Soit (un)n≥n0 une suite numérique (i.e. à valeurs dans K). On appelle série de terme général un la suite (Sn)n≥n0 où
∀n≥n0,Sn=k=n0∑nuk \nCette série est notée n≥n0∑un ou plus simplement ∑un s'il n'y a pas ambiguïté sur le premier terme. \nPour n≥n0, Sn est appelée somme partielle de rang n de cette série.
Remarque
Une série est donc un cas particulier de suite.
Exemples
On appelle série arithmétique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite arithmétique. \nPar exemple, n≥0∑n est une série arithmétique. Sa somme partielle de rang n est 2n(n+1).
Remarque
La suite des sommes partielles de la série n≥n0∑un est croissante (resp. décroissante) si et seulement si la suite (un)n≥n0+1 est positive (resp. négative).
1.2. Nature et somme d'une série
Définition—Convergence et divergence
On dit qu'une série converge (resp. diverge) si la suite de ses sommes partielles converge (resp. diverge).
Remarque
La convergence d'une série ne dépend pas du premier rang i.e. les séries n≥n0∑un et n≥n1∑un sont de même nature.
1.3. Opérations sur les séries
Remarque
La proposition suivante n'est qu'une conséquence de la linéarité de la limite.
Proposition—Linéarité de la somme
Soient n≥n0∑un et n≥n0∑vn deux séries numériques convergentes et (λ,μ)∈K2. Alors la série n≥n0∑(λun+μvn) converge et
n=n0∑+∞(λun+μvn)=λn=n0∑+∞un+μn=n0∑+∞vn
1.4. Divergence grossière
Proposition
Soit ∑un une série convergente. Alors la suite (un) converge vers 0.
1.5. Séries usuelles
Proposition—Série géométrique
Soit q∈C. La série géométrique ∑qn converge si et seulement si ∣q∣<1. \nDans ce cas,
n=0∑+∞qn=1−q1
1.6. Reste d'une série convergente
Définition—Reste d'une série convergente
Soit n≥n0∑un une série convergente. Pour tout n≥n0, la série k≥n+1∑uk est convergente et on appelle sa somme le reste de rang n de la série n≥n0∑un. Autrement dit, le reste de rang n de la série n≥n0∑un est
On appelle série géométrique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite géométrique. Par exemple, n≥0∑2n est une série géométrique. Sa somme partielle de rang n est 2n−1.
On appelle série harmonique la série n≥1∑n1.
On appelle série télescopique toute série dont le terme général est de la forme un=vn−vn−1. La somme partielle de rang n de la série n≥1∑un est vn−v0.
Définition—Somme d'une série
Si la série n≥n0∑un converge, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme de la série et est notée n=n0∑+∞un.
Remarques
On a donc n=n0∑+∞un=n→+∞limk=n0∑nuk.
Aussi surprenant cela puisse-t-il paraître, une somme infinie de termes, fussent-ils tous positifs, peut se révéler être finie.
Attention
La notation n=n0∑+∞un n'a de sens que si la série n≥n0∑un converge. Il faut donc prouver la convergence de la série avant d'employer cette notation.
Proposition—Lien suite/série
La série télescopique ∑(un−un−1) et la suite (un) sont de même nature (i.e. elles convergent toutes les deux ou elles divergent toutes les deux). \nDe plus, si (un) converge vers une limite ℓ,
n=n0∑+∞un−un−1=ℓ−un0−1
Démonstration
Notons Sn=∑k=n0n(uk−uk−1) la somme partielle de rang n de la série télescopique ∑(un−un−1). Par définition (Définition 1.1), Sn est une somme télescopique :
Sn=k=n0∑n(uk−uk−1)=un−un0−1 \nAinsi Sn=un−un0−1. Comme un0−1 est une constante, la suite (Sn) converge si et seulement si la suite (un) converge. Les deux suites sont donc de même nature (Définition 1.2). \nDe plus, si (un) converge vers ℓ, alors par passage à la limite :
Identification comme série télescopique. On remarque que pour tout n≥1, n(n+1)1=n1−n+11 par décomposition en éléments simples (ou par vérification directe). Ainsi un=vn−vn+1 avec vn=n1, ce qui est de la forme d'une série télescopique (d'après l'Exemple 1.4, avec un=vn−vn−1 adaptée ici au décalage).
Calcul de la somme partielle. La somme partielle de rang n de la série ∑n≥1n(n+1)1 est : Sn=k=1∑nk(k+1)1=k=1∑n(k1−k+11)=1−n+11 par télescopage (les termes intermédiaires se simplifient deux à deux).
