Suites numériques

Montrons l'existence et l'unicité par récurrence.

Existence. On définit la suite par $u_0 = d \in D$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $D$ est stable par $f$ (i.e. $f(D) \subset D$) et $u_0 \in D$, on a $u_1 = f(u_0) \in D$. Par récurrence immédiate : si $u_n \in D$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f(D) \subset D$. Ainsi $u_n \in D$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et la suite est bien définie.

Unicité. Supposons que $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifient toutes deux $w_0 = d$ et $w_{n+1} = f(w_n)$. Par récurrence : $u_0 = v_0 = d$, et si $u_n = v_n$, alors $u_{n+1} = f(u_n) = f(v_n) = v_{n+1}$. Donc $u_n = v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Montrons les quatre équivalences. On détaille la première ; les autres se traitent de façon analogue.

$(u_n)$ croissante $\Rightarrow$ $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq u_{n+1}$. Par la Définition 1.4, si $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $(n, p) \in \mathbb{N}^2$ avec $n \leq p$, on a $u_n \leq u_p$. En prenant $p = n+1 \geq n$, on obtient $u_n \leq u_{n+1}$.

$\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq u_{n+1}$ $\Rightarrow$ $(u_n)$ croissante. Soient $n \leq p$. Par récurrence sur $p - n$ : si $p = n$, $u_n \leq u_n$ est trivial. Si $u_n \leq u_p$, alors $u_n \leq u_p \leq u_{p+1}$ par hypothèse. Donc $(u_n)$ est croissante d'après la Définition 1.4.

Les équivalences pour la décroissance, croissance stricte et décroissance stricte se montrent identiquement.

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = f(n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

- Constante : Si $f$ est constante de valeur $C$, alors $u_n = C$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est constante.
- Majorée : Si $\exists C \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{N},\ f(x) \leq C$, alors $u_n = f(n) \leq C$, donc $(u_n)$ est majorée. De même pour minorée et bornée.
- Croissante : Si $f$ est croissante sur $\mathbb{N}$, alors pour $n \leq p$ on a $f(n) \leq f(p)$, i.e. $u_n \leq u_p$, donc $(u_n)$ est croissante par la Définition 1.4. De même pour décroissante.

On montre que $E_{a,b}$ est un espace vectoriel de dimension 2, puis on exhibe une base dans chaque cas.

Structure vectorielle. $E_{a,b}$ est clairement un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ (toute combinaison linéaire de solutions est solution, car la relation de récurrence est linéaire homogène).

Cas complexe, $\Delta \neq 0$. Soient $r_1 \neq r_2$ les deux racines du polynôme caractéristique $X^2 + aX + b$. Les suites $(r_1^n)$ et $(r_2^n)$ vérifient la relation de récurrence (vérification directe : $r_i^{n+2} + a r_i^{n+1} + b r_i^n = r_i^n(r_i^2 + ar_i + b) = 0$). Elles sont dans $E_{a,b}$ et linéairement indépendantes (si $\lambda r_1^n + \mu r_2^n = 0$ pour tout $n$, en évaluant en $n=0$ et $n=1$ : $\lambda + \mu = 0$ et $\lambda r_1 + \mu r_2 = 0$. Comme $r_1 \neq r_2$, le déterminant du système est $r_2 - r_1 \neq 0$, donc $\lambda = \mu = 0$). Ainsi $(r_1^n)$ et $(r_2^n)$ forment une famille libre de $E_{a,b}$.

Réciproquement, toute suite $(u_n) \in E_{a,b}$ est entièrement déterminée par $(u_0, u_1) \in \mathbb{K}^2$ (via la relation de récurrence). L'application $(u_n) \mapsto (u_0, u_1)$ est un isomorphisme de $E_{a,b}$ vers $\mathbb{K}^2$, donc $\dim E_{a,b} = 2$. Ainsi $(r_1^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(r_2^n)_{n \in \mathbb{N}}$ constituent une base de $E_{a,b}$, et tout élément s'écrit $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$.

Cas complexe, $\Delta = 0$. Soit $r$ la racine double. La suite $(r^n)$ est dans $E_{a,b}$. Montrons que $(nr^n)$ l'est aussi : $(n+2)r^{n+2} + a(n+1)r^{n+1} + b \cdot n r^n = r^n[n(r^2 + ar + b) + 2r^2 + ar] = r^n[0 + r(2r + a)]$. Or $r$ est racine double, donc $r_1 = r_2 = r$ et par les relations de Viète, $-a = r_1 + r_2 = 2r$, soit $2r + a = 0$. Donc $(nr^n) \in E_{a,b}$. Ces deux suites sont linéairement indépendantes (si $\lambda r^n + \mu n r^n = 0$ pour tout $n \geq 1$, alors $(\lambda + \mu n) = 0$ donc $\mu = 0$ puis $\lambda = 0$). Elles forment donc une base de $E_{a,b}$, et $u_n = (\lambda n + \mu)r^n$.

Cas réel. Le cas $\Delta > 0$ est identique au cas complexe $\Delta \neq 0$ avec $r_1, r_2 \in \mathbb{R}$. Le cas $\Delta = 0$ est identique avec $r \in \mathbb{R}$. Dans le cas $\Delta < 0$, les racines sont complexes conjuguées $re^{\pm i\theta}$ avec $r > 0$ et $\theta \in ]0, \pi[$. Les suites $(r^n \cos(n\theta))$ et $(r^n \sin(n\theta))$ forment une base réelle de $E_{a,b}$ (elles sont les parties réelles et imaginaires de la solution complexe $(re^{i\theta})^n$, et leur indépendance se vérifie par l'argument du déterminant de Gram pour $\theta \notin \pi\mathbb{Z}$).