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Systèmes linéaires | The Maths Tailor

Systèmes linéaires

Cours Exercices

Cours

1Notion de système linéaire

2Structure de l'ensemble des solutions

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3Résolution d'un système linéaire

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4Quelques exemples

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Méthodes3

TunnelRésolution d'un système linéaire

Étapes :

- Écriture matricielle : $A X = B$

- Échelonnement : Opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ pour obtenir une forme échelonnée

- Discussion (si paramètres) :
- Calculer le rang de $A$ et de $(A ∣ B)$ selon les valeurs des paramètres

- Système compatible ssi $rg (A) = rg (A ∣ B)$

- Dimension des solutions = $n - rg (A)$

- Résolution : Remonter le système échelonné

Cas particuliers :

- Système de Cramer ( $det A \neq = 0$ ) : solution unique

- Système homogène ( $B = 0$ ) : toujours compatible

ClassiqueSystèmes à structure circulaire/cascade

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TunnelCalcul de l'inverse par pivot de Gauss

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Exercices

CCP — système 3 \times 3 param. a, b

Discuter suivant

a

b

et résoudre

⎩ ⎨ ⎧ a x + 2 b y + 2 z = 1 2 x + ab y + 2 z = b 2 x + 2 b y + a z = 1.

Indication

CCP — système 4 \times 4 param. a, b

Résoudre, en discutant selon

a, b \in R

le système

⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z + t = 1 x + a y + z + t = b x + y + a z + t = b^{2} x + y + z + a t = b^{3} .

Indication

Systèmes param. m \in C

Résoudre en fonction du paramètre

m \in C

, les systèmes suivants d'inconnues complexes :

(a)

⎩ ⎨ ⎧ x - y + z = m x + m y - z = 1 x - y - z = 1

(b)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z = 1 x + m y + z = m x + y + m z = m^{2}

(c)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z + t = 1 x + m y + z + t = m x + y + m z + t = m + 1

Indication

Systèmes avec paramètre et dim. SEV

Discuter, selon

m

paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de

R^{3}

définis par des systèmes linéaires.

$F = {(x, y, z) ∣ x + m y + z = 0, m x + y + m z = 0}$ .
$F = {(x, y, z) ∣ x + y + m z = 0, x + m y + z = 0, m x + y + z = 0}$ .

Indication

Sous-espaces F et G param. m

On considère, pour

m

paramètre réel, les sous-espaces

F = {(x, y, z) ∣ x + m y + z = 0, m x + y - m z = 0}

G = {(x, y, z) ∣ x - m y + z = 0}

Déterminer la dimension de $F$ et $G$ .
Discuter la dimension de $F \cap G$ .

Indication

Système 3 \times 3 param. a et b

Soient

a, b \in C

. Résoudre le système

⎩ ⎨ ⎧ a x + b y + z = 1 x + ab y + z = b x + b y + a z = 1

Indication