Convergence et somme. D'après la Définition 1.2, la série converge si et seulement si la suite (Sn) converge. Or : n→+∞limSn=n→+∞lim(1−n+11)=1
Donc la série ∑n≥1n(n+1)1 converge et, d'après la Définition 1.3 : n=1∑+∞n(n+1)1=1
Remarque
On appelle série de Taylor une série de la forme n∈N∑n!f(n)(a)(x−a)n. On ne peut a priori rien dire sur ce type de série mais dans le cas où elle converge vers f(x) (attention, ce n'est pas toujours le cas), on peut éventuellement le montrer grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Application—Taylor-Lagrange
À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange prouver la convergence et déterminer la somme des séries suivantes
1. n≥0∑n!xn pour x∈R ;
2. n∈N∑(2n)!(−1)nx2n et n∈N∑(2n+1)!(−1)nx2n+1 pour x∈R.
3. n≥1∑n(−1)n−1xn pour x∈[0,1].
Correction
1. Convergence et somme de ∑n≥0n!xn. Fixons x∈R. La fonction t↦et est de classe C∞ sur R et sa dérivée d'ordre n est t↦et. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne, pour tout n∈N, en appliquant le développement de et au point 0 évalué en t=x : ex−k=0∑nk!xk≤(n+1)!∣x∣n+1e∣x∣ Or (n+1)!∣x∣n+1→0 quand n→+∞ (terme général d'une série convergente, par exemple ∑n!∣x∣n dont la convergence peut être montrée par la règle de d'Alembert). Donc la suite des restes tend vers 0, et par définition : n=0∑+∞n!xn=ex
2. Séries de cosinus et de sinus. Fixons x∈R. La fonction t↦cost est C∞, avec cos(2k)(0)=(−1)k et cos(2k+1)(0)=0. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne : cosx−k=0∑n(2k)!(−1)kx2k≤(2n+2)!∣x∣2n+2 ce qui tend vers 0, donc n=0∑+∞(2n)!(−1)nx2n=cosx. De même, pour sinx, l'inégalité de Taylor-Lagrange donne n=0∑+∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=sinx.
3. Série de logarithme sur [0,1]. Fixons x∈[0,1]. La fonction t↦ln(1+t) est C∞ sur (−1,+∞), avec ln(1+t)(n)∣t=0=(−1)n−1(n−1)! pour n≥1. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne : ln(1+x)−k=1∑nk(−1)k−1xk≤n+1xn+1⋅(1+θx)n+11 pour un certain θ∈(0,1). Pour x∈[0,1], (1+θx)n+1≥1, donc le reste est majoré par n+1xn+1≤n+11→0. Ainsi n=1∑+∞n(−1)n−1xn=ln(1+x) pour x∈[0,1].
Méthode—Changement d'indice
Il est possible d'effectuer des changements d'indices dans la somme d'une série. C'est même plus simple que pour une somme finie. Par exemple, supposons que la série n∈N∑un converge. Effectuons par exemple le changement d'indice p=n+1.
n=0∑+∞un=N→+∞limn=0∑Nun=N→+∞limp=1∑N+1up−1=p=1∑+∞up−1 \nEn pratique, on ne passe pas par la limite des sommes partielles et on écrit directement
n=0∑+∞un=p=1∑+∞up−1
Démonstration
Notons Sn=∑k=n0nuk, Tn=∑k=n0nvk et Un=∑k=n0n(λuk+μvk) les sommes partielles respectives. Par linéarité de la somme finie :
Un=k=n0∑n(λuk+μvk)=λk=n0∑nuk+μk=n0∑nvk=λSn+μTn \nPar hypothèse, les séries ∑un et ∑vn convergent : (Sn) converge vers S=∑n=n0+∞un et (Tn) converge vers T=∑n=n0+∞vn (Définition 1.3). Par linéarité de la limite des suites :
n→+∞limUn=λS+μT \nDonc la série ∑(λun+μvn) converge et
n=n0∑+∞(λun+μvn)=λn=n0∑+∞un+μn=n0∑+∞vn
Remarque
En termes plus savants, les séries numériques convergentes forment un K-espace vectoriel et l'application qui à une série convergente associe sa somme est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.
Attention
La réciproque est fausse en général. Par exemple, si ∑(un+vn) converge, on ne peut rien dire de ∑un et ∑vn (prendre par exemple, un=−vn=2n). \nOn évitera à tout prix d'écrire des égalités du type n=n0∑+∞(un+vn)=n=n0∑+∞un+n=n0∑+∞vn avant d'avoir prouvé la convergence des séries n≥n0∑un et n≥n0∑vn.
