Toutes les propriétés des parties vues dans cette section (ouvert, fermé, voisinage, intérieur, adhérence, densité, frontière) restent inchangées si on remplace la norme de l'espace vectoriel normé considéré par une norme équivalente.
Soient (E,∥⋅∥) un espace vectoriel normé, a∈E et r∈R+∗.
On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l'ensemble
B(a,r)={x∈E,∥x−a∥<r}
On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l'ensemble
Bˉ(a,r)={x∈E,∥x−a∥≤r}
On appelle sphère de centre a et de rayon r l'ensemble
S(a,r)={x∈E,∥x−a∥=r}
Exemple
Si on munit R de la valeur absolue,B(a,r)=]a−r,a+r[Bˉ(a,r)=[a−r,a+r]S(a,r)={a−r,a+r}
Définition—Ouvert et fermé
Soient E un espace vectoriel normé et A une partie de E.
On dit que A est une partie ouverte ou un ouvert de E si pour tout a∈A, il existe ε∈R+∗ telle que B(a,ε)⊂A.
On dit que A est une partie fermée ou un fermé de E si E∖A est un ouvert de E.
Remarque
Par définition, A est un fermé si et seulement si E∖A est un ouvert. Mais on en déduit sans peine également que A est un ouvert si et seulement si E∖A est un fermé.
Proposition—Boules ouvertes et fermées
Une boule ouverte est un ouvert. Une boule fermée est un fermé.
Démonstration bientôt disponible
Exemples
—Intervalles de R
Les intervalles ouverts de R (i.e. de la forme ]a,b[) sont des ouverts (ce sont des boules ouvertes), de même que les intervalles de la forme ]a,+∞[, ]−∞,a[ et ]−∞,+∞[.
Les intervalles fermés de R (i.e. de la forme [a,b]) sont des fermés (ce sont des boules fermées), de même que les intervalles de la forme [a,+∞[, ]−∞,a] et ]−∞,+∞[.
Attention
L'erreur classique consiste à penser que fermé est le contraire d'ouvert.
Une partie peut être à la fois un ouvert et un fermé : c'est le cas de l'ensemble vide et de l'espace total (ce sont d'ailleurs les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé).
Une partie peut n'être ni un ouvert ni un fermé. Par exemple, l'intervalle [0,1[ n'est ni un ouvert ni un fermé de R.
Application
Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé E sont ∅ et E.
Correction bientôt disponible
Proposition—Réunion et intersection d'ouverts ou de fermés
Une réunion quelconque ou une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Une intersection quelconque ou une réunion finie de fermés est un fermé.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
Comme tout singleton est fermé, toute partie finie d'un espace vectoriel normé est fermée comme réunion finie de singletons.
Attention
Une intersection infinie d'ouverts peut ne pas être un ouvert. Par exemple,n∈N∗⋂]−n1,n1[={0}De même, une réunion infinie de fermés peut ne pas être un fermé. Par exemple,n∈N∗⋃[n1,1]=]0,1]
Proposition
Une sphère est un fermé.
Démonstration bientôt disponible
Proposition—Caractérisation séquentielle des fermés
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé. Alors A est un fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments de A admet sa limite dans A.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
On considère E=C([0,1],R) que l'on munit de la norme de la convergence uniforme ∥⋅∥∞. On pose F={f∈E,f(0)=0} et on souhaite montrer que F est fermé. Soit (fn) une suite d'éléments de F convergeant vers f∈E. Puisque l'on a muni E de la norme ∥⋅∥∞, (fn) converge uniformément vers f. A fortiori, (fn) converge simplement vers f. En particulier, fn(0)n→+∞f(0). Or fn(0)=0 pour tout n∈N donc f(0)=0 et f∈F. On en déduit que F est fermé par caractérisation séquentielle.
Application—Matrices diagonalisables
L'ensemble des matrices diagonalisables de Mn(K) (n≥2) est-il fermé ? ouvert ?
Correction bientôt disponible
Définition—Voisinage
Soit a un élément d'un espace vectoriel normé E. On appelle voisinage de a toute partie de E contenant un ouvert de E comprenant a.
Proposition
Soit a un élément d'un espace vectoriel normé E. Une partie V de E est un voisinage de a si et seulement si il existe ε∈R+∗ tel que B(a,ε)⊂V.
Exemple
Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.
Remarque
Les notions de limite ou de valeur d'adhérence peuvent se traduire en terme de voisinage. Notons V(ℓ) l'ensemble des voisinages d'un point ℓ de E.
(un) converge vers ℓ∈E si et seulement si
∀V∈V(ℓ),∃N∈N,∀n≥N,un∈V
ℓ∈E est une valeur d'adhérence de (un) si et seulement si
∀V∈V(ℓ),∀N∈N,∃n≥N,un∈V
Proposition—Produit d'ouverts et de fermés
Soient E1,…,En des espaces vectoriels normés. On munit i=1∏nEi d'une norme produit.
Si pour tout i∈[[1,n]], Ui est un ouvert de Ei, alors i=1∏nUi est un ouvert de i=1∏nEi.
Si pour tout i∈[[1,n]], Fi est un fermé de Ei, alors i=1∏nFi est un fermé de i=1∏nEi.
1.2. Intérieur et adhérence
Définition—Intérieur d'une partie
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. On dit que a∈E est intérieur à A si A est un voisinage de a ou, de manière équivalente si,∃ε∈R+∗,B(a,ε)⊂AL'ensemble des points intérieurs à A s'appelle l'intérieur de A et se note A˚.
