Soit I un ensemble fini et (ai)i∈I∈KI. On note i∈I∑ai la somme des éléments de la famille (ai)i∈I∈KI.
Remarque
L'associativité et la commutativité de la loi + sur K permet de définir correctement cette somme. Elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on somme les termes.
Remarque
Si I=∅, on convient que i∈I∑ai=0 (élément neutre pour la loi +).
Notation—Somme indexée par un intervalle d'entiers
Dans le cas où I=[[m,n]], on note k∈[[m,n]]∑ak=k=m∑nak={am+am+1+⋯+an−1+an0si m≤nsinon On peut aussi noter m≤k≤n∑ak. Cette somme comporte n−m+1 termes.
Remarque
La variable k est muette : on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable. Autrement dit, k=m∑nak=p=m∑nap.
Application
Calculer k=2∑n−11.
Correction
D'après la Notation 1.2, la somme k=2∑n−11 est bien définie pour n≥3 et comporte n−1−2+1=n−2 termes. Chaque terme vaut 1, donc, par linéarité (section 1.2) : k=2∑n−11=(n−2)×1=n−2. Pour n≤2, on a n−1<2, donc d'après la Notation 1.2, la somme vaut 0. □
Attention
Le résultat d'une somme ne peut pas dépendre de l'indice de sommation, ça n'aurait aucun sens ! Une somme ne dépend que de ses bornes et du terme général sommé.
1.2. Règles de calcul
Encadré—Linéarité de la somme
k∑(ak+bk)=k∑ak+k∑bk k∑λak=λk∑ak
Attention
On ne peut mettre en facteur qu'une expression qui ne dépend pas de l'indice de sommation.
Remarque
Si on combine les deux propriétés précédentes, on a : ∑k(λak+μbk)=λ∑kak+μ∑kbk.
Attention
La sommation se comporte mal avec les produits. Autrement dit, en général, k∑akbk=(k∑ak)(k∑bk)
1.3. Sommes télescopiques
Méthode—Télescopage
On appelle somme télescopique toute somme du type suivant k=m∑n(ak+1−ak)=an+1−am
Application
Calculer Sn=k=1∑nln(1+k1).
Correction
Pour k≥1, on écrit ln(1+k1)=ln(kk+1)=ln(k+1)−ln(k).
Ainsi la somme est télescopique (d'après la Méthode Télescopage) : Sn=k=1∑n(ln(k+1)−ln(k))=ln(n+1)−ln(1)=ln(n+1). En effet, le terme ln(k) apparaît en positif pour k+1 et en négatif pour k, donc tous les termes intermédiaires se compensent, et il reste ln(n+1)−ln(1)=ln(n+1). □
Méthode—Sommes de puissances
Notons Sm(n)=k=1∑nkm. On sait (série arithmétique) que S1(n)=2n(n+1). Traitons le calcul de S2(n).
Première méthode : On pose uk=ak3+bk2+ck et on déterminer a,b,c tels que uk+1−uk=k2 pour tout k∈N.
Deuxième méthode : On exprime la somme k=1∑n[(k+1)3−k3] de deux manières différentes. On a par télescopage
k=1∑n[(k+1)3−k3]=(n+1)3−1=n[(n+1)2+(n+1)+1]
Et en développant chaque terme de la somme, on a aussi :
k=1∑n[(k+1)3−k3]=3k=1∑nk2+3k=1∑nk+k=1∑n1=3S2(n)+3S1(n)+n
Après calcul, on obtient S2(n)=6n(n+1)(2n+1).
Application
Calculer S3(n).
Correction
On adapte la deuxième méthode présentée dans la Méthode Sommes de puissances. On exprime k=1∑n[(k+1)4−k4] de deux manières.
Par télescopage (Méthode Télescopage) : k=1∑n[(k+1)4−k4]=(n+1)4−1.
Par développement de (k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1 : k=1∑n[(k+1)4−k4]=4S3(n)+6S2(n)+4S1(n)+n où Sm(n)=k=1∑nkm.