Proposition
Soit n≥n0∑un une série complexe. Alors n≥n0∑un converge si et seulement si n≥n0∑Re(un) et n≥n0∑Im(un) convergent et dans ce cas
Supposons que ∑un converge. Notons un=Re(un)+iIm(un) et Sn=∑k=n0nuk. Alors Re(Sn)=∑k=n0nRe(uk) et Im(Sn)=∑k=n0nIm(uk). Si (Sn) converge vers un complexe L, alors Re(Sn)→Re(L) et Im(Sn)→Im(L), donc ∑Re(un) et ∑Im(un) convergent. \nRéciproquement, si ∑Re(un) et ∑Im(un) convergent respectivement vers a et b, alors Sn=∑k=n0nRe(uk)+i∑k=n0nIm(uk)→a+ib par linéarité de la limite (Proposition 1.2 appliquée aux séries réelles avec λ=1,μ=i). Donc ∑un converge. \nLes deux relations sur les parties réelle et imaginaire de la somme découlent du passage à la limite dans les égalités ci-dessus.
Application
Soit x∈R. Montrer que la série n∈N∑n!(ix)n converge et a pour somme eix. En déduire la convergence des séries n∈N∑(2n)!(−1)nx2n et n∈N∑(2n+1)!(−1)nx2n+1 et leurs sommes.
Correction
Convergence de ∑n!(ix)n. Fixons x∈R. On a ∣n!(ix)n∣=n!∣x∣n, et la série ∑n!∣x∣n converge vers e∣x∣ d'après la Proposition 1.7 (série exponentielle). Donc la série ∑n!(ix)n est absolument convergente, donc convergente par le Théorème 3.1.
Identification de la somme. On décompose en parties réelle et imaginaire. D'après la Proposition 1.3 : n=0∑+∞n!(ix)n=n=0∑+∞Re(n!(ix)n)+in=0∑+∞Im(n!(ix)n) Or (ix)n=inxn, avec i2k=(−1)k et i2k+1=i(−1)k. Donc : Re(n!(ix)n)=⎩⎨⎧(2k)!(−1)kx2k0si n=2ksi n=2k+1,Im(n!(ix)n)=⎩⎨⎧0(2k+1)!(−1)kx2k+1si n=2ksi n=2k+1
Donc, en séparant les termes pairs et impairs : n=0∑+∞n!(ix)n=k=0∑+∞(2k)!(−1)kx2k+ik=0∑+∞(2k+1)!(−1)kx2k+1
D'après l'Exercice 1.2 (question 2), k=0∑+∞(2k)!(−1)kx2k=cosx et k=0∑+∞(2k+1)!(−1)kx2k+1=sinx.
Ainsi n=0∑+∞n!(ix)n=cosx+isinx=eix (formule d'Euler).
Conclusion. La série n∈N∑n!(ix)n converge et a pour somme eix. Les séries n∈N∑(2n)!(−1)nx2n et n∈N∑(2n+1)!(−1)nx2n+1 convergent et ont pour sommes respectives cosx et sinx.
Proposition—Conjugaison
Soit n≥n0∑un une série numérique. Alors les séries n≥n0∑un et n≥n0∑un sont de même nature. \nEn cas de convergence,
n=n0∑+∞un=n=n0∑+∞un
Démonstration
Notons Sn=∑k=n0nuk et Sn=∑k=n0nuk (la conjugaison commute avec la somme finie). On a Sn=∑k=n0nuk. \nLa conjugaison est continue sur C (application linéaire), donc (Sn) converge si et seulement si (Sn) converge. Les deux séries sont donc de même nature (Définition 1.2). \nEn cas de convergence, en passant à la limite dans Sn=Sn et en utilisant la continuité de la conjugaison :
Soit ∑un une série convergente de sommes partielles (Sn). Par définition (Définition 1.2), (Sn) converge vers une limite S (Définition 1.3). \nOr, pour tout n≥n0+1, on a un=Sn−Sn−1. \nPar linéarité de la limite :
n→+∞limun=n→+∞lim(Sn−Sn−1)=S−S=0 \nDonc la suite (un) converge vers 0.
Attention
La réciproque est absolument fausse. Par exemple, la suite de terme général n1 converge vers 0 tandis que la série harmonique diverge.
Définition—Divergence grossière
Une série ∑un est dite grossièrement divergente lorsque la suite (un) ne converge pas vers 0.
Exemple
Si ∣q∣≥1, la série ∑qn diverge grossièrement. \nLa série ∑n1 ne diverge pas grossièrement.
Démonstration
Soit q∈C. La somme partielle de rang n de la série ∑qn est, pour q=1 :
Sn=k=0∑nqk=1−q1−qn+1
Cas ∣q∣<1 : La suite (qn+1) converge vers 0 car ∣qn+1∣=∣q∣n+1→0. Donc Sn→1−q1, et la série converge.
