The Maths Tailor

1.1. Définitions

Remarque

\mathbb{K}

désigne le corps

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

.

Définition —Série

Soit

(u_n)_{n \geq n_0}

une suite numérique (i.e. à valeurs dans

\mathbb{K}

). On appelle série de terme général $u_n$ la suite

(S_n)_{n \geq n_0}

où

\forall n \geq n_0, \quad S_n = \sum_{k=n_0}^n u_k

\nCette série est notée

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

ou plus simplement

\sum u_n

s'il n'y a pas ambiguïté sur le premier terme.
\nPour

n \geq n_0

,

S_n

est appelée somme partielle de rang $n$ de cette série.

Remarque

Une série est donc un cas particulier de suite.

Exemple

On appelle série arithmétique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite arithmétique.
\nPar exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} n

est une série arithmétique. Sa somme partielle de rang

n

est

\dfrac{n(n + 1)}{2}

.

Exemple

On appelle série géométrique toute série dont le terme général est le terme général d'une suite géométrique. Par exemple,

\displaystyle\sum_{n \geq 0} 2^n

est une série géométrique. Sa somme partielle de rang

n

est

2^n - 1

.

Exemple

On appelle série harmonique la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n}

.

Exemple

On appelle série télescopique toute série dont le terme général est de la forme

u_n = v_n - v_{n-1}

. La somme partielle de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n

est

v_n - v_0

.

Remarque

La suite des sommes partielles de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est croissante (resp. décroissante) si et seulement si la suite

(u_n)_{n \geq n_0+1}

est positive (resp. négative).

1.2. Nature et somme d'une série

Définition —Convergence et divergence

On dit qu'une série converge (resp. diverge) si la suite de ses sommes partielles converge (resp. diverge).

Remarque

La convergence d'une série ne dépend pas du premier rang i.e. les séries

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

et

\displaystyle\sum_{n \geq n_1} u_n

sont de même nature.

Définition —Somme d'une série

Si la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

converge, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme de la série et est notée

\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n

.

Remarque

On a donc

\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=n_0}^n u_k

.

Remarque

Aussi surprenant cela puisse-t-il paraître, une somme infinie de termes, fussent-ils tous positifs, peut se révéler être finie.

Attention

La notation

\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n

n'a de sens que si la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

converge. Il faut donc prouver la convergence de la série avant d'employer cette notation.

Proposition —Lien suite/série

La série télescopique

\sum (u_n - u_{n-1})

et la suite

(u_n)

sont de même nature (i.e. elles convergent toutes les deux ou elles divergent toutes les deux).
\nDe plus, si

(u_n)

converge vers une limite

\ell

,

\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n - u_{n-1} = \ell - u_{n_0-1}

Démonstration bientôt disponible

Application

Nature et somme de la série

\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n(n + 1)}

.

Correction bientôt disponible

Remarque

On appelle série de Taylor une série de la forme

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n

. On ne peut a priori rien dire sur ce type de série mais dans le cas où elle converge vers

f(x)

(attention, ce n'est pas toujours le cas), on peut éventuellement le montrer grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange.

Application —Taylor-Lagrange

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange prouver la convergence et déterminer la somme des séries suivantes

1.

\displaystyle\sum_{n \geq 0} \dfrac{x^n}{n!}

pour

x \in \mathbb{R}

;

2.

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

et

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!}

pour

x \in \mathbb{R}

.

3.

\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^{n-1} x^n}{n}

pour

x \in [0, 1]

.

Correction bientôt disponible

Méthode —Changement d'indice

Il est possible d'effectuer des changements d'indices dans la somme d'une série. C'est même plus simple que pour une somme finie. Par exemple, supposons que la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n

converge. Effectuons par exemple le changement d'indice

p = n + 1

.

\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{p=1}^{N+1} u_{p-1} = \sum_{p=1}^{+\infty} u_{p-1}

\nEn pratique, on ne passe pas par la limite des sommes partielles et on écrit directement

\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{p=1}^{+\infty} u_{p-1}

1.3. Opérations sur les séries

Remarque

La proposition suivante n'est qu'une conséquence de la linéarité de la limite.