On dispose de S1(n)=2n(n+1) et S2(n)=6n(n+1)(2n+1) (Méthode Sommes de puissances). En égalisant : 4S3(n)=(n+1)4−1−6⋅6n(n+1)(2n+1)−4⋅2n(n+1)−n =(n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n. On factorise (n+1) dans les termes qui le contiennent : =(n+1)[(n+1)3−n(2n+1)−2n]−1−n =(n+1)[n3+3n2+3n+1−2n2−n−2n]−(n+1) =(n+1)[n3+n2+1]−(n+1). En développant (n+1)3=n3+3n2+3n+1 et n(2n+1)=2n2+n : (n+1)4−1−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n=n2(n+1)2−(n+1)+(n+1)−[calcul simplifieˊ]. On calcule directement : (n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1, donc 4S3(n)=n4+4n3+6n2+4n+1−1−6⋅6n(n+1)(2n+1)−4⋅2n(n+1)−n. Après calcul numérique : 4S3(n)=n4+4n3+6n2+4n−n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)−n =n4+4n3+6n2+4n−(2n3+3n2+n)−(2n2+2n)−n =n4+2n3+n2=n2(n+1)2. Donc S3(n)=4n2(n+1)2. □
1.4. Changement d'indice
Méthode—Changement d'indice
On peut procéder à un changement d'indice pour deux types de raison.
Si l'on veut changer l'indice dans les termes à sommer. Par exemple,
k=m∑nak+1=l=m+1∑n+1al
en posant l=k+1 dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre m+1 et n+1. Ou encore,
k=0∑nan−k=l=0∑nal
en posant l=n−k dans les termes de la somme et en remarquant que l prend alors toutes les valeurs entières entre 0 et n.
Si l'on veut changer les bornes de la somme. Par exemple,
k=2∑n+2ak=l=0∑nal+2
en posant l=k−2 de telle sorte que les bornes soient 0 et n et en changeant les indices des termes de la somme en remarquant que k=l+2.
Dans les deux cas, on peut vérifier en considérant le premier et le dernier terme de la somme avant et après changement d'indice.
Attention
On ne peut pas effectuer n'importe quel changement d'indice. Par exemple, soit S=k=0∑3a2k. On pourrait naïvement effectuer le changement d'indice l=2k de sorte que S=l=0∑6al. Mais k=0∑3a2k=a0+a2+a4+a6 tandis que l=0∑6al=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 Le problème vient du fait que 2k ne prend pas toutes les valeurs entières entre 0 et 6 mais seulement les valeurs paires.
Application
Compléter les trous dans les égalités suivantes : k=3∑nuk+2=k=∙∑∙uk,k=4∑n−1uk=k=1∑∙u∙,k=3∑n+2uk+1=k=∙∑nu∙
Correction
On applique la Méthode Changement d'indice à chaque égalité.
Première égalité. On pose l=k+2, si bien que k=l−2. Quand k=3, l=5 ; quand k=n, l=n+2. Donc : k=3∑nuk+2=l=5∑n+2ul.
Deuxième égalité. On pose l=k−3, si bien que k=l+3. Quand k=4, l=1 ; quand k=n−1, l=n−4. Donc : k=4∑n−1uk=l=1∑n−4ul+3.
Troisième égalité. On pose l=k−2, si bien que k=l+2 et uk+1=ul+3. Quand k=3, l=1 ; quand k=n+2, l=n. Donc : k=3∑n+2uk+1=l=1∑nul+3. Dans les trois cas, on vérifie en comparant le premier et le dernier terme de la somme avant et après changement (d'après la Méthode Changement d'indice). □
Application
Calculer la somme k=1∑n(k1−n+1−k1).
Correction
Posons S=k=1∑n(k1−n+1−k1).
On sépare en deux sommes par linéarité (section 1.2) : S=k=1∑nk1−k=1∑nn+1−k1.
Dans la deuxième somme, on effectue le changement d'indice l=n+1−k (d'après la Proposition 1.1 : k↦n+1−k est une bijection de [[1,n]] sur lui-même). Quand k=1, l=n ; quand k=n, l=1. Donc : k=1∑nn+1−k1=l=1∑nl1.
Ainsi S=k=1∑nk1−l=1∑nl1=0. □
Proposition
Soit I un ensemble fini, (ai)i∈I∈KI et φ une bijection de I sur un ensemble J. Alors i∈I∑aφ(i)=j∈J∑aj Remarque : On a effectué le changement d'indice j=φ(i).
Démonstration
Posons φ:I→J une bijection. La somme i∈I∑aφ(i) est la somme de la famille (aφ(i))i∈I.
Puisque φ est une bijection de I sur J, lorsque i parcourt I, l'indice j=φ(i) parcourt exactement J (chaque élément de J est atteint exactement une fois). Par conséquent, la famille (aφ(i))i∈I est la même famille que (aj)j∈J, simplement réindexée par φ.
