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Trigonométrie | The Maths Tailor

Trigonométrie

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Thème : Fondements

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1. Congruence

1.1. Définitions et propriétés

Définition—Congruence

Soient

a

b

m

trois réels. On dit que

a

b

sont congrus modulo $m$ s'il existe

k \in \mathbb{Z}

tel que

a = b + km

. On note alors

a \equiv b [m]

Remarque

En pratique, on a souvent

m = r\pi

avec

r \in \mathbb{Q}

Exemple

\dfrac{3\pi}{2} \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]

Proposition—Propriétés de la congruence

Réflexivité Soit

a \in \mathbb{R}

. Alors

a \equiv a [m]

.

Symétrie Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

. Alors

a \equiv b [m] \iff b \equiv a [m]

.

Transitivité Soit

(a, b, c, m) \in \mathbb{R}^4

. Si

a \equiv b [m]

b \equiv c [m]

, alors

a \equiv c [m]

.

Somme Soit

(a, b, c, d, m) \in \mathbb{R}^5

. Si

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, alors

a + c \equiv b + d [m]

.

Multiplication/division Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

k \in \mathbb{R}^*

. Alors

a \equiv b [m] \iff ka \equiv kb [km]

.

Projection Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

k \in \mathbb{N}

. Si

a \equiv b [km]

, alors

a \equiv b [m]

Attention

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, on n'a pas nécessairement

ac \equiv bd [m]

Exemple

a \equiv b [2\pi]

, alors

a \equiv b [\pi]

mais la réciproque est fausse.

Application

1. Déterminer un réel

\alpha \in ]-\pi, \pi]

tel que

\dfrac{251\pi}{4} \equiv \alpha [2\pi]

.

2. Déterminer un réel

\beta \in [0, \pi[

tel que

-\dfrac{37\pi}{3} \equiv \beta [\pi]

2. Fonctions trigonométriques

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3. Formules usuelles

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4. Équations et inéquations trigonométriques

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1. Congruence

1.1. Définitions et propriétés

Définition—Congruence

Soient

a

b

m

trois réels. On dit que

a

b

sont congrus modulo $m$ s'il existe

k \in \mathbb{Z}

tel que

a = b + km

. On note alors

a \equiv b [m]

Remarque

En pratique, on a souvent

m = r\pi

avec

r \in \mathbb{Q}

Exemple

\dfrac{3\pi}{2} \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]

Proposition—Propriétés de la congruence

Réflexivité Soit

a \in \mathbb{R}

. Alors

a \equiv a [m]

.

Symétrie Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

. Alors

a \equiv b [m] \iff b \equiv a [m]

.

Transitivité Soit

(a, b, c, m) \in \mathbb{R}^4

. Si

a \equiv b [m]

b \equiv c [m]

, alors

a \equiv c [m]

.

Somme Soit

(a, b, c, d, m) \in \mathbb{R}^5

. Si

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, alors

a + c \equiv b + d [m]

.

Multiplication/division Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

k \in \mathbb{R}^*

. Alors

a \equiv b [m] \iff ka \equiv kb [km]

.

Projection Soit

(a, b, m) \in \mathbb{R}^3

k \in \mathbb{N}

. Si

a \equiv b [km]

, alors

a \equiv b [m]

Attention

a \equiv b [m]

c \equiv d [m]

, on n'a pas nécessairement

ac \equiv bd [m]

Exemple

a \equiv b [2\pi]

, alors

a \equiv b [\pi]

mais la réciproque est fausse.

Application

1. Déterminer un réel

\alpha \in ]-\pi, \pi]

tel que

\dfrac{251\pi}{4} \equiv \alpha [2\pi]

.

2. Déterminer un réel

\beta \in [0, \pi[

tel que

-\dfrac{37\pi}{3} \equiv \beta [\pi]

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