Suites numériques

On note $a_n$ le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de l'entier $n \geq 1$. Pour quelles valeurs de $x \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série $$\sum \dfrac{x^{a_n}}{n^3} ?$$

Déterminer la nature de la série de terme général $$u_n = \dfrac{1}{n(\ln n)^\alpha}.$$

Soit $\alpha \in \mathbb{R}^*$. On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$ $$u_n = \dfrac{1}{\sum_{k=1}^{n} k^\alpha}.$$

Nature de la série de terme général $u_n$ ?

Soit $\alpha > 1$. Donner un équivalent simple à $$R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}.$$

Soient $u_0 \in ]0 ; \pi/2[$ et $u_{n+1} = \sin u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• (a) Montrer que $u_n \to 0^+$.
• (b) Exploiter $u_{n+1} - u_n$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_n^3$ converge.
• (c) Exploiter $\ln u_{n+1} - \ln u_n$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_n^2$ diverge.

Calculer la limite de $$u_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}\right).$$

On pose $$a_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n}.$$

• (a) Montrer que la suite $(a_n)$ converge et trouver sa limite $\lambda$.
• (b) Trouver un équivalent simple de $a_n - \lambda$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit $$u_n = \dfrac{(2n)!}{(2^n n!)^2}.$$

• (a) Déterminer un équivalent de $\ln u_{n+1} - \ln u_n$. En déduire que $u_n \to 0$.
• (b) En s'inspirant de ce qui précède, établir que $\sqrt{n} u_n \to C > 0$ (on ne cherchera pas expliciter la valeur de $C$).

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $$u_n = \dfrac{(2n)!}{(2^n n!)^2}.$$

Soient $0 < a < b$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite strictement positive telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+a}{n+b}.$$

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \dfrac{\alpha}{n} + O\left(\dfrac{1}{n^2}\right), \text{ avec } \alpha \in \mathbb{R}.$$

• (a) Pour quel(s) $\beta \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série de terme général $v_n = \ln \dfrac{(n+1)^\beta u_{n+1}}{n^\beta u_n}$ ?
• (b) En déduire qu'il existe $A \in \mathbb{R}_+^*$ pour lequel $u_n \sim A n^\alpha$.

(Somme harmonique) Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $$H_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.$$ Montrer que $$\forall n \in \mathbb{N}^*, H_{2n} - H_n \geq \dfrac{1}{2}.$$ En déduire que $\lim_{n \to \infty} H_n = +\infty$.

Soit $$f : x \mapsto \dfrac{x^3 + 1}{3}$$ et $(u_n)$ la suite définie par $$u_0 \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = f(u_n).$$ \begin{itemize} \item (a) Justifier que l'équation $f(x) = x$ possède trois racines réelles (qu'on n'exprimera pas). \item (b) Étudier le signe de $f(x) - x$ ainsi que la monotonie de $f$. \item (c) Préciser le comportement de $(u_n)$ en discutant selon la valeur de $u_0$. \end{itemize}

Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_0 \in ]0 ; 4[ \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = 4u_n - u_n^2.$$ \begin{itemize} \item (a) Montrer que $(u_n)$ est bornée. Quelles sont les limites possibles de $(u_n)$ ? \item (b) Montrer que si $(u_n)$ converge alors $(u_n)$ est soit stationnaire égale à $0$, soit stationnaire égale à $3$. \item (c) En posant $u_0 = 4\sin^2 \alpha$, déterminer les valeurs de $u_0$ pour lesquelles la suite $(u_n)$ est stationnaire. \end{itemize}

Soient $\rho \in \mathbb{R}_+$ et $\theta \in ]-\pi ; \pi]$. On considère la suite complexe $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $$z_0 = \rho e^{i\theta} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad z_{n+1} = \dfrac{z_n + |z_n|}{2}.$$ \begin{itemize} \item (a) Exprimer $z_n$ à l'aide d'un produit. \item (b) Déterminer la limite de la suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$. \end{itemize}

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites récurrentes réelles définies par : $$u_0, v_0 \in \mathbb{R}_+ \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}, \quad v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}.$$ Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers une même limite.