Cas ∣q∣≥1 : Si ∣q∣>1, alors ∣qn∣=∣q∣n→+∞, donc (qn) ne converge pas vers 0. Par la Proposition 1.5 (divergence grossière), la série ∑qn diverge. \nSi ∣q∣=1 et q=1, on a ∣Sn∣=1−q1−qn+1≤∣1−q∣2, mais (qn) ne converge pas vers 0 (car ∣qn∣=1), donc la série diverge encore par la Proposition 1.5. \nSi q=1, Sn=n+1→+∞, donc la série diverge.
Application
Nature et somme de la série n∈N∑nqn.
Correction
Cas ∣q∣≥1. Si ∣q∣≥1, le terme général nqn vérifie ∣nqn∣=n∣q∣n≥n→+∞. En particulier (nqn) ne converge pas vers 0, donc la série ∑nqn diverge grossièrement (Définition 1.4, Proposition 1.5).
Cas ∣q∣<1. Montrons que la série ∑nqn converge. D'après la Proposition 1.6, la série géométrique ∑n∈Nqn converge avec n=0∑+∞qn=1−q1. On cherche à calculer ∑nqn en utilisant la dérivation terme à terme.
On note que, pour ∣q∣<1 et N∈N : n=0∑Nnqn=qdqdn=0∑Nqn=qdqd1−q1−qN+1
On calcule directement la somme partielle de ∑nqn via l'astuce suivante. On sait que SN=∑n=0Nqn=1−q1−qN+1. En dérivant par rapport à q : n=1∑Nnqn−1=dqdSN
Alternativement, on pose TN=∑n=0Nnqn. Alors : TN=qSN′=q⋅dqd(1−q1−qN+1)=q⋅(1−q)2−(N+1)qN(1−q)+(1−qN+1)
Quand N→+∞, puisque ∣q∣<1, on a qN→0 et (N+1)qN→0 (par croissances comparées). Donc : TN→q⋅(1−q)21=(1−q)2q
Conclusion. La série ∑n∈Nnqn converge si et seulement si ∣q∣<1, et dans ce cas : n=0∑+∞nqn=(1−q)2q
Proposition—Série exponentielle
Soit z∈C. La série ∑n!zn converge et
n=0∑+∞n!zn=ez
Démonstration
Soit z∈C. On montre d'abord la convergence absolue en étudiant ∑n!∣z∣n. On pose an=n!∣z∣n. Pour n>∣z∣, on a :
anan+1=n+1∣z∣<1 \nPour n≥N=⌊∣z∣⌋+1, on a anan+1≤N∣z∣=r<1. Donc pour n≥N, an≤aN⋅rn−N. La série géométrique ∑rn converge car r<1 (Proposition 1.6), donc par comparaison (Corollaire 3.1 anticipé ici dans sa version an≤Crn) la série ∑an converge. Ainsi ∑n!zn converge absolument. \nPour identifier la somme, on procède par l'inégalité de Taylor-Lagrange (admis au programme) : la fonction t↦et vérifie ex−∑k=0nk!xk≤(n+1)!∣x∣n+1e∣x∣ pour x∈R. Le membre de droite tend vers 0, donc ∑n=0+∞n!xn=ex pour x∈R. Pour z∈C, on identifie de même ∑n=0+∞n!zn=ez.
Proposition
Soit n≥n0∑un une série convergente. Alors pour tout n≥n0
k=n0∑+∞uk=k=n0∑nuk+k=n+1∑+∞uk
Démonstration
Soit ∑n≥n0un une série convergente, de somme S=∑n=n0+∞un et de sommes partielles (Sn). Fixons n≥n0. \nD'après la Définition 1.5 du reste, la série ∑k≥n+1uk est convergente de somme Rn=∑k=n+1+∞uk. \nOr pour tout N>n :
k=n0∑Nuk=k=n0∑nuk+k=n+1∑Nuk \nEn passant à la limite N→+∞ et en utilisant la linéarité de la limite :
S=Sn+Rn=k=n0∑nuk+k=n+1∑+∞uk
Remarque
Si on note Sn la somme partielle de rang n, Rn le reste de rang n et S la somme de la série, on a donc Sn+Rn=S pour tout n≥n0.
Exemple
Lorsque ∣q∣<1, le reste de rang n de la série n∈N∑qn est 1−qqn+1.
Corollaire
La suite des restes d'une série convergente converge vers 0.
Démonstration
Soit ∑n≥n0un une série convergente, de somme S et de restes (Rn). Par la Proposition 1.8, pour tout n≥n0 :
Rn=S−Sn \nOr (Sn) converge vers S (Définition 1.2 et 1.3), donc :
n→+∞limRn=S−S=0 \nLa suite des restes converge bien vers 0.
