THE MATHS TAILOR

Systèmes linéaires

SUPalgebre

1. Notion de système linéaire

1.1. Définition

Définition—Système linéaire

Soient

n

et

p

deux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire de

n

équations à

p

inconnues tout système d'équations de la forme

⎩ ⎨ ⎧ coe f f s_{1, 1} x_{1} + coe f f s_{1, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{1, p} x_{p} = b_{1} coe f f s_{2, 1} x_{1} + coe f f s_{2, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{2, p} x_{p} = b_{2} ⋮ coe f f s_{n, 1} x_{1} + coe f f s_{n, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{n, p} x_{p} = b_{n}

où

x_{1}, \dots, x_{p}

sont des inconnues.

Exemple—Quelques exemples et contre-exemples

est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
est un sytème linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
est un système d'équation linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
n'est pas un système linéaire.
n'est pas un système linéaire.

Remarque—Interprétation géométrique

Cas $n = 2$ Les équations intervenant dans un système linéaire à deux inconnues sont de la forme

a x + b y = c

. Sauf cas particulier où

(a, b) = (0, 0)

, ce sont des équations de droites du plan. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à deux inconnues peut être interprété comme l'intersection de droites du plan.

Cas $n = 3$ Les équations intervenant dans un système linéaire à trois inconnues sont de la forme

a x + b y + cz = d

. Sauf cas particulier où

(a, b, c) = (0, 0, 0)

, ce sont des équations de plans de l'espace. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à trois inconnues peut être interprété comme l'intersection de plans de l'espace.

2. Structure de l'ensemble des solutions

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Résolution d'un système linéaire

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Quelques exemples

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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1. Notion de système linéaire

1.1. Définition

Définition—Système linéaire

Soient

n

et

p

deux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire de

n

équations à

p

inconnues tout système d'équations de la forme

⎩ ⎨ ⎧ coe f f s_{1, 1} x_{1} + coe f f s_{1, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{1, p} x_{p} = b_{1} coe f f s_{2, 1} x_{1} + coe f f s_{2, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{2, p} x_{p} = b_{2} ⋮ coe f f s_{n, 1} x_{1} + coe f f s_{n, 2} x_{2} + \dots + coe f f s_{n, p} x_{p} = b_{n}

où

x_{1}, \dots, x_{p}

sont des inconnues.

Exemple—Quelques exemples et contre-exemples

est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
est un sytème linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
est un système d'équation linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
n'est pas un système linéaire.
n'est pas un système linéaire.

Remarque—Interprétation géométrique

Cas $n = 2$ Les équations intervenant dans un système linéaire à deux inconnues sont de la forme

a x + b y = c

. Sauf cas particulier où

(a, b) = (0, 0)

, ce sont des équations de droites du plan. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à deux inconnues peut être interprété comme l'intersection de droites du plan.

Cas $n = 3$ Les équations intervenant dans un système linéaire à trois inconnues sont de la forme

a x + b y + cz = d

. Sauf cas particulier où

(a, b, c) = (0, 0, 0)

, ce sont des équations de plans de l'espace. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à trois inconnues peut être interprété comme l'intersection de plans de l'espace.

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4. Quelques exemples

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