Pour $\alpha \in ]0 ; \pi/2]$, on étudie les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $$u_0 = \cos\alpha, \quad v_0 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}, \quad v_{n+1} = \sqrt{u_{n+1}v_n}.$$ \begin{itemize} \item (a) Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$u_n = v_n \cos\dfrac{\alpha}{2^n} \quad \text{et} \quad v_n = \prod_{k=1}^{n} \cos\dfrac{\alpha}{2^k}.$$ \item (b) Étudier $\sin\dfrac{\alpha}{2^n} v_n$ et en déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$. \end{itemize}

Soient $(a_n)$ une suite réelle positive, bornée et $(u_n)$ la suite récurrente définie par $$u_0 > 0 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \dfrac{1}{u_n + a_n + 1} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.$$ Montrer que la suite $(u_n)$ converge si, et seulement si, la suite $(a_n)$ converge.

Soit la suite définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$. (1) Démontrer que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 2$. (2) Démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante. En déduire qu'elle converge. On notera $\ell$ sa limite. (3) Déterminer $\ell$. (4) Illustrer le comportement de la suite en traçant les premiers termes. (5) Démontrer que $\forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - \ell| \leq \frac{1}{2}|u_n - \ell|$. (6) Pour $p \in \mathbb{N}$, en déduire un rang $n_0$ à partir duquel $u_n$ approche $\ell$ à $10^{-p}$ près.

Soit une suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ avec $x_0 > 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n}$. (1) Démontrer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante. (2) Démontrer successivement que (a) $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}^2 - x_n^2 \geq 2$ ; (b) $\forall n \in \mathbb{N}, x_n \geq \sqrt{2n}$ ; (c) $x_{n+1}^2 - x_n^2 \to 2$.

Soit la suite telle que $u_0 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n = \sqrt{n} + u_{n-1}$. Démontrer successivement que (1) $u_n \leq n$, par récurrence ; (2) $u_n/n \to 0$, par encadrement ; (3) $u_n/\sqrt{n} \to 1$ ; (4) $u_n - \sqrt{n} \to 1/2$, en utilisant la quantité conjuguée.

Les questions sont indépendantes. On demande de démontrer les propriétés par récurrence. (1) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$. (2) Si $q \neq 1$, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1 + q + \cdots + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}$. (3) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. (4) Soit un réel $a \geq -1$. Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 + na$. (5) Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n}$. (6) On définit les nombres de Fermat par $F_n = 2^{2^n} + 1$. Démontrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*, F_0 \cdots F_{n-1} = F_n - 2$. (7) On définit la suite de Fibonacci par les relations suivantes : $f_0 = 0$, $f_1 = 1$ et $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$ pour $n \geq 2$. Démontrer par récurrence les propriétés suivantes : (a) $f_{n+1}f_{n-1} - f_n^2 = (-1)^n$ ; (b) $f_1 + f_3 + \cdots + f_{2n+1} = f_{2n+2}$ ; (c) $f_0 + f_2 + \cdots + f_{2n} = f_{2n+1} - 1$ ; (d) $f_0 + f_1 + f_2 + \cdots + f_n = f_{n+2} - 1$ ; (e) $f_0^2 + \cdots + f_n^2 = f_nf_{n+1}$.

Rappeler la valeur de $S_n = 1+2+\cdots+n$. En déduire les valeurs de $A_n = 2+4+\cdots+2n$ et $B_n = 1+3+\cdots+(2n-1)$. Vérifier par récurrence le résultat obtenu pour $B_n$.

Calculer les limites suivantes si elles existent. 1. $\lim_{n \to +\infty} n \sin\left(\frac{1}{n}\right)$. 2. $\lim_{n \to +\infty} \frac{5^n+2^n}{3^n+4^n}$. 3. $\lim_{n \to +\infty} \frac{e^n+n^2-1}{e^n+n+\sin(n)+1}$.

En utilisant la question 6 de l'exercice n°37, démontrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.

