On appelle suite réelle toute famille d'éléments de R indexée sur N ou, de manière équivalente, toute application de N dans R. L'ensemble des suites réelles est donc RN.
Remarques
Une suite de RN peut-être notée u (application) ou (un)n∈N (famille). On emploie également la notation (un). Si u∈RN, le terme général de u est noté un (famille) plutôt que u(n) (application).
Encadré—Modes de définition d'une suite
On donne une formule explicite de un en fonction de n du type un=f(n). On donne les k premiers termes de la suite et une relation de récurrence exprimant un en fonction des k termes précédents. On dit alors que (un) est une suite récurrente d'ordre k. Une suite récurrente d'ordre 1 vérifie donc une relation de récurrence du type un+1=f(un). un est défini comme solution d'une équation dépendant de n.
Exemple
La suite de terme général un=n2+11 est une suite définie de manière explicite. La suite (un) de premiers termes u0=1 et u1=1 et définie par la relation de récurrence un+2=un+1+un est une suite récurrente d'ordre 2.
Attention
Une relation de récurrence ne permet pas toujours de bien définir une suite. Par exemple, il n'existe pas de suite définie par u0=1 et un+1=2+1−un.
Proposition
Soient D une partie de R et f une fonction définie sur D à valeurs dans R. On suppose que D est stable par f i.e. f(D)⊂D. Alors, pour tout d∈D, il existe une unique suite définie par u0=d et la relation de récurrence un+1=f(un). De plus, pour tout n∈N, un∈D.
Encadré—Représentation graphique d'une suite récurrente d'ordre 1
On obtient la représentation graphique d'une suite (un) définie par la relation de récurrence un+1=f(un) en traçant le graphe de f et la première bissectrice.
1.2. Vocabulaire
Définition—Suites constantes, stationnaires
Une suite (un) est constante s'il existe C∈R tel que ∀n∈N, un=C. Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.
1.3. Suites classiques
Définition—Suites arithmétiques
On appelle suite arithmétique de raisonr∈K toute suite (un) vérifiant la relation de récurrence∀n∈N,un+1=un+rOn a alors un=u0+nr pour tout n∈N.
Par esprit de simplification, on ne traitera dans ce chapitre que des suites définies à partir du rang 0. On adaptera pour des suites définies à partir d'un certain rang n0∈N.
Démonstration
Montrons l'existence et l'unicité par récurrence.
Existence. On définit la suite par u0=d∈D et un+1=f(un) pour tout n∈N. Comme D est stable par f (i.e. f(D)⊂D) et u0∈D, on a u1=f(u0)∈D. Par récurrence immédiate : si un∈D, alors un+1=f(un)∈f(D)⊂D. Ainsi un∈D pour tout n∈N, et la suite est bien définie.
Unicité. Supposons que (un) et (vn) vérifient toutes deux w0=d et wn+1=f(wn). Par récurrence : u0=v0=d, et si un=vn, alors un+1=f(un)=f(vn)=vn+1. Donc un=vn pour tout n∈N.
Définition—Suite majorée, minorée, bornée
On dit qu'une suite (un) est majorée (resp. minorée) s'il existe C∈R tel que ∀n∈N, un≤C (resp. un≥C). On dit qu'une suite est bornée si elle est majorée et minorée.
Contre-exemple—Bornée ne signifie pas convergente
La suite un=(−1)n est bornée (par 1), mais elle diverge : ses termes alternent entre 1 et −1 sans jamais se stabiliser. La borne seule n'implique pas la convergence.
Méthode—Prouver qu'une suite est bornée
Pour prouver qu'une suite (un) est bornée, il est nécessaire et suffisant d'exhiber une constante C∈R+ telle que ∀n∈N, ∣un∣≤C.
Contre-exemple—Monotone ne signifie pas bornée
La suite un=n est strictement croissante mais non majorée : un→+∞. Monotonie et bornitude sont deux propriétés indépendantes.
