Suites et séries de fonctions

THE MATHS TAILOR

1. Suites de fonctions

1.1. Modes de convergence d'une suite de fonctions

Définition—Convergence simple

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions de

A

dans

K

. On dit que

(f_{n})

converge simplement sur

A

vers une fonction

f

A

dans

K

\forall x \in A, n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x)

Exemple

On pose

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}

pour

x \in R

n \in N^{*}

. La suite de fonctions

(f_{n})

converge simplement sur

R

vers

x \mapsto e^{x}

Application

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions définies sur un intervalle

I

R

à valeurs dans

R

convergeant simplement sur

I

vers une fonction

f

. Montrer que si les

f_{n}

sont croissantes / décroissantes / convexes / concaves, alors

f

est croissante / décroissante / convexe / concave.

Encadré—Rappel : Norme uniforme

On rappelle que la norme uniforme est définie sur l'ensemble des fonctions bornées de

A

dans

K

par

∥ f ∥_{\infty} = x \in A sup ∣ f (x) ∣

Définition—Convergence uniforme

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions de

A

dans

K

. On dit que

(f_{n})

converge uniformément sur

A

vers une fonction

f

A

dans

K

si les fonctions

f_{n} - f

sont bornées à partir d'un certain rang et

n \to + \infty lim ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = 0

Remarques

En termes de quantificateurs, la convergence simple s'écrit :

\forall x \in A, \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε

La convergence uniforme s'écrit :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, \forall x \in A, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε

On notera la place du quantificateur «

\forall x \in A

».

Application

Montrer qu'une combinaison linéaire de deux suites de fonctions convergeant uniformément sur une partie de

R

converge également uniformément sur cette partie.

Correction bientôt disponible

Proposition—La convergence uniforme implique la convergence simple

Si une suite de fonctions

(f_{n})

converge uniformément sur

A

vers

f

, alors elle converge simplement vers

f

sur

A

Démonstration bientôt disponible

Attention

La réciproque est fausse.

Méthode—Montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions dont on souhaite montrer qu'elle converge uniformément.

On étudie d'abord la convergence simple. On fixe $x \in A$ et on étudie la limite éventuelle de la suite $(f_{n} (x))$ . Si cette limite existe, on note $f (x)$ cette limite. Ainsi $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur l'ensemble $D$ des $x$ pour lesquels cette limite existe.
Il s'agit ensuite de montrer que $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ . On doit donc trouver une majoration de $∣ f (x) - f_{n} (x) ∣$ indépendante de $x$ . Pour cela, on peut étudier les variations de $f_{n} - f$ sur $A$ pour déterminer la borne supérieure (ou éventuellement le maximum) de $∣ f_{n} - f ∣$ sur $A$ .

Exemple

Soit

a \in [0, 1 [

. On considère la suite de fonctions de terme général

f_{n} : x \in [0, 1] \mapsto na x^{n} (1 - x)

Etudions d'abord la convergence simple. Si $x \in [0, 1 [$ , $(f_{n} (x))$ converge vers 0 par croissances comparées. De plus, $f_{n} (1) = 0$ pour tout $n \in N$ . Ainsi $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle.
$f_{n}$ est dérivable sur $[0, 1]$ et $f_{n}^{'} (x) = na x^{n - 1} (n - (n + 1) x)$ . Comme $f_{n} (0) = f_{n} (1) = 0$ , on en déduit aisément que $f_{n}$ est positive sur $[0, 1]$ et qu'elle admet son maximum en $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Ainsi $∥ f_{n} ∥_{\infty} = f_{n} (\frac{n}{n + 1}) = \frac{na}{n + 1} (1 - \frac{1}{n + 1})^{n}$ Or $ln ((1 - \frac{1}{n + 1})^{n}) = n ln (1 - \frac{1}{n + 1}) \sim_{n \to + \infty} - \frac{n}{n + 1} \sim_{n \to + \infty} - 1$ On en déduit que $n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1})^{n} = e^{- 1}$ . Par ailleurs, $n \to + \infty lim \frac{na}{n + 1} = 0$ car $a < 1$ . On en déduit que $n \to + \infty lim ∥ f_{n} ∥_{\infty} = 0$ donc $(f_{n})$ converge uniformément vers la fonction nulle.

Méthode—Montrer qu'une suite de fonctions ne converge pas uniformément

Tout d'abord, si une suite de fonctions $(f_{n})$ ne converge pas simplement, elle ne peut converger uniformément.
Si l'on veut montrer qu'une suite de fonctions $(f_{n})$ convergeant simplement vers $f$ ne converge pas uniformément, il suffit de trouver une suite $(x_{n}) \in A^{N}$ tel que la suite $(f (x_{n}) - f_{n} (x_{n}))$ ne converge pas vers 0.
En effet, si $(f_{n})$ convergeait uniformément, elle convergerait uniformément vers $f$ et on aurait donc $n \to + \infty lim f (x_{n}) - f_{n} (x_{n}) = 0$ quelle que soit la suite $(x_{n}) \in A^{N}$ choisie.