Or, d'après la Notation 1.1, la somme i∈I∑ai ne dépend pas de l'ordre dans lequel on additionne les termes (commutativité et associativité de + sur K). Donc la somme de la famille (aφ(i))i∈I est égale à la somme de la famille (aj)j∈J, c'est-à-dire i∈I∑aφ(i)=j∈J∑aj.
1.5. Sommation par paquets
Encadré
On a d'abord tout simplement : k=m∑nak=k=m∑pak+k=p+1∑nak si m≤p≤n.
Application
Calculer k=0∑2nmin(k,n) et k=0∑2nmax(k,n).
Correction
Calcul de k=0∑2nmin(k,n).
On décompose selon les cas k≤n et k>n (sommation par paquets, section 1.5) : k=0∑2nmin(k,n)=k=0∑nmin(k,n)+k=n+1∑2nmin(k,n). Pour k∈[[0,n]], min(k,n)=k. Pour k∈[[n+1,2n]], min(k,n)=n. Donc : k=0∑2nmin(k,n)=k=0∑nk+k=n+1∑2nn=2n(n+1)+n⋅n=2n(n+1)+n2=2n(3n+1).
Calcul de k=0∑2nmax(k,n).
On note que max(k,n)+min(k,n)=k+n pour tout k. Donc, par linéarité : k=0∑2nmax(k,n)=k=0∑2n(k+n)−k=0∑2nmin(k,n)=(22n(2n+1)+n(2n+1))−2n(3n+1) =n(2n+1)+n(2n+1)−2n(3n+1)=2n(2n+1)−2n(3n+1)=24n(2n+1)−n(3n+1)=2n(5n+3). □
Méthode—Séparation des termes d'indices pairs et impairs
Il existe plusieurs façons d'écrire la somme des termes d'indices pairs et et la somme des termes d'indices impairs. k=m∑nak=k=mk pair∑nak+k=mk impair∑nak=m≤k≤nk pair∑ak+m≤k≤nk impair∑ak=m≤2k≤n∑a2k+m≤2k+1≤n∑a2k+1=k=⌈m/2⌉∑⌊n/2⌋a2k+k=⌈(m−1)/2⌉∑⌊(n−1)/2⌋a2k+1
Soit (ai)i∈I∈KI. Si I=⨆j=1nBj, alors i∈I∑aj=j=1∑ni∈Bj∑ai
Démonstration
Soit I=j=1⨆nBj une partition finie de I en sous-ensembles disjoints B1,…,Bn.
Par définition (Notation 1.1), la somme i∈I∑ai est la somme de tous les éléments de la famille (ai)i∈I, dont l'ordre ne change pas la valeur (commutativité et associativité de +).
Comme les Bj sont deux à deux disjoints et couvrent I, on peut regrouper les termes selon leur indice appartenant à B1, puis à B2, ..., puis à Bn. On obtient : i∈I∑ai=termes de B1i∈B1∑ai+termes de B2i∈B2∑ai+⋯+termes de Bni∈Bn∑ai=j=1∑ni∈Bj∑ai. Le regroupement est licite car les Bj forment une partition (aucun terme n'est compté deux fois, aucun n'est omis).
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Cours
1Techniques de calcul
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Méthodes19
PavlovÉcrire avec les symboles somme et produit
Maîtriser la notation : ∑k=1nak=a1+a2+...+an et ∏k=1nak=a1×a2×...×an. Attention aux bornes : ∑k=0n contient n+1 termes. Savoir passer de l'écriture développée à l'écriture symbolique et inversement.
PavlovGérer les constantes dans une somme ou un produit
Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes :1. 23+24+⋯+212.
2. 21+42+83+⋯+102410.
3. 2−4+6−8+⋯+50.
4. 1−21+31−41+⋯+2n−11−2n1.
IndicationMasquer
Appliquer la Écrire avec les symboles somme et produit : identifier le terme général de chaque somme et les bornes de l'indice; pour (3), remarquer que les signes alternent selon la parité de k, ce qui suggère le facteur (−1)k−1; pour (4), identifier le motif k(−1)k+1.
2Notation ∑ : termes en n
Écrire à l'aide du symbole ∑ les sommes suivantes :1. n+(n+1)+⋯+2n;
2. xnx1+xn−1x2+⋯+x2xn−1+x1xn.
