier terme.
\nPour

n \geq n_0

S_n

est appelée somme partielle de rang $n$ de cette série.

Remarque

Une série est donc un cas particulier de suite.

Exemple

On appelle série arithmétique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite arithmétique.
\nPar exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} n

est une série arithmétique. Sa somme partielle de rang

n

est

\dfrac{n(n + 1)}{2}

Exemple

On appelle série géométrique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite géométrique. Par exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} 2^n

est une série géométrique. Sa somme partielle de rang

n

est

2^n - 1

Exemple

On appelle série harmonique la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n}

Exemple

On appelle série télescopique toute série dont le terme général est de la forme

u_n = v_n - v_{n-1}

. La somme partielle de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n

est

v_n - v_0

Remarque

La suite des sommes partielles de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est croissante (resp. décroissante) si et seulement si la suite

(u_n)_{n \geq n_0+1}

est positive (resp. négative).

1.2. Nature et somme d'une série

Définition—Convergence et divergence

On dit qu'une série converge (resp. diverge) si la suite de ses sommes partielles converge (resp. diverge).

Remarque

La convergence d'une série ne dépend pas du premier rang i.e. les séries

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

\displaystyle\sum_{n \geq n_1} u_n

sont de même nature.

1.3. Opérations sur les séries

Remarque

La proposition suivante n'est qu'une conséquence de la linéarité de la limite.

Proposition—Linéarité de la somme

Soient

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} v_n

deux séries numériques convergentes et

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

. Alors la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} (\lambda u_n + \mu v_n)

converge et

\sum_{n=n_0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda \sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n

1.4. Divergence grossière

Proposition

Soit

\sum u_n

une série convergente. Alors la suite

(u_n)

converge vers

0

1.5. Séries usuelles

Proposition—Série géométrique

Soit

q \in \mathbb{C}

. La série géométrique

\sum q^n

converge si et seulement si

|q| < 1

.
\nDans ce cas,

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{1}{1 - q}

1.6. Reste d'une série convergente

Définition—Reste d'une série convergente

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série convergente. Pour tout

n \geq n_0

, la série

\displaystyle\sum_{k \geq n+1} u_k

est convergente et on appelle sa somme le reste de rang $n$ de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

. Autrement dit, le reste de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est

\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k

Séries numériques

1. Généralités

1.1. Définitions

1.2. Nature et somme d'une série

1.3. Opérations sur les séries

1.4. Divergence grossière

1.5. Séries usuelles

1.6. Reste d'une série convergente

1. Généralités

1.1. Définitions

1.2. Nature et somme d'une série

1.3. Opérations sur les séries

1.4. Divergence grossière

1.5. Séries usuelles

1.6. Reste d'une série convergente