Trigonométrie

Chacune des six propriétés découle directement de la Définition 1.1 : $a \equiv b [m]$ signifie l'existence de $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = b + km$.

Réflexivité. Soit $a \in \mathbb{R}$. On pose $k = 0 \in \mathbb{Z}$ ; alors $a = a + 0 \cdot m$, donc $a \equiv a [m]$.

Symétrie. Supposons $a \equiv b [m]$ : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = b + km$. Alors $b = a + (-k)m$ avec $-k \in \mathbb{Z}$, donc $b \equiv a [m]$.

Transitivité. Supposons $a \equiv b [m]$ et $b \equiv c [m]$ : il existe $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$ tels que $a = b + k_1 m$ et $b = c + k_2 m$. Alors $a = c + (k_1 + k_2)m$ avec $k_1 + k_2 \in \mathbb{Z}$, donc $a \equiv c [m]$.

Somme. Supposons $a \equiv b [m]$ et $c \equiv d [m]$ : il existe $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$ tels que $a = b + k_1 m$ et $c = d + k_2 m$. Alors $a + c = (b + d) + (k_1 + k_2)m$ avec $k_1 + k_2 \in \mathbb{Z}$, donc $a + c \equiv b + d [m]$.

Multiplication/division. Supposons $a \equiv b [m]$ avec $k \in \mathbb{R}^*$ : il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $a = b + nm$. Alors $ka = kb + n(km)$ avec $n \in \mathbb{Z}$, donc $ka \equiv kb [km]$. La réciproque s'obtient en divisant par $k \neq 0$.

Projection. Supposons $a \equiv b [km]$ avec $k \in \mathbb{N}$ : il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $a = b + n(km)$. On peut écrire $a = b + (nk)m$ avec $nk \in \mathbb{Z}$, donc $a \equiv b [m]$.

1. Trouver $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ tel que $\dfrac{251\pi}{4} \equiv \alpha [2\pi]$.

D'après la Définition 1.1, $\dfrac{251\pi}{4} \equiv \alpha [2\pi]$ signifie qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\dfrac{251\pi}{4} = \alpha + 2k\pi$. On effectue la division euclidienne de $251$ par $8$ (car $2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$) :
$$251 = 8 \times 31 + 3,$$
donc $\dfrac{251\pi}{4} = \dfrac{(8 \times 31 + 3)\pi}{4} = 31 \cdot \dfrac{8\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = 31 \cdot 2\pi + \dfrac{3\pi}{4}.$

Ainsi $\dfrac{251\pi}{4} \equiv \dfrac{3\pi}{4} [2\pi]$. Comme $\dfrac{3\pi}{4} \in ]-\pi, \pi]$, on a $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$.

2. Trouver $\beta \in [0, \pi[$ tel que $-\dfrac{37\pi}{3} \equiv \beta [\pi]$.

D'après la Définition 1.1, $-\dfrac{37\pi}{3} \equiv \beta [\pi]$ signifie qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $-\dfrac{37\pi}{3} = \beta + k\pi$. On effectue la division euclidienne de $-37$ par $3$ : $-37 = 3 \times (-13) + 2$ (car $3 \times (-13) = -39$ et $-37 - (-39) = 2$). Donc :
$$-\frac{37\pi}{3} = \frac{(-39 + 2)\pi}{3} = -13\pi + \frac{2\pi}{3} = (-13) \cdot \pi + \frac{2\pi}{3}.$$

Ainsi $-\dfrac{37\pi}{3} \equiv \dfrac{2\pi}{3} [\pi]$. Comme $\dfrac{2\pi}{3} \in [0, \pi[$, on a $\beta = \dfrac{2\pi}{3}$.