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Méthodes19p.1/2

PavlovÉcrire avec les symboles somme et produit

Maîtriser la notation : $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$ et $\prod_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} \times a_{2} \times ... \times a_{n}$ . Attention aux bornes : $\sum_{k = 0}^{n}$ contient $n + 1$ termes. Savoir passer de l'écriture développée à l'écriture symbolique et inversement.

PavlovGérer les constantes dans une somme ou un produit

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ClassiqueEncadrer efficacement une somme

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ClassiqueDeux sommes pour en calculer une

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ClassiqueCalcul de sommes

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ClassiqueFaire apparaître une somme télescopique par manipulation algébrique

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PavlovL'astuce du +1 -1

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PavlovReconnaître le classique

\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

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TunnelFaire apparaître une somme télescopique avec une DES

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TunnelChangement d'indice dans une somme

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1 / 2

Exercices

Notation \sum : puissances de 2

Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes :1.

2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{12}

.

2.

\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{10}{1024}

.

3.

2 - 4 + 6 - 8 + \dots + 50

.

4.

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n}

.

Indication

Notation \sum : termes en n

Écrire à l'aide du symbole

\sum

les sommes suivantes :1.

n + (n + 1) + \dots + 2 n

;

2.

\frac{x _{1}}{x _{n}} + \frac{x _{2}}{x _{n - 1}} + \dots + \frac{x _{n - 1}}{x _{2}} + \frac{x _{n}}{x _{1}}

.

Indication

Monotonie de u_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k

Pour

n \geq 1

, on pose

u_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} \frac{1}{k}

. Simplifier

u_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} \frac{1}{k}

puis étudier la monotonie de

(u_{n})

.

Indication

Égalité sommes et sommes de carrés

Soient

n \in N^{*}

et

x_{1}, \dots, x_{n}

des réels. On suppose

k = 1 \sum n x_{k} = k = 1 \sum n x_{k}^{2} = n .

Montrer que les réels

x_{1}, \dots, x_{n}

sont tous égaux à

1

.

Indication

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Montrer que pour tout

n \in N

,

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i}^{2} + b_{i}^{2}) \geq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}

.

Indication

Sommes paires de (k 2 n)

Soit

n

un entier naturel non nul.

Calculer $S_{1} = \sum_{k = 0}^{2 n} (k 2 n)$ et $S_{2} = \sum_{k = 0}^{2 n} (k 2 n) (- 1)^{k}$ .
En déduire $T_{1} = \sum_{k = 0}^{n} (2 k 2 n)$ et $T_{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (2 k + 1 2 n)$ .
Calculer $U_{1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (2 k 2 n - 1)$ et $U_{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (2 k + 1 2 n - 1)$ . On pourra, si on le souhaite, s'inspirer des questions précédentes.
À l'aide des changements d'indices $ℓ = n - k$ et $ℓ = n - 1 - k$ , calculer $V_{1} = \sum_{k = 0}^{n} k (2 k 2 n)$ et $V_{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k (2 k + 1 2 n)$ .
Calculer enfin $W_{1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k (2 k 2 n - 1)$ et $W_{2} = \sum_{k = 0}^{n - 1} k (2 k + 1 2 n - 1)$ .

Indication

Sommes arithmétiques variées

Calculer les sommes suivantes.

$S_{n} = \sum_{k = 2}^{n - 1} (3 k - 2)$
$T_{n} = \sum_{k = - 1}^{n + 1} (2 k - 1)$
$U_{n} = \sum_{k = n - 2}^{n + 5} 2^{- k}$
$V_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} (k - 1)$

Indication

Sommes par éléments simples

Calculer les sommes suivantes :

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}$
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}$
$\sum_{k = 1}^{n} k \cdot k!$
$\sum_{k = 0}^{n} (k + 2) 2^{k}$
$\sum_{k = 1}^{n} ln (1 + 1/ k)$
$\sum_{k = 0}^{n} 2 sin (\frac{x}{2}) cos (k x)$

Indication

Télescopage par éléments simples