Soit I un ensemble fini et (ai)i∈I∈KI. On note i∈I∑ai la somme des éléments de la famille (ai)i∈I∈KI.
Remarques
L'associativité et la commutativité de la loi + sur K permet de définir correctement cette somme. Elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on somme les termes.
Si I=∅, on convient que i∈I∑ai=0 (élément neutre pour la loi +).
Notation—Somme indexée par un intervalle d'entiers
Dans le cas où I=[[m,n]], on note k∈[[m,n]]∑ak=k=m∑nak={am+am+1+⋯+an−1+an0si m≤nsinon On peut aussi noter m≤k≤n∑ak. Cette somme comporte n−m+1 termes.
Remarque
La variable k est muette : on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable. Autrement dit, k=m∑nak=p=m∑nap.
Application
Calculer k=2∑n−11.
Correction
D'après la Notation 1.2, la somme k=2∑n−11 est bien définie pour n≥3 et comporte n−1−2+1=n−2 termes. Chaque terme vaut 1, donc, par linéarité (section 1.2) : k=2∑n−11=(n−2)×1=n−2. Pour n≤2, on a n−1<2, donc d'après la Notation 1.2, la somme vaut 0. □
Attention
Le résultat d'une somme ne peut pas dépendre de l'indice de sommation, ça n'aurait aucun sens ! Une somme ne dépend que de ses bornes et du terme général sommé.
1.2. Règles de calcul
Encadré—Linéarité de la somme
k∑(ak+bk)=k∑ak+k∑bk k∑λak=λk∑ak
1.3. Sommes télescopiques
Méthode—Télescopage
On appelle somme télescopique toute somme du type suivant k=m∑n(ak+1−ak)=an+1−am
1.4. Changement d'indice
Méthode—Changement d'indice
On peut procéder à un changement d'indice pour deux types de raison.
Si l'on veut changer l'indice dans les termes à sommer. Par exemple,
k=m∑nak+1=l=m+1∑n+1al
en posant l=k+1 dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre m+1 et n+1. Ou encore,
k=0∑nan−k=l=0∑nal
en posant l=n−k dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre 0 et n.
Si l'on veut changer les bornes de la somme. Par exemple,
k=2∑n+2ak=l=0∑nal+2
en posant l=k−2 de telle sorte que les bornes soient 0 et n et en changeant les indices des termes de la somme en remarquant que k=l+2.
Dans les deux cas, on peut vérifier en considérant le premier et le dernier terme de la somme avant et après changement d'indice.
1.5. Sommation par paquets
Encadré
On a d'abord tout simplement : k=m∑nak=k=m∑pak+k=p+1∑nak si m≤p≤n.
On ne peut mettre en facteur qu'une expression qui ne dépend pas de l'indice de sommation.
Remarque
Si on combine les deux propriétés précédentes, on a : ∑k(λak+μbk)=λ∑kak+μ∑kbk.
Attention
La sommation se comporte mal avec les produits. Autrement dit, en général, k∑akbk=(k∑ak)(k∑bk)
Application
Calculer Sn=k=1∑nln(1+k1).
Correction
Pour k≥1, on écrit ln(1+k1)=ln(kk+1)=ln(k+1)−ln(k).
Ainsi la somme est télescopique (d'après la Méthode Télescopage) : Sn=k=1∑n(ln(k+1)−ln(k))=ln(n+1)−ln(1)=ln(n+1). En effet, le terme ln(k) apparaît en positif pour k+1 et en négatif pour k, donc tous les termes intermédiaires se compensent, et il reste ln(n+1)−ln(1)=ln(n+1). □
Méthode—Sommes de puissances
Notons Sm(n)=k=1∑nkm. On sait (série arithmétique) que S1(n)=2n(n+1). Traitons le calcul de S2(n).
Première méthode : On pose uk=ak3+bk2+ck et on déterminer a,b,c tels que uk+1−uk=k2 pour tout k∈N.