Exemple

Posons

f_{n} : x \in R_{+} \mapsto n x e^{- n x}

. On montre aisément que

(f_{n})

converge simplement sur

R_{+}

vers la fonction nulle (croissance comparée si

x > 0

et traiter le cas

x = 0

à part). Une étude de fonctions montre que

f_{n}

admet son maximum en

x_{n} = \frac{1}{n}

. Or

f_{n} (x_{n}) = e^{- 1}

donc la suite

(f_{n} (x_{n}))

ne converge pas vers 0. La suite de fonctions

(f_{n})

ne converge donc pas uniformément sur

R_{+}

Attention

(A_{i})_{i \in I}

est une famille infinie de parties de

A

et si

(f_{n})

converge uniformément sur chacun des

A_{i}

, alors

(f_{n})

ne converge pas forcément uniformément sur

i \in I ⋃ A_{i}

. C'est néanmoins vrai lorsque la famille

(A_{i})_{i \in I}

est finie.

Exemple

Soit

f_{n} : x \in [0, 1 [\mapsto x^{n}

. Il est clair que

(f_{n})

converge simplement vers la fonction nulle sur

[0, 1 [

. Pour tout

a \in [0, 1 [

∥ f_{n} ∥_{\infty, [0, a]} = a^{n} n \to + \infty 0

donc la suite

(f_{n})

converge uniformément sur

[0, a]

. Par contre,

(f_{n})

ne converge pas uniformément sur

a \in [0, 1 [⋃ [0, a] = [0, 1 [

car

∥ f_{n} ∥_{\infty, [0, 1 [} = 1

pour tout

n \in N

Application

Montrer que la suite de fonctions

(x \mapsto n x e^{- n x})_{n \in N}

converge uniformément sur tout segment de

R_{+}

mais pas sur

R_{+}

1.2. Théorèmes d'interversion

Définition—Point adhérent

On dit que

a \in \overline{R}

est adhérent à

A

si pour tout

ε > 0

A \cap] a - ε, a + ε [\neq = \emptyset

1. Suites de fonctions

1.1. Modes de convergence d'une suite de fonctions

Définition—Convergence simple

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions de

A

dans

K

. On dit que

(f_{n})

converge simplement sur

A

vers une fonction

f

A

dans

K

\forall x \in A, n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x)

Exemple

On pose

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{n}

pour

x \in R

n \in N^{*}

. La suite de fonctions

(f_{n})

converge simplement sur

R

vers

x \mapsto e^{x}

Application

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions définies sur un intervalle

I

R

à valeurs dans

R

convergeant simplement sur

I

vers une fonction

f

. Montrer que si les

f_{n}

sont croissantes / décroissantes / convexes / concaves, alors

f

est croissante / décroissante / convexe / concave.

Encadré—Rappel : Norme uniforme

On rappelle que la norme uniforme est définie sur l'ensemble des fonctions bornées de

A

dans

K

par

∥ f ∥_{\infty} = x \in A sup ∣ f (x) ∣

Définition—Convergence uniforme

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions de

A

dans

K

. On dit que

(f_{n})

converge uniformément sur

A

vers une fonction

f

A

dans

K

si les fonctions

f_{n} - f

sont bornées à partir d'un certain rang et

n \to + \infty lim ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = 0

Remarques

En termes de quantificateurs, la convergence simple s'écrit :

\forall x \in A, \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε

La convergence uniforme s'écrit :

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, \forall x \in A, ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \leq ε

On notera la place du quantificateur «

\forall x \in A

».

Application

Montrer qu'une combinaison linéaire de deux suites de fonctions convergeant uniformément sur une partie de

R

converge également uniformément sur cette partie.

Correction bientôt disponible

Proposition—La convergence uniforme implique la convergence simple

Si une suite de fonctions

(f_{n})

converge uniformément sur

A

vers

f

, alors elle converge simplement vers

f

sur

A

Démonstration bientôt disponible

Attention

La réciproque est fausse.

Méthode—Montrer qu'une suite de fonctions converge uniformément

Soit

(f_{n})

une suite de fonctions dont on souhaite montrer qu'elle converge uniformément.