Exemple
Pour établir la monotonie, on étudie le signe de un+1−un, ou, si les termes sont strictement positifs, la position du rapport unun+1 par rapport à 1. Par exemple, un=n+1n vérifie un+1−un=(n+1)(n+2)1>0, donc (un) est strictement croissante.
Définition—Sens de variation
Une suite réelle (un) est croissante (resp. décroissante) si∀(n,p)∈N2,n≤p⟹un≤upUne suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite réelle est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si∀(n,p)∈N2,n<p⟹un<upUne suite est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Attention
Une suite peut n'être ni croissante, ni décroissante. C'est le cas par exemple des suites géométriques de raison négative.
Proposition
Soit (un) une suite réelle. Alors
(un) est croissante si et seulement si ∀n∈N, un≤un+1;
(un) est décroissante si et seulement si ∀n∈N, un≥un+1;
(un) est strictement croissante si et seulement si ∀n∈N, un<un+1;
(un) est strictement décroissante si et seulement si ∀n∈N, un>un+1.
Démonstration
Montrons les quatre équivalences. On détaille la première ; les autres se traitent de façon analogue.
(un) croissante ⇒∀n∈N,un≤un+1. Par la Définition 1.4, si (un) est croissante, alors pour tout (n,p)∈N2 avec n≤p, on a un≤up. En prenant p=n+1≥n, on obtient un≤un+1.
∀n∈N,un≤un+1⇒(un) croissante. Soient n≤p. Par récurrence sur p−n : si p=n, un≤un est trivial. Si un≤up, alors un≤up≤up+1 par hypothèse. Donc (un) est croissante d'après la Définition 1.4.
Les équivalences pour la décroissance, croissance stricte et décroissance stricte se montrent identiquement.
Méthode—Sens de variation d'une suite
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un) :
on peut étudier le signe de un+1−un;
si la suite est strictement positive, on peut étudier la position de unun+1 par rapport à 1.
Remarque
On utilisera la première méthode lorsque le terme général est défini à partir de sommes et de différences. On utilisera la deuxième méthode lorsque le terme général est défini à partir de produits et de quotients.
Application
Déterminer le sens de variation des suites de termes généraux un=k=1∑nk1 et vn=2×4×⋯×(2n)1×3×⋯×(2n−1).
Correction
On utilise la Méthode (sens de variation d'une suite) : pour un=∑k=1nk1, on étudie le signe de un+1−un ; pour vn, on étudie le rapport vnvn+1.
Suite (un). Pour tout n≥1 :un+1−un=n+11>0Donc d'après la Proposition 1.2, (un) est strictement croissante.
Suite (vn). On a vn=2×4×⋯×(2n)1×3×⋯×(2n−1)>0 pour tout n≥1. Donc on peut étudier le rapport (d'après la Méthode) :vnvn+1=2×4×⋯×(2n)1×3×⋯×(2n−1)2×4×⋯×(2n+2)1×3×⋯×(2n+1)=2n+22n+1=2(n+1)2n+1Pour tout n≥1, 2n+1<2n+2, donc vnvn+1<1.
Donc d'après la Proposition 1.2 (critère via le rapport), (vn) est strictement décroissante. □
Proposition
Si une suite (un) est définie explicitement par un=f(n) pour tout n∈N. Si f est constante, majorée, minorée, bornée, croissante ou décroissante, alors (un) est constante, majorée, minorée, bornée, croissante ou décroissante.
Démonstration
Soit (un) définie par un=f(n) pour tout n∈N.
- Constante : Si f est constante de valeur C, alors un=C pour tout n, donc (un) est constante. - Majorée : Si ∃C∈R,∀x∈N,f(x)≤C, alors un=f(n)≤C, donc (un) est majorée. De même pour minorée et bornée. - Croissante : Si f est croissante sur N, alors pour n≤p on a f(n)≤f(p), i.e. un≤up, donc (un) est croissante par la Définition 1.4. De même pour décroissante.