Problème : étude de suites et intégration. (1) On définit la fonction tangente en posant $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. (a) Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de cette fonction ? (b) Démontrer que, pour tout $x \in \mathcal{D}$, on a $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$. (2) Pour $n \in \mathbb{N}$ on pose $u_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx$. (a) Calculer $u_0$ et $u_1$. (b) Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n + u_{n+2} = \frac{1}{n+1}$. (c) Démontrer que $0 \leq u_n \leq \frac{1}{n+1}$ ; en déduire la limite de la suite de terme général $u_n$. (3) Pour $n \in \mathbb{N}$ on pose $a_n = 1 - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1}$. (a) Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n = u_0 + (-1)^n u_{2n+2}$. (b) En déduire la limite de la suite de terme général $a_n$. (c) Procéder de façon analogue, sans rédiger une démonstration complète, pour déterminer la limite de la suite de terme général $b_n = 1 - \frac{1}{2} + \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ($n \geq 1$) en utilisant les termes impairs de la suite $u$.

Problème : autour du nombre e. Pour $n \in \mathbb{N}$ on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{1-x} dx$ et $u_n = n! e - I_n$. (1) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. (a) Démontrer que $\frac{1}{n+1} \leq I_n \leq \frac{e}{n+1}$. (b) En utilisant une intégration par parties, démontrer que $I_n = n I_{n-1} - 1$. (c) En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $u_{n-1}$ et $n$. (2) En déduire que tous les termes de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont entiers. (3) En déduire que, pour $n \in \mathbb{N}$, $n! e \notin \mathbb{Z}$. (4) En déduire que $e$ est irrationnel, c'est-à-dire que $e \notin \mathbb{Q}$. (5) Démontrer que la somme $s_n = \frac{1}{0!} + \cdots + \frac{1}{n!}$ est égale à $\frac{u_n}{n!}$. (6) En déduire la valeur de $\lim_{n\to+\infty} s_n$.

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{x^n e^{-x}}{n!}$ (avec la convention $0^0 = 1$) et $u_n = \int_0^1 \frac{x^n e^{-x}}{n!} dx = \int_0^1 f_n(x) dx$. (a) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $f'_n$ en fonction de $f_n$ et de $f_{n-1}$. (b) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, calculer $\int_0^1 f'_n(x) dx$. (c) Calculer $u_0$. (d) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_n = u_{n-1} - \frac{1}{en!}$. (e) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante. (f) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 0$. (g) En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge. (h) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \leq \frac{1}{n!}$. (i) En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^2 + x + 1$. (a) Déterminer $\lim_{x\to+\infty} u(x)$ et $\lim_{x\to-\infty} u(x)$. (b) En utilisant la forme canonique, montrer que, pour tout réel $x$, $u(x) \geq \frac{3}{4}$. (c) Montrer que, pour tout réel $x$, $\sqrt{u(x)} > |x + \frac{1}{2}|$. 2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$. (a) Vérifier que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$. (b) Montrer que, pour tout réel $x$, $|f(x)| 0$. 3. (a) Montrer que, pour tout réel $x$, $|f(x) - 1| = \frac{3}{2\sqrt{x^2+x+1}(2x+1+2\sqrt{x^2+x+1})}$. (b) En déduire que, pour tout $x > 0$, $|f(x) - 1| \leq \frac{3}{x}$. (c) Déterminer $\lim_{x\to+\infty} f(x)$.

1) a) Montrer que pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ (formules d'Euler). b) En déduire que pour tous $\theta \in \mathbb{R}$ : $e^{i\theta} - 1 = 2i e^{i\frac{\theta}{2}} \sin \frac{\theta}{2}$. 2) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$. On suppose que $x$ n'est pas un multiple entier de $\pi$ et on pose : $S = \sum_{k=0}^n e^{2ikx} = 1 + e^{2ix} + e^{4ix} + ... + e^{2inx}$. a) Simplifier $S$ en remarquant que $S$ est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique. b) En utilisant le résultat de la question 1), montrer que : $S = e^{inx} \frac{\sin((n+1)x)}{\sin x}$. c) En déduire que : $\sum_{k=0}^n \cos(2kx) = 1 + \cos(2x) + \cos(4x) + ... + \cos(2nx) = \frac{\sin((n+1)x)}{\sin x} \cos(nx)$.