The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Généralités

1.1. Définition

Définition—Suite réelle

On appelle suite réelle toute famille d'éléments de

\mathbb{R}

indexée sur

\mathbb{N}

ou, de manière équivalente, toute application de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

. L'ensemble des suites réelles est donc

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

Remarque

Une suite de

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

peut-être notée

u

(application) ou

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

(famille). On emploie également la notation

(u_n)

. Si

u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}

, le terme général de

u

est noté

u_n

(famille) plutôt que

u(n)

(application).

Remarque

Par esprit de simplification, on ne traitera dans ce chapitre que des suites définies à partir du rang 0. On adaptera pour des suites définies à partir d'un certain rang

n_0 \in \mathbb{N}

Encadré—Modes de définition d'une suite

On donne une formule explicite de

u_n

en fonction de

n

du type

u_n = f(n)

.
On donne les

k

premiers termes de la suite et une relation de récurrence exprimant

u_n

en fonction des

k

termes précédents. On dit alors que

(u_n)

est une suite récurrente d'ordre

k

. Une suite récurrente d'ordre 1 vérifie donc une relation de récurrence du type

u_{n+1} = f(u_n)

u_n

est défini comme solution d'une équation dépendant de

n

Exemple

La suite de terme général

u_n = \dfrac{1}{n^2 + 1}

est une suite définie de manière explicite.
La suite

(u_n)

de premiers termes

u_0 = 1

u_1 = 1

et définie par la relation de récurrence

u_{n+2} = u_{n+1} + u_n

est une suite récurrente d'ordre 2.

Attention

Une relation de récurrence ne permet pas toujours de bien définir une suite. Par exemple, il n'existe pas de suite définie par

u_0 = 1

u_{n+1} = 2 + \sqrt{1 - u_n}

Proposition

Soient

D

une partie de

\mathbb{R}

f

une fonction définie sur

D

à valeurs dans

\mathbb{R}

. On suppose que

D

est stable par

f

i.e.

f(D) \subset D

. Alors, pour tout

d \in D

, il existe une unique suite définie par

u_0 = d

et la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

. De plus, pour tout

n \in \mathbb{N}

u_n \in D

Encadré—Représentation graphique d'une suite récurrente d'ordre 1

On obtient la représentation graphique d'une suite

(u_n)

définie par la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

en traçant le graphe de

f

et la première bissectrice.

1.2. Vocabulaire

Définition—Suites constantes, stationnaires

Une suite

(u_n)

est constante s'il existe

C \in \mathbb{R}

tel que

\forall n \in \mathbb{N}

u_n = C

. Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

1.3. Suites classiques

Définition—Suites arithmétiques

On appelle suite arithmétique de raison

r \in \mathbb{K}

toute suite

(u_n)

vérifiant la relation de récurrence

\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n + r

On a alors

u_n = u_0 + nr

pour tout

n \in \mathbb{N}

1. Généralités

1.1. Définition

Définition—Suite réelle

On appelle suite réelle toute famille d'éléments de

\mathbb{R}

indexée sur

\mathbb{N}

ou, de manière équivalente, toute application de

\mathbb{N}

dans

\mathbb{R}

. L'ensemble des suites réelles est donc

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

Remarque

Une suite de

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

peut-être notée

u

(application) ou

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

(famille). On emploie également la notation

(u_n)

. Si

u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}

, le terme général de

u

est noté

u_n

(famille) plutôt que

u(n)

(application).

Remarque

Par esprit de simplification, on ne traitera dans ce chapitre que des suites définies à partir du rang 0. On adaptera pour des suites définies à partir d'un certain rang

n_0 \in \mathbb{N}

Encadré—Modes de définition d'une suite

On donne une formule explicite de

u_n

en fonction de

n

du type

u_n = f(n)

.
On donne les

k

premiers termes de la suite et une relation de récurrence exprimant

u_n

en fonction des

k

termes précédents. On dit alors que

(u_n)

est une suite récurrente d'ordre

k

. Une suite récurrente d'ordre 1 vérifie donc une relation de récurrence du type

u_{n+1} = f(u_n)

u_n

est défini comme solution d'une équation dépendant de

n

Exemple

La suite de terme général

u_n = \dfrac{1}{n^2 + 1}

est une suite définie de manière explicite.
La suite

(u_n)

de premiers termes

u_0 = 1

u_1 = 1

et définie par la relation de récurrence

u_{n+2} = u_{n+1} + u_n

est une suite récurrente d'ordre 2.

Attention

Une relation de récurrence ne permet pas toujours de bien définir une suite. Par exemple, il n'existe pas de suite définie par

u_0 = 1

u_{n+1} = 2 + \sqrt{1 - u_n}

Proposition

Soient

D

une partie de

\mathbb{R}

f

une fonction définie sur

D

à valeurs dans

\mathbb{R}

. On suppose que

D

est stable par

f

i.e.

f(D) \subset D

. Alors, pour tout

d \in D

, il existe une unique suite définie par

u_0 = d

et la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

. De plus, pour tout

n \in \mathbb{N}

u_n \in D

Encadré—Représentation graphique d'une suite récurrente d'ordre 1

On obtient la représentation graphique d'une suite

(u_n)

définie par la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

en traçant le graphe de

f

et la première bissectrice.

1.2. Vocabulaire

Définition—Suites constantes, stationnaires

Une suite

(u_n)

est constante s'il existe

C \in \mathbb{R}

tel que

\forall n \in \mathbb{N}

u_n = C

. Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

1.3. Suites classiques

Définition—Suites arithmétiques

On appelle suite arithmétique de raison

r \in \mathbb{K}

toute suite

(u_n)

vérifiant la relation de récurrence

\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n + r

On a alors

u_n = u_0 + nr

pour tout

n \in \mathbb{N}

Suites numériques

1. Généralités

1.1. Définition

1.2. Vocabulaire

1.3. Suites classiques

1. Généralités

1.1. Définition

1.2. Vocabulaire

1.3. Suites classiques