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Systèmes linéaires | The Maths Tailor

Systèmes linéaires

Cours Exercices

Cours— 4 sections

1Notion de système linéaire

1. Notion de système linéaire

1.1. Définition

Définition —Système linéaire

Soient

n

p

deux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire de

n

équations à

p

inconnues tout système d'équations de la forme

\begin{cases} coeffs_{1,1}x_1 + coeffs_{1,2}x_2 + \dots + coeffs_{1,p}x_p = b_1 \\ coeffs_{2,1}x_1 + coeffs_{2,2}x_2 + \dots + coeffs_{2,p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ coeffs_{n,1}x_1 + coeffs_{n,2}x_2 + \dots + coeffs_{n,p}x_p = b_n \end{cases}

où

x_1, \dots, x_p

sont des inconnues.

Exemple —Quelques exemples et contre-exemples

$\begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ 2x_1 - 3x_2 = 4 \end{cases}$ est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 7x - 5y - 2z = 2 \end{cases}$ est un sytème linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
$\begin{cases} x = y + 2z + 1 \\ z + y + 2 = -3x \\ 2x + 3y - 3 = 17z \end{cases}$ est un système d'équation linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
$\begin{cases} e^x + y = 1 \\ x + \sin(y) = 2 \end{cases}$ n'est pas un système linéaire.
$\begin{cases} x^2 + 2y^3 = -3 \\ 2x^4 - y^5 = 2 \end{cases}$ n'est pas un système linéaire.

Remarque —Interprétation géométrique

Cas $n=2$ Les équations intervenant dans un système linéaire à deux inconnues sont de la forme

ax+by=c

. Sauf cas particulier où

(a,b)=(0,0)

, ce sont des équations de droites du plan. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à deux inconnues peut être interprété comme l'intersection de droites du plan.

Cas $n=3$ Les équations intervenant dans un système linéaire à trois inconnues sont de la forme

ax+by+cz=d

. Sauf cas particulier où

(a,b,c)=(0,0,0)

, ce sont des équations de plans de l'espace. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à trois inconnues peut être interprété comme l'intersection de plans de l'espace.

2Structure de l'ensemble des solutions

3Résolution d'un système linéaire

4Quelques exemples

Cours

1Notion de système linéaire

2Structure de l'ensemble des solutions

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3Résolution d'un système linéaire

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4Quelques exemples

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Méthodes3

TunnelRésolution d'un système linéaire

Étapes :

- Écriture matricielle :

AX = B

- Échelonnement : Opérations

L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j

pour obtenir une forme échelonnée

- Discussion (si paramètres) :
- Calculer le rang de

A

et de

(A|B)

selon les valeurs des paramètres

- Système compatible ssi

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|B)

- Dimension des solutions =

n - \operatorname{rg}(A)

- Résolution : Remonter le système échelonné

Cas particuliers :

- Système de Cramer (

\det A \neq 0

) : solution unique

- Système homogène (

B = 0

) : toujours compatible

ClassiqueSystèmes à structure circulaire/cascade

Méthode complète avec le plan Élève

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TunnelCalcul de l'inverse par pivot de Gauss

Méthode complète avec le plan Élève

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Exercices

3\times 3

Discuter suivant

a

b

et résoudre

\begin{cases} ax + 2by + 2z = 1 \\ 2x + aby + 2z = b \\ 2x + 2by + az = 1. \end{cases}

Indication

Appliquer la Résolution d'un système linéaire : former le tableau augmenté et effectuer le pivot de Gauss, en distinguant les cas

a = 2

a = -4

b = 0

et le cas général.

4\times 4

Résoudre, en discutant selon

a, b \in \mathbb{R}

le système

\begin{cases} ax + y + z + t = 1 \\ x + ay + z + t = b \\ x + y + az + t = b^2 \\ x + y + z + at = b^3. \end{cases}

Indication

Appliquer la Résolution d'un système linéaire : calculer le déterminant

(a-1)^3(a+3)

pour identifier les valeurs critiques

a = 1

a = -3

, puis discuter la compatibilité pour chaque cas.

m\in\mathbb{C}

Résoudre en fonction du paramètre

m \in \mathbb{C}

, les systèmes suivants d'inconnues complexes :

(a)

\begin{cases} x - y + z = m \\ x + my - z = 1 \\ x - y - z = 1 \end{cases}

(b)

\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}

(c)

\begin{cases} mx + y + z + t = 1 \\ x + my + z + t = m \\ x + y + mz + t = m + 1 \end{cases}

Indication

Appliquer la Résolution d'un système linéaire : effectuer le pivot de Gauss sur la matrice augmentée pour chaque système, et discuter selon les valeurs de

m

en identifiant quand des lignes deviennent nulles ou incompatibles.

Systèmes avec paramètre et dim. SEV

Discuter, selon

m

paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^3

définis par des systèmes linéaires.

$F = \{(x,y,z) \mid x + my + z = 0,\; mx + y + mz = 0\}$ .
$F = \{(x,y,z) \mid x + y + mz = 0,\; x + my + z = 0,\; mx + y + z = 0\}$ .

Indication

Appliquer la Methode 00044 sur la matrice du système (Résolution d'un système linéaire) pour calculer le rang en fonction de

m

, puis en déduire la dimension du noyau par le théorème du rang.

F

On considère, pour

m

paramètre réel, les sous-espaces

F = \{(x,y,z) \mid x + my + z = 0,\; mx + y - mz = 0\}

G = \{(x,y,z) \mid x - my + z = 0\}

Déterminer la dimension de $F$ et $G$ .
Discuter la dimension de $F \cap G$ .

Indication

Appliquer la Résolution d'un système linéaire : calculer les rangs de la matrice de

F

et de

G

séparément, puis discuter la dimension de

F \cap G

en calculant le rang de la matrice combinée.

3\times 3

Soient

a, b \in \mathbb{C}

. Résoudre le système

\begin{cases} ax + by + z = 1 \\ x + aby + z = b \\ x + by + az = 1 \end{cases}

Indication

Appliquer la Résolution d'un système linéaire : effectuer le pivot de Gauss sur la matrice augmentée, calculer le déterminant

(a-1)(a+2) \cdot b

pour identifier les cas particuliers, et discuter la compatibilité en chaque cas.