On étudie d'abord la convergence simple. On fixe $x \in A$ et on étudie la limite éventuelle de la suite $(f_{n} (x))$ . Si cette limite existe, on note $f (x)$ cette limite. Ainsi $(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur l'ensemble $D$ des $x$ pour lesquels cette limite existe.
Il s'agit ensuite de montrer que $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ . On doit donc trouver une majoration de $∣ f (x) - f_{n} (x) ∣$ indépendante de $x$ . Pour cela, on peut étudier les variations de $f_{n} - f$ sur $A$ pour déterminer la borne supérieure (ou éventuellement le maximum) de $∣ f_{n} - f ∣$ sur $A$ .

Exemple

Soit

a \in [0, 1 [

. On considère la suite de fonctions de terme général

f_{n} : x \in [0, 1] \mapsto na x^{n} (1 - x)

Etudions d'abord la convergence simple. Si $x \in [0, 1 [$ , $(f_{n} (x))$ converge vers 0 par croissances comparées. De plus, $f_{n} (1) = 0$ pour tout $n \in N$ . Ainsi $(f_{n})$ converge simplement vers la fonction nulle.
$f_{n}$ est dérivable sur $[0, 1]$ et $f_{n}^{'} (x) = na x^{n - 1} (n - (n + 1) x)$ . Comme $f_{n} (0) = f_{n} (1) = 0$ , on en déduit aisément que $f_{n}$ est positive sur $[0, 1]$ et qu'elle admet son maximum en $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Ainsi $∥ f_{n} ∥_{\infty} = f_{n} (\frac{n}{n + 1}) = \frac{na}{n + 1} (1 - \frac{1}{n + 1})^{n}$ Or $ln ((1 - \frac{1}{n + 1})^{n}) = n ln (1 - \frac{1}{n + 1}) \sim_{n \to + \infty} - \frac{n}{n + 1} \sim_{n \to + \infty} - 1$ On en déduit que $n \to + \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1})^{n} = e^{- 1}$ . Par ailleurs, $n \to + \infty lim \frac{na}{n + 1} = 0$ car $a < 1$ . On en déduit que $n \to + \infty lim ∥ f_{n} ∥_{\infty} = 0$ donc $(f_{n})$ converge uniformément vers la fonction nulle.

Méthode—Montrer qu'une suite de fonctions ne converge pas uniformément

Tout d'abord, si une suite de fonctions $(f_{n})$ ne converge pas simplement, elle ne peut converger uniformément.
Si l'on veut montrer qu'une suite de fonctions $(f_{n})$ convergeant simplement vers $f$ ne converge pas uniformément, il suffit de trouver une suite $(x_{n}) \in A^{N}$ tel que la suite $(f (x_{n}) - f_{n} (x_{n}))$ ne converge pas vers 0.
En effet, si $(f_{n})$ convergeait uniformément, elle convergerait uniformément vers $f$ et on aurait donc $n \to + \infty lim f (x_{n}) - f_{n} (x_{n}) = 0$ quelle que soit la suite $(x_{n}) \in A^{N}$ choisie.

Exemple

Posons

f_{n} : x \in R_{+} \mapsto n x e^{- n x}

. On montre aisément que

(f_{n})

converge simplement sur

R_{+}

vers la fonction nulle (croissance comparée si

x > 0

et traiter le cas

x = 0

à part). Une étude de fonctions montre que

f_{n}

admet son maximum en

x_{n} = \frac{1}{n}

. Or

f_{n} (x_{n}) = e^{- 1}

donc la suite

(f_{n} (x_{n}))

ne converge pas vers 0. La suite de fonctions

(f_{n})

ne converge donc pas uniformément sur

R_{+}

Attention

(A_{i})_{i \in I}

est une famille infinie de parties de

A

et si

(f_{n})

converge uniformément sur chacun des

A_{i}

, alors

(f_{n})

ne converge pas forcément uniformément sur

i \in I ⋃ A_{i}

. C'est néanmoins vrai lorsque la famille

(A_{i})_{i \in I}

est finie.

Exemple

Soit

f_{n} : x \in [0, 1 [\mapsto x^{n}

. Il est clair que

(f_{n})

converge simplement vers la fonction nulle sur

[0, 1 [

. Pour tout

a \in [0, 1 [

∥ f_{n} ∥_{\infty, [0, a]} = a^{n} n \to + \infty 0

donc la suite

(f_{n})

converge uniformément sur

[0, a]

. Par contre,

(f_{n})

ne converge pas uniformément sur

a \in [0, 1 [⋃ [0, a] = [0, 1 [

car

∥ f_{n} ∥_{\infty, [0, 1 [} = 1

pour tout

n \in N

Application

Montrer que la suite de fonctions

(x \mapsto n x e^{- n x})_{n \in N}

converge uniformément sur tout segment de

R_{+}

mais pas sur

R_{+}

1.2. Théorèmes d'interversion

Définition—Point adhérent

On dit que

a \in \overline{R}

est adhérent à

A

si pour tout

ε > 0

A \cap] a - ε, a + ε [\neq = \emptyset