1.3. Topologie relative à une partie
Définition—Ouvert et fermé relatifs
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E.
On appelle ouvert relatif à A toute partie de la forme A∩U où U est un ouvert de E.
On appelle fermé relatif à A toute partie de la forme A∩F où F est un fermé de E.
Pour a∈E et ε∈R+∗, l'intérieur de la boule fermée Bˉ(a,ε) est la boule ouverte B(a,ε).
L'intérieur d'un intervalle non vide est l'intervalle ouvert de mêmes extrémités.
Proposition
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Alors A˚ est le plus grand ouvert (pour l'inclusion) inclus dans A, autrement ditA˚=U ouvertU⊂A⋃UEn particulier, A est un ouvert si et seulement si A˚=A.
Démonstration bientôt disponible
Application
Soient A et B des parties d'un espace vectoriel normé E. Montrer que
A˚˚=A˚
A⊂B⟹A˚⊂B˚
A∩B˚=A˚∩B˚
A˚∪B˚⊂A∪B˚
Dans le dernier cas, on donnera un exemple d'inclusion stricte.
Correction bientôt disponible
Définition—Adhérence d'une partie
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. On dit que a∈E est adhérent à A si l'intersection de tout voisinage de a avec A est non vide ou, de manière équivalente, si∀ε∈R+∗,B(a,ε)∩A=∅L'ensemble des points adhérents à A s'appelle l'adhérence de A et se note A.
Exemples
Pour a∈E et ε∈R+∗, l'adhérence de la boule ouverte B(a,ε) est la boule fermée Bˉ(a,ε).
L'adhérence d'un intervalle borné non vide est l'intervalle fermé de mêmes extrémités.
Remarque
Si A est une partie de R, on dira que +∞ est adhérent à A si A est non majorée et que −∞ est adhérent à A si A est non minorée.
Application
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Montrer que E∖A˚=E∖A et E∖A=E∖A˚.
Correction bientôt disponible
Proposition
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Alors A est le plus petit fermé (pour l'inclusion) contenant A, autrement ditA=F fermeˊA⊂F⋂FEn particulier, A est un fermé si et seulement si A=A.
Démonstration bientôt disponible
Application
Soient A et B des parties d'un espace vectoriel normé E. Montrer que
A=A
A⊂B⟹A⊂B
A∪B=A∪B
A∩B⊂A∩B
Dans le dernier cas, on donnera un exemple d'inclusion stricte.
Correction bientôt disponible
Proposition—Caractérisation séquentielle de l'adhérence
Soient A une partie d'un espace vectoriel normé E et a∈E. Alors a∈A si et seulement si il existe (an)∈AN telle que n→+∞liman=a.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
Ceci signifie que A est l'ensemble des limites des suites convergentes à valeurs dans A.
Définition—Frontière
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. On appelle frontière de A l'ensemble Fr(A)=A∖A˚.
Exemple
La frontière de la boule B(a,ε) est la sphère S(a,ε).
Proposition
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Alors Fr(A) est un fermé.
Démonstration bientôt disponible
Définition—Densité
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. On dit que A est dense si A=E ou, de manière équivalente, si∀x∈E,∀ε∈R+∗,B(x,ε)∩A=∅
Proposition—Caractérisation séquentielle de la densité
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Alors A est dense si et seulement si pour tout x∈E, il existe une suite à valeurs dans A de limite x.
Démonstration bientôt disponible
Exemples
—Densité de Q dans R
Q est dense dans R. En effet, pour tout x∈R, la suite de terme général n⌊nx⌋ est à valeurs dans Q et de limite x.
—Densité de GLn(K) dans Mn(K)
GLn(K) est dense dans Mn(K). Soit M∈Mn(K) et posons Mp=M+p1In pour p∈N∗. On a clairement n→+∞limMp=M.
De plus, la suite (Mp) est injective et M ne possède qu'un nombre fini de valeurs propres. Par conséquent, la suite (Mp) est à valeurs dans GLn(K) à partir d'un certain rang.
Théorème—Sous-groupes de (R,+)
Les sous-groupes de (R,+) sont soit monogènes (i.e. de la forme aZ avec a∈R) soit denses.
Démonstration bientôt disponible
Exemple
[0,1[ est un ouvert relatif à R+ car [0,1[=]−1,1[∩R+ et ]−1,1[ est un ouvert de R.
]0,1] est un fermé relatif à R+∗ car ]0,1]=[0,1]∩R+∗ et [0,1] est un fermé de R.
Remarques
On montre aisément qu'une partie F de A est un fermé relatif à A si et seulement si A∖F est un ouvert relatif à A.
De même, une partie U de A est un ouvert relatif à A si et seulement si A∖U est un fermé relatif à A.
Une partie U de A est un ouvert relatif à A si et seulement si∀x∈U,∃ε∈R+∗,B(x,ε)∩A⊂U
Proposition—Caractérisation séquentielle
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Une partie F de A est un fermé relatif à A si et seulement si toute suite d'éléments de F convergeant dans A a sa limite dans F.
Démonstration bientôt disponible
Définition—Voisinage relatif
Soient A une partie d'un espace vectoriel normé E et a∈A. On appelle voisinage relatif de a à A toute partie de la forme A∩V où V est un voisinage de a.
Définition—Densité relative
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Une partie X de A est dense dans A si A⊂X.
Application
Sachant que les sous-groupes de (R,+) sont monogènes ou denses, montrer que {cos(n),n∈N} est dense dans [−1,1].
