Soit la suite definie par u0=0 et ∀n∈N∗,un=n+un−1, de sorte que un=∑k=1nk. Demontrer successivement les proprietes suivantes.
Montrer, par comparaison somme-integrale, que 32n3/2≤un≤32(n+1)3/2.
En deduire que un/n→+∞.
Montrer que un∼32n3/2.
Determiner la limite de nun−32n3/2 en utilisant la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin.
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Démonstrations par récurrence
Les questions sont independantes. Demontrer les proprietes suivantes par recurrence.
Pour n∈N∗, 1+2+⋯+n=2n(n+1).
Si q=1, pour n∈N∗, 1+q+⋯+qn−1=1−q1−qn.
Pour n∈N∗, 12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1).
Soit un reel a≥−1. Demontrer que, pour tout n∈N, (1+a)n≥1+na (inegalite de Bernoulli).
Pour tout entier n≥1, 121+221+⋯+n21≤2−n1.
On definit les nombres de Fermat par Fn=22n+1. Demontrer que ∀n∈N∗,F0⋯Fn−1=Fn−2.
On definit la suite de Fibonacci par f0=0, f1=1 et fn=fn−1+fn−2 pour n≥2. Demontrer par recurrence : (a) fn+1fn−1−fn2=(−1)n ; (b) f1+f3+⋯+f2n+1=f2n+2 ; (c) f0+f2+⋯+f2n=f2n+1−1 ; (d) f0+f1+⋯+fn=fn+2−1 ; (e) f02+⋯+fn2=fnfn+1.
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Sommes Sn, An, Bn
Rappeler la valeur de Sn=1+2+⋯+n. En déduire les valeurs de An=2+4+⋯+2n et Bn=1+3+⋯+(2n−1). Vérifier par récurrence le résultat obtenu pour Bn.
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Fermat : premiers deux à deux
On admet la propriété suivante : pour tout n∈N∗, F0F1⋯Fn−1=Fn−2, où Fk=22k+1 désigne le k-ième nombre de Fermat. Démontrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux.
