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Systèmes linéaires

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Cours— 4 sections

1Notion de système linéaire

1. Notion de système linéaire

1.1. Définition

Définition —Système linéaire

Soient

n

p

deux entiers naturels non nuls. On appelle système linéaire de

n

équations à

p

inconnues tout système d'équations de la forme

\begin{cases} coeffs_{1,1}x_1 + coeffs_{1,2}x_2 + \dots + coeffs_{1,p}x_p = b_1 \\ coeffs_{2,1}x_1 + coeffs_{2,2}x_2 + \dots + coeffs_{2,p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ coeffs_{n,1}x_1 + coeffs_{n,2}x_2 + \dots + coeffs_{n,p}x_p = b_n \end{cases}

où

x_1, \dots, x_p

sont des inconnues.

Exemple —Quelques exemples et contre-exemples

$\begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ 2x_1 - 3x_2 = 4 \end{cases}$ est un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.
$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 7x - 5y - 2z = 2 \end{cases}$ est un sytème linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
$\begin{cases} x = y + 2z + 1 \\ z + y + 2 = -3x \\ 2x + 3y - 3 = 17z \end{cases}$ est un système d'équation linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
$\begin{cases} e^x + y = 1 \\ x + \sin(y) = 2 \end{cases}$ n'est pas un système linéaire.
$\begin{cases} x^2 + 2y^3 = -3 \\ 2x^4 - y^5 = 2 \end{cases}$ n'est pas un système linéaire.

Remarque —Interprétation géométrique

Cas $n=2$ Les équations intervenant dans un système linéaire à deux inconnues sont de la forme

ax+by=c

. Sauf cas particulier où

(a,b)=(0,0)

, ce sont des équations de droites du plan. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à deux inconnues peut être interprété comme l'intersection de droites du plan.

Cas $n=3$ Les équations intervenant dans un système linéaire à trois inconnues sont de la forme

ax+by+cz=d

. Sauf cas particulier où

(a,b,c)=(0,0,0)

, ce sont des équations de plans de l'espace. L'ensemble des solutions d'un système linéaire à trois inconnues peut être interprété comme l'intersection de plans de l'espace.

2Structure de l'ensemble des solutions

3Résolution d'un système linéaire

4Quelques exemples

RéflexeTriangulaire avec 1 sur diagonale : $A = I + N$

Poser immédiatement

A = I + N

où

N

est la partie triangulaire stricte.

N

est automatiquement nilpotente (triangulaire stricte).

Ouvre la porte au binôme de Newton car

I

N

commutent.

RéflexeMatrice $2 \\times 2$ : Cayley-Hamilton immédiat

RéflexeReconnaître la matrice $J$ (tous coefficients = 1)

MCBinôme de Newton pour $A = I + N$ nilpotente

MCRelation $A^2 = \\alpha A + \\beta I$ pour inverser ou calculer les puissances

MCSystèmes à structure circulaire/cascade

TunnelCalcul de l'inverse par pivot de Gauss

TunnelRésolution d'un système linéaire

Exercices lies— 25

1Exercice 1

Pour

A \in M_n(\mathbb{K})

, on note

\sigma(A)

la somme des termes de

A

. On pose

J = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.

Vérifier

J \cdot A \cdot J = \sigma(A) \cdot J

2Exercice 2

On considère la matrice

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

et on pose

B = A - I

.
Calculer

B^n

pour

n \in \mathbb{N}

et en déduire l'expression de

A^n

3Exercice 3

Calculer

A^n

pour

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

de deux manières différentes.

4Exercice 4

On considère la matrice

A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

5Exercice 5

Soit

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})

.
Observer que

A^2 - (a+d)A + (ad - bc)I = 0

.
À quelle condition

A

est-elle inversible ? Déterminer alors

A^{-1}

6Exercice 6

Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes.

7Exercice 7

Justifier que

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \cdots & -1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R})

est inversible et déterminer

A^{-1}

8Exercice 8

Soit

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}

9Exercice 9

Soit

A = (1 - \delta_{i,j}) \in M_n(\mathbb{R})

10Exercice 10

Montrer que la matrice

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

est inversible et calculer son inverse.