IndicationMasquer
Appliquer la Écrire avec les symboles somme et produit : pour (1), identifier directement les bornes et le terme général k; pour (2), remarquer que les termes sont de la forme xn+1−kxk et choisir l'indice en conséquence.
3Monotonie de un=∑k=n2n1/k
Pour n≥1, on pose un=∑k=n2nk1. Simplifier un+1−un puis étudier la monotonie de (un).
IndicationMasquer
Appliquer la Écrire avec les symboles somme et produit : écrire un+1−un=∑k=n+12n+2k1−∑k=n2nk1 et identifier les termes qui ne se simplifient pas; étudier le signe de la différence pour déterminer la monotonie.
4Égalité sommes et sommes de carrés
Soient n∈N∗ et x1,…,xn des réels. On suppose k=1∑nxk=k=1∑nxk2=n. Montrer que les réels x1,…,xn sont tous égaux à 1.
IndicationMasquer
Appliquer la Méthode 00339 : développer ∑k=1n(xk−1)2=∑xk2−2∑xk+n=0, ce qui force chaque terme nul d'une somme de réels positifs.
5Inégalité de Cauchy-Schwarz
Montrer que pour tout n∈N, 21∑i=1n(ai2+bi2)≥∑i=1naibi.
IndicationMasquer
Appliquer les Méthode 00065 et Écrire avec les symboles somme et produit : utiliser (ai−bi)2≥0 pour chaque i, ce qui donne ai2+bi2≥2aibi; sommer sur i de 1 à n.
6Sommes paires de (k2n)
Soit n un entier naturel non nul.
Calculer S1=∑k=02n(k2n) et S2=∑k=02n(k2n)(−1)k.
En déduire T1=∑k=0n(2k2n) et T2=∑k=0n−1(2k+12n).
Calculer U1=∑k=0n−1(2k2n−1) et U2=∑k=0n−1(2k+12n−1). On pourra, si on le souhaite, s'inspirer des questions précédentes.
A l'aide des changements d'indices ℓ=n−k et ℓ=n−1−k, calculer V1=∑k=0nk(2k2n) et V2=∑k=0n−1k(2k+12n).
Calculer enfin W1=∑k=0n−1k(2k2n−1) et W2=∑k=0n−1k(2k+12n−1).
IndicationMasquer
Appliquer la Deux sommes pour en calculer une (deux sommes pour en calculer une) : calculer deux sommes auxiliaires S1=∑(k2n) et S2=∑(−1)k(k2n) via le binôme en x=1 et x=−1, puis en déduire par addition et soustraction les sommes sur les indices pairs et impairs.
7Sommes arithmétiques variées
Calculer les sommes suivantes.
Sn=∑k=2n−1(3k−2)
Tn=∑k=−1n+1(2k−1)
Un=∑k=n−2n+52−k
Vn=∑k=n2n(k−1)
IndicationMasquer
Appliquer la Calcul de sommes (se ramener à des sommes connues) : identifier la nature de chaque suite (arithmétique pour 1 et 2, géométrique pour 3, et somme des entiers pour 4) et appliquer la formule adaptée en vérifiant soigneusement les bornes et le nombre de termes.
8Sommes par éléments simples
Calculer les sommes suivantes :
∑k=1nk(k+1)1
∑k=1nk(k+1)(k+2)1
∑k=1nk⋅k!
∑k=0n(k+2)2k
∑k=1nln(1+1/k)
∑k=0n2sin(2x)cos(kx)
IndicationMasquer
Appliquer la Faire apparaître une somme télescopique avec une DES (somme télescopique avec DES) pour les questions 1 et 2, la Faire apparaître une somme télescopique avec une DES directement pour 3, et la Calcul de sommes (dériver ou somme géométrique) pour les autres : pour chaque somme, chercher une décomposition ak=f(k+1)−f(k) ou f(k+1)/f(k) permettant le télescopage.
9Télescopage par éléments simples
On cherche à calculer, par décomposition en éléments simples, la somme vn=∑k=2nk2−11.
Montrer qu'il existe (α,β)∈R2 tel que ∀t>1,t2−11=t−1α+t+1β.
En déduire une simplification de la somme vn=k=2∑nk2−11.
IndicationMasquer
Appliquer la Faire apparaître une somme télescopique avec une DES (DES pour somme télescopique) : décomposer t2−11=t−1α+t+1β par identification, puis utiliser la structure télescopique de la somme résultante.
