On montre que
Ea,b est un espace vectoriel de dimension 2, puis on exhibe une base dans chaque cas.
Structure vectorielle. Ea,b est clairement un sous-espace vectoriel de
KN (toute combinaison linéaire de solutions est solution, car la relation de récurrence est linéaire homogène).
Cas complexe, Δ=0. Soient
r1=r2 les deux racines du polynôme caractéristique
X2+aX+b. Les suites
(r1n) et
(r2n) vérifient la relation de récurrence (vérification directe :
rin+2+arin+1+brin=rin(ri2+ari+b)=0). Elles sont dans
Ea,b et linéairement indépendantes (si
λr1n+μr2n=0 pour tout
n, en évaluant en
n=0 et
n=1 :
λ+μ=0 et
λr1+μr2=0. Comme
r1=r2, le déterminant du système est
r2−r1=0, donc
λ=μ=0). Ainsi
(r1n) et
(r2n) forment une famille libre de
Ea,b.
Réciproquement, toute suite
(un)∈Ea,b est entièrement déterminée par
(u0,u1)∈K2 (via la relation de récurrence). L'application
(un)↦(u0,u1) est un isomorphisme de
Ea,b vers
K2, donc
dimEa,b=2. Ainsi
(r1n)n∈N et
(r2n)n∈N constituent une base de
Ea,b, et tout élément s'écrit
un=λr1n+μr2n avec
(λ,μ)∈K2.
Cas complexe, Δ=0. Soit
r la racine double. La suite
(rn) est dans
Ea,b. Montrons que
(nrn) l'est aussi :
(n+2)rn+2+a(n+1)rn+1+b⋅nrn=rn[n(r2+ar+b)+2r2+ar]=rn[0+r(2r+a)]. Or
r est racine double, donc
r1=r2=r et par les relations de Viète,
−a=r1+r2=2r, soit
2r+a=0. Donc
(nrn)∈Ea,b. Ces deux suites sont linéairement indépendantes (si
λrn+μnrn=0 pour tout
n≥1, alors
(λ+μn)=0 donc
μ=0 puis
λ=0). Elles forment donc une base de
Ea,b, et
un=(λn+μ)rn.
Cas réel. Le cas
Δ>0 est identique au cas complexe
Δ=0 avec
r1,r2∈R. Le cas
Δ=0 est identique avec
r∈R. Dans le cas
Δ<0, les racines sont complexes conjuguées
re±iθ avec
r>0 et
θ∈]0,π[. Les suites
(rncos(nθ)) et
(rnsin(nθ)) forment une base réelle de
Ea,b (elles sont les parties réelles et imaginaires de la solution complexe
(reiθ)n, et leur indépendance se vérifie par l'argument du déterminant de Gram pour
θ∈/πZ).