Attention
La réciproque est fausse.
Définition—Suites géométriques
On appelle suite géométrique de raisonq∈K toute suite (un) vérifiant la relation de récurrence∀n∈N,un+1=qunOn a alors un=u0qn pour tout n∈N.
Définition—Suites arithmético-géométriques
On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (un) vérifiant une relation de récurrence∀n∈N,un+1=aun+bavec (a,b)∈K2.
Méthode—Calculer le terme général d'une suite arithmético-géométrique
Soit (un) vérifiant la relation de récurrence un+1=aun+b. On suppose a=1 (sinon (un) est arithmétique).
On détermine un point fixe de x↦ax+b i.e. on résout l'équation x=ax+b. Comme a=1, on trouve une unique solution ℓ=1−ab.
On montre que la suite (un−ℓ) est géométrique de raison a.
On en déduit une expression du terme général de (un−ℓ) puis de (un).
Application
Déterminer le terme général de la suite (un) définie par {∀n∈N,un+1=3un−4,u0=−1.
Correction
On applique la Méthode (calcul du terme général d'une suite arithmético-géométrique), qui s'applique car a=3=1.
Étape 1 : point fixe. On résout x=3x−4, soit −2x=−4, d'où ℓ=2.
Étape 2 : suite géométrique. Posons wn=un−ℓ=un−2. D'après la Définition 1.7 :wn+1=un+1−2=(3un−4)−2=3un−6=3(un−2)=3wnDonc (wn) est une suite géométrique de raison 3, d'après la Définition 1.6.
Étape 3 : terme général. On a w0=u0−2=−1−2=−3. D'après la Définition 1.6, wn=w0⋅3n=−3⋅3n=−3n+1.
On dit que (un)∈KN est une suite récurrente linéaire homogène d'ordre 2 s'il existe (a,b)∈K2 tel que un+2+aun+1+bun=0 pour tout n∈N. Le polynôme caractéristique associé à une telle suite est X2+aX+b.
Proposition—Forme générale des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Pour (a,b)∈K×K∗, on note Ea,b l'ensemble des suites (un)∈KN telles que un+2+aun+1+bun=0 pour tout n∈N.
Cas complexe :K=C
Si Δ=0, Ea,b est l'ensemble des suites de terme général λr1n+μr2n où r1 et r2 sont les racines du polynôme caractéristique et (λ,μ)∈C2.
Si Δ=0, Ea,b est l'ensemble des suites de terme général (λn+μ)rn où r est la racine double du polynôme caractéristique et (λ,μ)∈C2.
Cas réel :K=R
Si Δ>0, Ea,b est l'ensemble des suites de terme général λr1n+μr2n où r1 et r2 sont les racines réelles du polynôme caractéristique et λ,μ∈R.
Si Δ=0, Ea,b est l'ensemble des suites de terme général (λn+μ)rn où r est la racine double réelle du polynôme caractéristique et (λ,μ)∈R2.
Si Δ<0, Ea,b est l'ensemble des suites de terme général λrncos(nθ)+μrnsin(nθ) où re±iθ sont les racines complexes conjuguées du polynôme caractéristique et (λ,μ)∈R2.
Démonstration
On montre que Ea,b est un espace vectoriel de dimension 2, puis on exhibe une base dans chaque cas.
Structure vectorielle.Ea,b est clairement un sous-espace vectoriel de KN (toute combinaison linéaire de solutions est solution, car la relation de récurrence est linéaire homogène).
Cas complexe, Δ=0. Soient r1=r2 les deux racines du polynôme caractéristique X2+aX+b. Les suites (r1n) et (r2n) vérifient la relation de récurrence (vérification directe : rin+2+arin+1+brin=rin(ri2+ari+b)=0). Elles sont dans Ea,b et linéairement indépendantes (si λr1n+μr2n=0 pour tout n, en évaluant en n=0 et n=1 : λ+μ=0 et λr1+μr2=0. Comme r1=r2, le déterminant du système est r2−r1=0, donc λ=μ=0). Ainsi (r1n) et (r2n) forment une famille libre de Ea,b.