11Exercice 11

Soit

E

l'ensemble des matrices de

M_2(\mathbb{K})

de la forme

A = \begin{pmatrix} a+b & b \\ -b & a-b \end{pmatrix}

avec

(a,b) \in \mathbb{K}^2

12Exercice 12

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

dont la matrice dans la base

e

est

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

.
On pose

e'_1 = e_1 + e_3

e'_2 = e_1 + e_2

e'_3 = e_1 + e_2 + e_3

13Exercice 13

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

dont la matrice dans

\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)

est

A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

.
On pose

\varepsilon_1 = e_1 + e_3

\varepsilon_2 = e_1 + e_2

\varepsilon_3 = e_1 + e_2 + e_3

14Exercice 14

Soient

n \in \mathbb{N}^*

M \in M_n(\mathbb{R})

la matrice de la permutation circulaire (avec

1

sur la diagonale et en position

(i,i+1)

, plus

(n,1)

15Exercice 15

Discuter, selon

m

paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^3

définis par des systèmes linéaires.

16Exercice 16

On considère, pour

m

paramètre réel, les sous-espaces

F = \{(x,y,z) \mid x + my + z = 0,\; mx + y - mz = 0\}

G = \{(x,y,z) \mid x - my + z = 0\}

17Exercice 17

Soient

a, b \in \mathbb{C}

. Résoudre le système

\begin{cases} ax + by + z = 1 \\ x + aby + z = b \\ x + by + az = 1 \end{cases}

18Exercice 18

Résoudre le système

n \times n

x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1

x_1 + 2x_2 + \cdots + 2x_n = 1

\ldots

x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n = 1

19Exercice 19

Résoudre le système tridiagonal :

x_1 + x_2 = 0

x_1 + x_2 + x_3 = 0

x_2 + x_3 + x_4 = 0

\ldots

x_{n-1} + x_n = 0

20Exercice 20

Soient

a_1, \ldots, a_n

des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à

n

sommets

z_1, \ldots, z_n

tel que

a_i

est le milieu de

[z_i; z_{i+1}]

21Exercice 21

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale (incluse) valent $1$.

22Exercice 22

Montrer que les matrices carrées d'ordre $n \geq 2$ suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss: (a) $A = \begin{pmatrix} 1 & -a & (0) \\ & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & -a \\ (0) & & & 1 \end{pmatrix}$ (b) $B = \begin{pmatrix} 1 & (1) \\ & \ddots \\ (0) & & 1 \end{pmatrix}$ (c) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & 2 \\ (0) & & & 1 \end{pmatrix}$

23Exercice 23

Résoudre en fonction du paramètre $m \in \mathbb{C}$, les systèmes suivants d'inconnues complexes : (a) $\begin{cases} x - y + z = m \\ x + my - z = 1 \\ x - y - z = 1 \end{cases}$ (b) $\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$ (c) $\begin{cases} mx + y + z + t = 1 \\ x + my + z + t = m \\ x + y + mz + t = m + 1 \end{cases}$

24Exercice 24

Discuter suivant $a$ et $b$ et résoudre $$\begin{cases} ax + 2by + 2z = 1 \\ 2x + aby + 2z = b \\ 2x + 2by + az = 1. \end{cases}$$

25Exercice 25

Résoudre, en discutant selon $a, b \in \mathbb{R}$ le système $$\begin{cases} ax + y + z + t = 1 \\ x + ay + z + t = b \\ x + y + az + t = b^2 \\ x + y + z + at = b^3. \end{cases}$$

Cours

1Notion de système linéaire

2Structure de l'ensemble des solutions

3Résolution d'un système linéaire

4Quelques exemples

Méthodes8

RéflexeTriangulaire avec 1 sur diagonale : $A = I + N$

Poser immédiatement

A = I + N

où

N

est la partie triangulaire stricte.

N

est automatiquement nilpotente (triangulaire stricte).

Ouvre la porte au binôme de Newton car

I

N

commutent.

RéflexeMatrice $2 \\times 2$ : Cayley-Hamilton immédiat