Proposition —Linéarité de la somme

Soient

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

et

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} v_n

deux séries numériques convergentes et

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

. Alors la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} (\lambda u_n + \mu v_n)

converge et

\sum_{n=n_0}^{+\infty} (\lambda u_n + \mu v_n) = \lambda \sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n + \mu \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n

Démonstration bientôt disponible

Remarque

En termes plus savants, les séries numériques convergentes forment un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et l'application qui à une série convergente associe sa somme est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Attention

La réciproque est fausse en général. Par exemple, si

\sum (u_n + v_n)

converge, on ne peut rien dire de

\sum u_n

et

\sum v_n

(prendre par exemple,

u_n = -v_n = 2^n

).
\nOn évitera à tout prix d'écrire des égalités du type

\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n + \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n

avant d'avoir prouvé la convergence des séries

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

et

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} v_n

.

Proposition

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série complexe. Alors

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

converge si et seulement si

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} \text{Re}(u_n)

et

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} \text{Im}(u_n)

convergent et dans ce cas

\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \text{Re}(u_n) + i \sum_{n=n_0}^{+\infty} \text{Im}(u_n)

\nEn particulier

\text{Re}\left(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \text{Re}(u_n) \qquad \text{Im}\left(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \text{Im}(u_n)

Démonstration bientôt disponible

Application

Soit

x \in \mathbb{R}

. Montrer que la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{(ix)^n}{n!}

converge et a pour somme

e^{ix}

. En déduire la convergence des séries

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

et

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!}

et leurs sommes.

Correction bientôt disponible

Proposition —Conjugaison

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série numérique. Alors les séries

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

et

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} \overline{u_n}

sont de même nature.
\nEn cas de convergence,

\sum_{n=n_0}^{+\infty} \overline{u_n} = \overline{\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n}

Démonstration bientôt disponible

1.4. Divergence grossière

Proposition

Soit

\sum u_n

une série convergente. Alors la suite

(u_n)

converge vers

0

.

Démonstration bientôt disponible

Attention

La réciproque est absolument fausse. Par exemple, la suite de terme général

\dfrac{1}{n}

converge vers

0

tandis que la série harmonique diverge.

Définition —Divergence grossière

Une série

\sum u_n

est dite grossièrement divergente lorsque la suite

(u_n)

ne converge pas vers

0

.

Exemple

Si

|q| \geq 1

, la série

\sum q^n

diverge grossièrement.
\nLa série

\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}

ne diverge pas grossièrement.

1.5. Séries usuelles

Proposition —Série géométrique

Soit

q \in \mathbb{C}

. La série géométrique

\sum q^n

converge si et seulement si

|q| < 1

.
\nDans ce cas,

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{1}{1 - q}

Démonstration bientôt disponible

Application

Nature et somme de la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} n q^n

.

Correction bientôt disponible

Proposition —Série exponentielle

Soit

z \in \mathbb{C}

. La série

\displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n!}

converge et

\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!} = e^z

Démonstration bientôt disponible

1.6. Reste d'une série convergente

Définition —Reste d'une série convergente

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série convergente. Pour tout

n \geq n_0

, la série

\displaystyle\sum_{k \geq n+1} u_k

est convergente et on appelle sa somme le reste de rang $n$ de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

. Autrement dit, le reste de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

est

\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k

Proposition

Soit

\displaystyle\sum_{n \geq n_0} u_n

une série convergente. Alors pour tout

n \geq n_0

\sum_{k=n_0}^{+\infty} u_k = \sum_{k=n_0}^n u_k + \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si on note

S_n

la somme partielle de rang

n

,

R_n

le reste de rang

n

et

S

la somme de la série, on a donc

S_n + R_n = S

pour tout

n \geq n_0

.

Exemple

Lorsque

|q| < 1

, le reste de rang

n

de la série

\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} q^n

est

\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}

.

Corollaire

La suite des restes d'une série convergente converge vers

0

.

Démonstration bientôt disponible

Séries numériques

1. Généralités

1.1. Définitions

1.2. Nature et somme d'une série

1.3. Opérations sur les séries

1.4. Divergence grossière

1.5. Séries usuelles

1.6. Reste d'une série convergente