Deuxième méthode : On exprime la somme k=1∑n[(k+1)3−k3] de deux manières différentes. On a par télescopage
k=1∑n[(k+1)3−k3]=(n+1)3−1=n[(n+1)2+(n+1)+1]
Et en développant chaque terme de la somme, on a aussi :
k=1∑n[(k+1)3−k3]=3k=1∑nk2+3k=1∑nk+k=1∑n1=3S2(n)+3S1(n)+n
Après calcul, on obtient S2(n)=6n(n+1)(2n+1).
Application
Calculer S3(n).
Correction
On adapte la deuxième méthode présentée dans la Méthode Sommes de puissances. On exprime k=1∑n[(k+1)4−k4] de deux manières.
Par télescopage (Méthode Télescopage) : k=1∑n[(k+1)4−k4]=(n+1)4−1.
Par développement de (k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1 : k=1∑n[(k+1)4−k4]=4S3(n)+6S2(n)+4S1(n)+n où Sm(n)=k=1∑nkm.
On dispose de S1(n)=2n(n+1) et S2(n)=6n(n+1)(2n+1) (Méthode Sommes de puissances). En égalisant : 4S3(n)=(n+1)4−1−6⋅6n(n+1)(2n+1)−4⋅2n(n+1)−n =(n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n. On factorise (n+1) dans les termes qui le contiennent : =(n+1)[(n+1)3−n(2n+1)−2n]−1−n =(n+1)[n3+3n2+3n+1−2n2−n−2n]−(n+1) =(n+1)[n3+n2+1]−(n+1). En développant (n+1)3=n3+3n2+3n+1 et n(2n+1)=2n2+n : (n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n=n2(n+1)2−(n+1)+(n+1)−[calcul simplifieˊ]. On calcule directement : (n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1, donc 4S3(n)=n4+4n3+6n2+4n+1−1−6⋅6n(n+1)(2n+1)−4⋅2n(n+1)−n. Après calcul numérique : 4S3(n)=n4+4n3+6n2+4n−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n =n4+4n3+6n2+4n−(2n3+3n2+n)−(2n2+2n)−n =n4+2n3+n2=n2(n+1)2. Donc S3(n)=4n2(n+1)2. □
Attention
On ne peut pas effectuer n'importe quel changement d'indice. Par exemple, soit S=k=0∑3a2k. On pourrait naïvement effectuer le changement d'indice l=2k de sorte que S=l=0∑6al. Mais k=0∑3a2k=a0+a2+a4+a6 tandis que l=0∑6al=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 Le problème vient du fait que 2k ne prend pas toutes les valeurs entières entre 0 et 6 mais seulement les valeurs paires.
Application
Compléter les trous dans les égalités suivantes : k=3∑nuk+2=k=∙∑∙uk,k=4∑n−1uk=k=1∑∙u∙,k=3∑n+2uk+1=k=∙∑nu∙
Correction
On applique la Méthode Changement d'indice à chaque égalité.
Première égalité. On pose l=k+2, si bien que k=l−2. Quand k=3, l=5 ; quand k=n, l=n+2. Donc : k=3∑nuk+2=l=5∑n+2ul.
Deuxième égalité. On pose l=k−3, si bien que k=l+3. Quand k=4, l=1 ; quand k=n−1, l=n−4. Donc : k=4∑n−1uk=l=1∑n−4ul+3.
Troisième égalité. On pose l=k−2, si bien que k=l+2 et uk+1=ul+3. Quand k=3, l=1 ; quand k=n+2, l=n. Donc : k=3∑n+2uk+1=l=1∑nul+3. Dans les trois cas, on vérifie en comparant le premier et le dernier terme de la somme avant et après changement (d'après la Méthode Changement d'indice). □
Application
Calculer la somme k=1∑n(k1−n+1−k1).
Correction
Posons S=k=1∑n(k1−n+1−k1).
On sépare en deux sommes par linéarité (section 1.2) : S=k=1∑nk1−k=1∑nn+1−k1.
