Trigonométrie

Chacune des six propriétés découle directement de la Définition 1.1 : $a\equiv b[m]$ signifie l'existence de $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+km$.

Réflexivité. Soit $a\in \mathbb{R}$. On pose $k=0\in \mathbb{Z}$ ; alors $a=a+0\cdot m$, donc $a\equiv a[m]$.

Symétrie. Supposons $a\equiv b[m]$ : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+km$. Alors $b=a+(-k)m$ avec $-k\in \mathbb{Z}$, donc $b\equiv a[m]$.

Transitivité. Supposons $a\equiv b[m]$ et $b\equiv c[m]$ : il existe $k_1,k_2\in \mathbb{Z}$ tels que $a=b+k_{1}m$ et $b=c+k_{2}m$. Alors $a=c+(k_1+k_2)m$ avec $k_1+k_2\in \mathbb{Z}$, donc $a\equiv c[m]$.

Somme. Supposons $a\equiv b[m]$ et $c\equiv d[m]$ : il existe $k_1,k_2\in \mathbb{Z}$ tels que $a=b+k_{1}m$ et $c=d+k_{2}m$. Alors $a+c=(b+d)+(k_1+k_2)m$ avec $k_1+k_2\in \mathbb{Z}$, donc $a+c\equiv b+d[m]$.

Multiplication/division. Supposons $a\equiv b[m]$ avec $k\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ : il existe $n\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+nm$. Alors $ka=kb+n(km)$ avec $n\in \mathbb{Z}$, donc $ka\equiv kb[km]$. La réciproque s'obtient en divisant par $k\ne 0$.

Projection. Supposons $a\equiv b[km]$ avec $k\in \mathbb{N}$ : il existe $n\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+n(km)$. On peut écrire $a=b+(nk)m$ avec $nk\in \mathbb{Z}$, donc $a\equiv b[m]$.

1. Trouver $\alpha \in ]-\pi ,\pi ]$ tel que $\frac{251\pi }{4}\equiv \alpha [2\pi ]$.

D'après la Définition 1.1, $\frac{251\pi }{4}\equiv \alpha [2\pi ]$ signifie qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $\frac{251\pi }{4}=\alpha +2k\pi$. On effectue la division euclidienne de $251$ par $8$ (car $2\pi =\frac{8\pi }{4}$) :$$251=8\times 31+3,$$donc $\frac{251\pi }{4}=\frac{(8\times 31+3)\pi }{4}=31\cdot \frac{8\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=31\cdot 2\pi +\frac{3\pi }{4}.$

Ainsi $\frac{251\pi }{4}\equiv \frac{3\pi }{4}[2\pi ]$. Comme $\frac{3\pi }{4}\in ]-\pi ,\pi ]$, on a $\alpha =\frac{3\pi }{4}$.

2. Trouver $\beta \in [0,\pi [$ tel que $-\frac{37\pi }{3}\equiv \beta [\pi ]$.

D'après la Définition 1.1, $-\frac{37\pi }{3}\equiv \beta [\pi ]$ signifie qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $-\frac{37\pi }{3}=\beta +k\pi$. On effectue la division euclidienne de $-37$ par $3$ : $-37=3\times (-13)+2$ (car $3\times (-13)=-39$ et $-37-(-39)=2$). Donc :$$-\frac{37\pi }{3}=\frac{(-39+2)\pi }{3}=-13\pi +\frac{2\pi }{3}=(-13)\cdot \pi +\frac{2\pi }{3}.$$Ainsi $-\frac{37\pi }{3}\equiv \frac{2\pi }{3}[\pi ]$. Comme $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi [$, on a $\beta =\frac{2\pi }{3}$.