Séries numériques | The Maths Tailor

Séries numériques

Cours Exercices

Cours

1Généralités

2Comparaison à une intégrale

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3Séries à termes positifs

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Méthodes11p.1/2

ClassiqueCalculer la somme d'une série

Pour calculer la somme d'une série $\sum u_{n}$ , on peut

écrire la suite $(u_{n})$ sous une forme "télescopique", $u_{n} = v_{n} - v_{n - 1}$ . Quand on va calculer la somme partielle, les termes se simplifient.
utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices...
pour calculer des sommes proches des sommes géométriques $\sum k x^{k}$ ou $\sum \frac{1}{k + 1} x^{k}$ , on peut se ramener à une somme finie, utiliser la somme de la suite géométrique, et dériver, intégrer, multiplier par $x$ …

ClassiqueReprésentation intégrale : écrire u_n = ∫ puis intervertir Σ et ∫

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ClassiqueÉtudier une suite à l'aide des séries

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ClassiqueSéries de Bertrand 1/(n^α (ln n)^β) comme référence de comparaison

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TunnelDémontrer qu'une série à termes de signe constant converge

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TunnelDémontrer qu'une série à termes de signe constant diverge

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ClassiqueEncadrer des sommes finies ou infinies, des restes

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TunnelDémontrer qu'une série à terme quelconque converge ou diverge

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ClassiqueRègle de Raabe-Duhamel : DL de u_{n+1}/u_n quand d'Alembert échoue

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ClassiqueExploiter u_n/S_n ou u_n/R_n par télescopage logarithmique

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1 / 2

Exercices

Un peu de numération

Soit

n \geq 1

. On note

p (n)

le nombre de chiffres de l'écriture de

n

en base

10

. Établir la convergence et calculer la somme de la série

n \geq 1 \sum \frac{p ( n )}{n ( n + 1 )} .

Indication

Une fraction rationnelle

Convergence de la série

n \in N \sum \frac{1}{n ^{2} + 3 n}

et calcul de la somme.

Indication

\sum 1/ ((n - 1) n (n + 1) n!) : somme

Montrer la convergence et déterminer la somme de la série

n \geq 3 \sum \frac{2 n - 1}{n ^{3} - 4 n}

.

Indication

\sum 1/ (n (n + 1) (n + 2))

Nature puis somme de la série

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} .

Indication

Séries via \sum 1/ k^{2} = π^{2} /6

On donne

\sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

. Calculer

k = 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}

après en avoir justifié l'existence.

Indication

Séries déduites de \sum 1/ n! = e

Sachant

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n !} = e

, calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{n + 1}{n !} et n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2} - 2}{n !} .

Indication

\sum x^{n} / ((1 - x^{n}) (1 - x^{n + 1}))

Calculer pour

x \in] - 1; 1 [

n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{( 1 - x ^{n} ) ( 1 - x ^{n + 1} )} .

Indication

S_{m} = \sum 1/ (n \dots (n + m))

Existence et valeur pour

m \geq 1

de

S_{m} = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 ) \dots ( n + m )} .

Indication

a_{p} = \sum n^{p} / 2^{n} : récurrence

Suite a_{0} = α > 2, a_{n + 1}

Limite de H_{n} - \frac{1}{n} - \dots

a_{n} = \sum_{k = n + 1}^{3 n} 1/ k : limite

\sum sin^{2} (n α)

\sum ln (1 - 1/ n^{2}) : somme

Taylor-Lagrange

Un classique sur l'arctangente

\sum ln (1 - 1/ n^{2}) : somme

Avec Stirling

Constante γ d'Euler

Riemann-Lebesgue et ζ (2)

Autour de la série harmonique

Nature de séries : u_{n} = n / (n^{2} + 1)