Dans la deuxième somme, on effectue le changement d'indice l=n+1−k (d'après la Proposition 1.1 : k↦n+1−k est une bijection de [[1,n]] sur lui-même). Quand k=1, l=n ; quand k=n, l=1. Donc : k=1∑nn+1−k1=l=1∑nl1.
Ainsi S=k=1∑nk1−l=1∑nl1=0. □
Proposition
Soit I un ensemble fini, (ai)i∈I∈KI et φ une bijection de I sur un ensemble J. Alors i∈I∑aφ(i)=j∈J∑aj Remarque : On a effectué le changement d'indice j=φ(i).
Démonstration
Posons φ:I→J une bijection. La somme i∈I∑aφ(i) est la somme de la famille (aφ(i))i∈I.
Puisque φ est une bijection de I sur J, lorsque i parcourt I, l'indice j=φ(i) parcourt exactement J (chaque élément de J est atteint exactement une fois). Par conséquent, la famille (aφ(i))i∈I est la même famille que (aj)j∈J, simplement réindexée par φ.
Or, d'après la Notation 1.1, la somme i∈I∑ai ne dépend pas de l'ordre dans lequel on additionne les termes (commutativité et associativité de + sur K). Donc la somme de la famille (aφ(i))i∈I est égale à la somme de la famille (aj)j∈J, c'est-à-dire i∈I∑aφ(i)=j∈J∑aj.
Application
Calculer k=0∑2nmin(k,n) et k=0∑2nmax(k,n).
Correction
Calcul de k=0∑2nmin(k,n).
On décompose selon les cas k≤n et k>n (sommation par paquets, section 1.5) : k=0∑2nmin(k,n)=k=0∑nmin(k,n)+k=n+1∑2nmin(k,n). Pour k∈[[0,n]], min(k,n)=k. Pour k∈[[n+1,2n]], min(k,n)=n. Donc : k=0∑2nmin(k,n)=k=0∑nk+k=n+1∑2nn=2n(n+1)+n⋅n=2n(n+1)+n2=2n(3n+1).
Calcul de k=0∑2nmax(k,n).
On note que max(k,n)+min(k,n)=k+n pour tout k. Donc, par linéarité : k=0∑2nmax(k,n)=k=0∑2n(k+n)−k=0∑2nmin(k,n)=(22n(2n+1)+n(2n+1))−2n(3n+1) =n(2n+1)+n(2n+1)−2n(3n+1)=2n(2n+1)−2n(3n+1)=24n(2n+1)−n(3n+1)=2n(5n+3). □
Méthode—Séparation des termes d'indices pairs et impairs
Il existe plusieurs façons d'écrire la somme des termes d'indices pairs et et la somme des termes d'indices impairs. k=m∑nak=k=mk pair∑nak+k=mk impair∑nak=m≤k≤nk pair∑ak+m≤k≤nk impair∑ak=m≤2k≤n∑a2k+m≤2k+1≤n∑a2k+1=k=⌈m/2⌉∑⌊n/2⌋a2k+k=⌈(m−1)/2⌉∑⌊(n−1)/2⌋a2k+1
Soit (ai)i∈I∈KI. Si I=⨆j=1nBj, alors i∈I∑aj=j=1∑ni∈Bj∑ai
Démonstration
Soit I=j=1⨆nBj une partition finie de I en sous-ensembles disjoints B1,…,Bn.
Par définition (Notation 1.1), la somme i∈I∑ai est la somme de tous les éléments de la famille (ai)i∈I, dont l'ordre ne change pas la valeur (commutativité et associativité de +).
Comme les Bj sont deux à deux disjoints et couvrent I, on peut regrouper les termes selon leur indice appartenant à B1, puis à B2, ..., puis à Bn. On obtient : i∈I∑ai=termes de B1i∈B1∑ai+termes de B2i∈B2∑ai+⋯+termes de Bni∈Bn∑ai=j=1∑ni∈Bj∑ai. Le regroupement est licite car les Bj forment une partition (aucun terme n'est compté deux fois, aucun n'est omis).