Réciproquement, toute suite (un)∈Ea,b est entièrement déterminée par (u0,u1)∈K2 (via la relation de récurrence). L'application (un)↦(u0,u1) est un isomorphisme de Ea,b vers K2, donc dimEa,b=2. Ainsi (r1n)n∈N et (r2n)n∈N constituent une base de Ea,b, et tout élément s'écrit un=λr1n+μr2n avec (λ,μ)∈K2.
Cas complexe, Δ=0. Soit r la racine double. La suite (rn) est dans Ea,b. Montrons que (nrn) l'est aussi : (n+2)rn+2+a(n+1)rn+1+b⋅nrn=rn[n(r2+ar+b)+2r2+ar]=rn[0+r(2r+a)]. Or r est racine double, donc r1=r2=r et par les relations de Viète, −a=r1+r2=2r, soit 2r+a=0. Donc (nrn)∈Ea,b. Ces deux suites sont linéairement indépendantes (si λrn+μnrn=0 pour tout n≥1, alors (λ+μn)=0 donc μ=0 puis λ=0). Elles forment donc une base de Ea,b, et un=(λn+μ)rn.
Cas réel. Le cas Δ>0 est identique au cas complexe Δ=0 avec r1,r2∈R. Le cas Δ=0 est identique avec r∈R. Dans le cas Δ<0, les racines sont complexes conjuguées re±iθ avec r>0 et θ∈]0,π[. Les suites (rncos(nθ)) et (rnsin(nθ)) forment une base réelle de Ea,b (elles sont les parties réelles et imaginaires de la solution complexe (reiθ)n, et leur indépendance se vérifie par l'argument du déterminant de Gram pour θ∈/πZ).
Exemple—Suite de Fibonacci (cas Δ>0)
La suite de Fibonacci u0=1,u1=1,un+2=un+1+un a pour équation caractéristique X2−X−1=0, de discriminant Δ=5>0 et de racines r1,2=21±5. Son terme général est un=λr1n+μr2n, avec λ,μ fixés par u0=u1=1.
Remarque
La donnée de conditions initiales (valeurs de u0 et u1) permettent de déterminer les constantes λ et μ.
Application
1. Déterminer la suite réelle (un) telle que u0=0, u1=1 et un+2=2un+1−un pour tout n∈N.
2. Déterminer la suite réelle (un) telle que u0=u1=1 et un+2=un+1−un pour tout n∈N.
Correction
On applique la Proposition 1.4 (forme générale des suites récurrentes linéaires d'ordre 2) dans le cas réel K=R.
Question 1. La relation de récurrence est un+2=2un+1−un, soit un+2−2un+1+un=0. Le polynôme caractéristique est X2−2X+1=(X−1)2. Le discriminant est Δ=0, donc r=1 est racine double.
D'après la Proposition 1.4 (cas Δ=0, cas réel), les suites solutions sont de terme général (λn+μ)⋅1n=λn+μ.
Les conditions initiales u0=0 et u1=1 donnent :μ=0etλ+μ=1⟹λ=1Donc un=n pour tout n∈N.
Question 2. La relation de récurrence est un+2=un+1−un, soit un+2−un+1+un=0. Le polynôme caractéristique est X2−X+1. Son discriminant est Δ=1−4=−3<0. Les racines complexes sont re±iθ avec r=1 et θ=π/3 (car 21±i3=e±iπ/3).
D'après la Proposition 1.4 (cas Δ<0, cas réel), un=λcos(3nπ)+μsin(3nπ).
Les conditions initiales u0=u1=1 donnent :λ=1etλcos3π+μsin3π=1⟹21+μ23=1⟹μ=31Donc un=cos(3nπ)+31sin(3nπ) pour tout n∈N. □
