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Suites et séries de fonctions | The Maths Tailor

Suites et séries de fonctions

Cours Exercices

Cours

1Suites de fonctions

2Séries de fonctions

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3Approximation uniforme

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Méthodes11p.1/2

TunnelDémontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f

Pour démontrer qu'une suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ , on peut :

étudier les variations de la fonction $f_{n} - f$ sur $I$ (en la dérivant par exemple) afin de déterminer $x \in I sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ et de démontrer que cette quantité tend vers 0;
majorer directement $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣$ pour tout $x \in I$ par une quantité qui ne dépend plus de $x$ et qui tend vers 0;
démontrer que la série télescopique $n \sum (f_{n + 1} - f_{n})$ converge uniformément (normalement) sur $I$ .

ClassiqueDémontrer qu'une suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément vers f

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ClassiqueÉtudier la monotonie de la somme d'une série

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PavlovDémontrer qu'une série de fonctions converge normalement sur I

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ClassiqueDémontrer qu'une série de fonctions ne converge pas normalement sur I

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ClassiqueDémontrer qu'une série de fonctions converge uniformément sur I

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ClassiqueDéterminer un équivalent aux bornes de la somme d'une série de fonctions

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TunnelSérie de fonctions alternée (critère spécial)

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TunnelÉtudier la régularité de la somme d'une série

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TunnelÉtudier la limite aux bornes d'une fonction définie comme la somme d'une série

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1 / 2

Exercices

Convergence uniforme de n x^{2} e^{- n x}

On pose

f_{n} (x) = n x^{2} e^{- n x} avec x \in R^{+} .

Étudier la convergence uniforme de

(f_{n})

sur

R^{+}

puis sur

[a; + \infty [

avec

a > 0

.

Indication

Convergence de (1 - x / n)^{n} tronquée en n

Soit, pour

n \in N

,

f_{n}

la fonction définie sur

R^{+}

par

f_{n} (x) = (1 - \frac{x}{n})^{n} si x \in [0; n [et f_{n} (x) = 0 si x \geq n .

Étudier le mode de convergence de

(f_{n})

.

Indication

Convergence uniforme de (1 + x / n)^{- n} sur R^{+}

Soit

f_{n} : R^{+} \to R

définie par

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{- n} .

Étudier la limite simple de $(f_{n})$ et montrer que $\forall x \in R^{+}, f_{n} (x) \geq lim f_{n} (x)$ .
En partant de l'encadrement $t - t^{2} /2 \leq ln (1 + t) \leq t$ , justifier que la suite $(f_{n})$ converge uniformément sur tout intervalle $[0; a]$ (avec $a > 0$ ).
Établir qu'en fait, la suite de fonctions $(f_{n})$ converge uniformément sur $R^{+}$ .

Indication

Théorème de Dini

Soit $(f_{n})$ une suite croissante de fonctions réelles continues sur un segment $[a, b]$ de $R$ . Montrer que si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ , alors la convergence est uniforme.
Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions croissantes, réelles et continues sur un segment $[a, b]$ de $R$ . Montrer que si $(f_{n})$ converge simplement vers une fonction $f$ continue sur $[a, b]$ , alors la convergence est uniforme.

Indication

Convergence uniforme de x^{n} ln x

Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} (x) = x^{n} ln x avec x \in] 0; 1] et u_{n} (0) = 0.

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions

(u_{n})_{n \geq 1}

sur

[0; 1]

.

Indication

Convergence uniforme de \frac{x}{n ( 1 + x ^{n} )}

Étudier la convergence uniforme de

f_{n} : [0; + \infty [\to R

définie par

f_{n} (x) = \frac{x}{n ( 1 + x ^{n} )} .

Indication

Convergence de sin^{n} (x) cos (x) sur R

Étudier la convergence simple et uniforme sur

R

de la suite de fonctions

(f_{n})

donnée par

f_{n} (x) = sin^{n} (x) cos (x) .

Indication

Convergence uniforme de n^{α} x (1 - x)^{n}

Soient

α \in R

et

f_{n} : [0; 1] \to R

définie par

f_{n} (x) = n^{α} x (1 - x)^{n} .

Étudier la limite simple de la suite $(f_{n})$ .
Pour quels $α \in R$ , y a-t-il convergence uniforme ?

Indication

Convergence simple et uniforme de n^{α} x^{n} (1 - x)

Convergence uniforme de n (f (x + 1/ n) - f (x)) vers f^{'}

Limite uniforme de x^{2} + 1/ n pas C^{1}

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