On munit le R-espace vectoriel des suites réelles bornées de la norme ∥u∥∞=n∈Nsup∣un∣. Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A={suites croissantes}, B={suites convergeant vers 0}, C={suites convergentes}, D={suites admettant 0 pour valeur d’adheˊrence} et E={suites peˊriodiques}.
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Z fermé dans R
Montrer que Z est une partie fermée de R :
en observant que son complémentaire est ouvert ;
par la caractérisation séquentielle des parties fermées ;
en tant qu'image réciproque d'un fermé par une application continue.
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Polynômes unitaires fermés
On note En l'ensemble des polynômes unitaires de degré n à coefficients réels.
Montrer que En est une partie fermée de Rn[X].
Montrer que P∈Eninf∫01∣P(t)∣dt>0.
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Frontière fermée
Soit A une partie d'un espace vectoriel normé E. Établir que sa frontière Fr(A) est une partie fermée.
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Projecteurs fermés
Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que l'ensemble P des projecteurs de E est une partie fermée de L(E).
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Cône R+⋅K fermé
Soit K un compact d'un espace vectoriel normé E tel que 0∈/K. On forme F={λ⋅x∣λ∈R+,x∈K}. Montrer que F est une partie fermée.
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Sev fermé en dim finie
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé E.
On suppose E de dimension finie. Montrer que F=F.
On ne suppose plus E de dimension finie, montrer qu'il est possible que F=F.
