Sommes et produits

Calculer $T_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$.

Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?

1. La somme $\sum_{k=0}^{n} 2$

a. n'a pas de sens b. vaut $2(n + 1)$ c. vaut $2n$.

2. La somme $\sum_{p=0}^{2n+1} (-1)^p$ est égale à

a. 1 b. $-1$ c. 0.

3. Le produit $\prod_{i=1}^{n} (5a_i)$ est égal à

a. $5\prod_{i=1}^{n} a_i$ b. $5^n \prod_{i=1}^{n} a_i$ c. $5^{n-1} \prod_{i=1}^{n} a_i$.

Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes :1. $2^3 + 2^4 + \cdots + 2^{12}$.

2. $\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots + \frac{10}{1024}$.

3. $2 - 4 + 6 - 8 + \cdots + 50$.

4. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$.

Écrire à l'aide du symbole $\sum$ les sommes suivantes :1. $n + (n + 1) + \cdots + 2n$;

2. $\frac{x_1}{x_n} + \frac{x_2}{x_{n-1}} + \cdots + \frac{x_{n-1}}{x_2} + \frac{x_n}{x_1}$.

Pour $n \geq 1$, on pose $u_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$. Simplifier $u_{n+1} - u_n$ puis étudier la monotonie de $(u_n)$.

Calculer $\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)$.

1. Déterminer une suite $(u_k)_{k\geq 0}$ telle que, pour tout $k \geq 0$, on ait$u_{k+1} - u_k = (k + 2)2^k$.

2. En déduire, pour tout $n \geq 0$, la valeur de $\sum_{k=0}^{n}(k + 2)2^k$.

Montrer que la série de terme général$u_n = \frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}$

(pour $n \geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.

Calculer $\sum_{k=1}^{n} k \cdot k!$.

Soit $n \geq 1$. Démontrer que$\sum_{k=n+1}^{2n-1} \ln\left(\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right) = \sum_{k=1}^{n-1} \ln\left(\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right)$.

Calculer la somme $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right)$.

Simplifier le produit (Les points de suspension indiquent que l'on continue le processus jusqu'au dernier terme) :$p = \left(1-\frac{1}{2}\right) \times \left(1-\frac{1}{3}\right) \times \left(1-\frac{1}{4}\right) \times \cdots \times \left(1-\frac{1}{2020}\right)$

Calculer $\prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$.

Calculer $A = \prod_{p=1}^{100} \left[1 - \frac{4}{(2p-1)^2}\right]$.

Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n$.Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p}2^p = 3^n$.

Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n} \binom{2n}{k}(-1)^k 2^{k-1} = 0$.

Soit $n \geq 1$ et $x \in ]0,2\pi[$. Calculez les sommes suivantes :

1. (★) $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}3^k$

2. (★) $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{3^k}$

3. (★) $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}$

4. (★★) $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\cos kx$ (pensez que $\cos kx = \operatorname{Re}(e^{ikx})$...)

5. (★★) $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{(-1)^{n-k}}{3^{k+1}}$

6. (★★) $\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}2^k$

7. (★★★) $\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n-3}{k-2}3^k$

8. (★★★) $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}k$

Soient $n, p$ des entiers naturels avec $n \geq p$. Démontrer que$\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Vérifier que $(2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2 + \sqrt{3})^n$ est un entier impair.

Soit $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$. 1. Calculer $S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k$. 2. En déduire la valeur de $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} kx^k$.

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(a_i^2 + b_i^2) \geq \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$.

Soit $u_n = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$, pour $n \in \mathbb{N}$.Encadrer $u_n$ et en déduire la convergence de $(u_n)$ et sa limite.

Montrer que pour tout entier naturel non nul $n \in \mathbb{N}^*$,$\frac{1}{n} \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n^2 + k} \leq \frac{n+1}{n^2}$.

On pose pour $n \in \mathbb{N}^*$, $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$.1. Démontrer que la suite $(S_n)$ est croissante. 2. Démontrer que pour tout entier $k \geq 2$ : $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ 3. La suite $(S_n)$ est-elle convergente ?

Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2 - 2y^2 = 1$ admet une infinité de solutions avec $x, y$ des entiers naturels.1. Soit $n \geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + \sqrt{2}y_n$. 2. Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$. 3. En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont strictement croissantes. 4. Démontrer le résultat annoncé.

1. Soient $m, k$ deux entiers naturels. Justifier que $\binom{m + k}{m} = \binom{m + k + 1}{m + 1} - \binom{m + k}{m + 1}$. 2. En déduire, pour tous entiers naturels $m, n \in \mathbb{N}^*$, la valeur de $S = \sum_{k=0}^{n} \binom{m + k}{m}$. 3. En déduire celle de $P = \sum_{k=0}^{n} \left(\prod_{p=1}^{m}(k + p)\right)$.

On note $H_n$ le $n$-ième nombre harmonique. Montrer que, pour tout entier $n \geq 2$ :$\sum_{k=1}^{n-1} H_k = nH_n - n$

Déterminer trois réels $a, b, c$ tels que :$\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1, -2\}, \quad \frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x+2}$ En déduire, pour $n \in \mathbb{N}^*$, une expression simple de : $U_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ Quelle est la limite de $(U_n)_{n \geq 1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Étudier la convergence du produit infini :$\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{x}{2^k}\right)$

$n$ étant un entier naturel, au moins égal à 2, simplifier les sommes suivantes :a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot k!$      b) $\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{(k + 1)!}$      c) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)}$      d) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)}$ e) $\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{2}{k(k + 3)}\right)$      f) $\sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{2}{k(k + 1)}\right)$ g) $\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{1}{k(k+1)}}{\cos \frac{1}{k} \cos \frac{1}{k+1}}$      h) $\sum_{k=2}^{n} \ln\left(\frac{\ln^2(k + 1)}{\ln(k) \ln(k + 2)}\right)$.

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1, \ldots, x_n$ des réels. On suppose $$\sum_{k=1}^n x_k = \sum_{k=1}^n x_k^2 = n.$$ Montrer que les réels $x_1, \ldots, x_n$ sont tous égaux à $1$.